南京市鼓楼区重点名校2022年中考数学适应性模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．下列图形是轴对称图形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3

3．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（　　）

A．75° B．90° C．105° D．115°

4．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞π D．

5．已知二次函数y=x2 + bx +c 的图象与x轴相交于A、B两点，其顶点为P，若S△APB=1，则b与c满足的关系是（    ）

A．b2 -4c +1=0 B．b2 -4c -1=0 C．b2 -4c +4 =0 D．b2 -4c -4=0

6．在同一坐标系中，反比例函数y＝与二次函数y＝kx2+k(k≠0)的图象可能为(　　)

A． B．

C． D．

7．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点C是⊙O优弧弧AB上一点，连接AC、BC，如果∠P=∠C，⊙O的半径为1，则劣弧弧AB的长为（　　）

A．π B．π C．π D．π

8．函数y=中自变量x的取值范围是

A．x≥0 B．x≥4 C．x≤4 D．x>4

9．如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（    ）

A．线段PB B．线段BC C．线段CQ D．线段AQ

10．八边形的内角和为（　　）

A．180° B．360° C．1 080° D．1 440°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是_______.

12．因式分解：x2﹣4=       ．

13．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．

14．已知函数y=-1，给出一下结论：

①y的值随x的增大而减小

②此函数的图形与x轴的交点为（1，0）

③当x>0时，y的值随x的增大而越来越接近-1

④当x≤时，y的取值范围是y≥1

以上结论正确的是_________（填序号）

15．已知，直接y=kx+b（k＞0，b＞0）与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y=（x＞0）交于第一象限点C，若BC=2AB，则S△AOB=________.

16．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是_____．

17．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数的图象交于点A(-1，2)，B(m，-1)．求一次函数与反比例函数的解析式；在x轴上是否存在点P(n，0)，使△ABP为等腰三角形，请你直接写出P点的坐标．

19．（5分） (1)解方程： +＝4

(2)解不等式组并把解集表示在数轴上：.

20．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．

21．（10分）某超市在春节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣和优惠，在每个转盘中指针指向每个区域的可能性均相同，若指针指向分界线，则重新转动转盘，区域对应的优惠方式如下，A1，A2，A3区域分别对应9折8折和7折优惠，B1，B2，B3，B4区域对应不优惠？本次活动共有两种方式．

方式一：转动转盘甲，指针指向折扣区域时，所购物品享受对应的折扣优惠，指针指向其他区域无优惠；

方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针均指向折扣区域时，所购物品享受折上折的优惠，其他情况无优惠．

（1）若顾客选择方式一，则享受优惠的概率为　   　；

（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能顾客享受折上折优惠的概率．

22．（10分）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．

（1）求证：AC平分∠DAO．

（2）若∠DAO=105°，∠E=30°

①求∠OCE的度数；

②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．

23．（12分）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．求、的值；如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

24．（14分）某学校八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，具体过程如下：

　　收集数据

从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：

整理、描述数据

将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据：

（说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70～79分为体质健康良好，60～69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格）

　　分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：

（1）表格中a的值为______；请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少？根据以上信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些？请说明理由．（请从两个不同的角度说明推断的合理性）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．

解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；

图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．

故轴对称图形有4个．

故选C．

考点：轴对称图形．

2、B

【解析】
直接利用立方根的定义化简得出答案．

【详解】

因为（-1）3=-1，

=﹣1．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．,

3、C

【解析】

分析：依据AB∥EF，即可得∠BDE=∠E=45°，再根据∠A=30°，可得∠B=60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°．

详解：∵AB∥EF，

∴∠BDE=∠E=45°，

又∵∠A=30°，

∴∠B=60°，

∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°，

故选C．

点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

4、D

【解析】
根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的运算，可得答案．

【详解】

a＝﹣2，2＜b＜1．

A.a+b＜0，故A不符合题意；

B.a＜|﹣2|，故B不符合题意；

C.b＜1＜π，故C不符合题意；

D.＜0，故D符合题意；

故选D．

【点睛】

本题考查了实数与数轴，利用有理数的运算是解题关键．

5、D

【解析】
抛物线的顶点坐标为P（−，），设A 、B两点的坐标为A（，0）、B（，0）则AB＝，根据根与系数的关系把AB的长度用b、c表示，而S△APB＝1，然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式．

【详解】

解：∵，

∴AB＝＝，

∵若S△APB＝1

∴S△APB＝×AB× ＝1，

∴−××，

∴，

设＝s，

则，

故s＝2，

∴＝2，

∴．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性比较强．

6、D

【解析】
根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．

【详解】

分两种情况讨论：

①当k＜0时，反比例函数y=，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向上下与y轴交点在原点下方，D符合；

②当k＞0时，反比例函数y=，在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符．

分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D．

故选D．

【点睛】

本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点．

7、A

【解析】
利用切线的性质得∠OAP=90°，再利用圆周角定理得到∠C=∠O，加上∠P=∠C可计算写出∠O=60°，然后根据弧长公式计算劣弧的长．

【详解】

解：∵PA切⊙O于点A，

∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°，

∵∠C=∠O，∠P=∠C，

∴∠O=2∠P，

而∠O+∠P=90°，

∴∠O=60°，

∴劣弧AB的长=．

故选：A．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和弧长公式．

8、B

【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．

【详解】

根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1，

则自变量x的取值范围是x≥1．

故选B．

【点睛】

本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，注意：二次根式的被开方数是非负数．

9、C

【解析】
根据三角形高线的定义即可解题.

【详解】

解：当AB为△ABC的底时，过点C向AB所在直线作垂线段即为高,故CQ是△ABC的高,

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形高线的定义,属于简单题,熟悉高线的作法是解题关键.

10、C

【解析】

试题分析：根据n边形的内角和公式（n-2）×180º 可得八边形的内角和为（8-2）×180º=1080º，故答案选C.

考点：n边形的内角和公式.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】

试题分析：上方的正六边形涂红色的概率是，故答案为．

考点：概率公式．

12、（x+2）（x-2）.

【解析】试题分析：直接利用平方差公式分解因式得出x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．

考点：因式分解-运用公式法

13、20 cm．

【解析】
将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.

【详解】

解:如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．

根据勾股定理，得（cm）．

故答案为：20cm.

【点睛】

本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

14、②③

【解析】

（1）因为函数的图象有两个分支，在每个分支上y随x的增大而减小，所以结论①错误；

（2）由解得：，

∴的图象与x轴的交点为（1，0），故②中结论正确；

（3）由可知当x>0时，y的值随x的增大而越来越接近-1，故③中结论正确；

（4）因为在中，当时，，故④中结论错误；

综上所述，正确的结论是②③.

故答案为：②③.

15、

【解析】
根据题意可设出点C的坐标，从而得到OA和OB的长，进而得到△AOB的面积即可.

【详解】

∵直接y=kx+b与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y=交于第一象限点C，若BC=2AB，设点C的坐标为(c,)

∴OA=0.5c,OB==，

∴S△AOB===

【点睛】

此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是根据题意设出C点坐标进行求解.

16、m≤1．

【解析】
由抛物线与x轴有交点可得出方程x1+1x+m-1=0有解，利用根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【详解】

∴关于x的一元二次方程x1+1x+m−1=0有解，

∴△=11−4(m−1)=8−4m≥0，

解得：m≤1.

故答案为：m≤1.

【点睛】

本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点.

17、且

【解析】
根据一元二次方程的根与判别式△的关系，结合一元二次方程的定义解答即可.

【详解】

由题意可得，1−k≠0，△＝4+4(1−k)＞0，

∴k＜2且k≠1.

故答案为k＜2且k≠1.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题中要注意不要漏掉对二次项系数1-k≠0的考虑．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为y=-x+1；（2）满足条件的P点的坐标为（-1+，0）或（-1-，0）或（2+，0）或（2-，0）或（0,0）．

【解析】
（1）将A点代入求出k2，从而求出反比例函数方程，再联立将B点代入即可求出一次函数方程.

（2）令PA=PB，求出P.令AP=AB,求P.令BP=BA，求P.根据坐标距离公式计算即可.

【详解】

（1）把A（-1，2）代入，得到k2=-2，

∴反比例函数的解析式为．

∵B（m，-1）在上，∴m=2，

由题意，解得：，∴一次函数的解析式为y=-x+1．

（2）满足条件的P点的坐标为（-1+，0）或（-1-，0）或（2+，0）或（2-，0）或（0,0）．

【点睛】

本题考查一次函数图像与性质和反比例函数的图像和性质，解题的关键是待定系数法，分三种情况讨论.

19、（1）x=1（2）4＜x≤

【解析】
（1）先将整理方程再乘以最小公分母移项合并即可；

（2）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．

【详解】

（1）+=4，

方程整理得： =4，

去分母得：x﹣5=4（2x﹣3），

移项合并得：7x=7，

解得：x=1；

经检验x=1是分式方程的解；

（2）

解①得：x≤

解②得：x＞4

∴不等式组的解集是4＜x≤，

在数轴上表示不等式组的解集为：

．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程组与分式方程，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程组与分式方程运算法则.

20、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）1．

【解析】
（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．

【详解】

（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，

∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=1．

【点睛】

本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．

21、（1）；（2）．

【解析】
（1）根据题意和图形，可以求得顾客选择方式一，享受优惠的概率；

（2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．

【详解】

解：（1）由题意可得，

顾客选择方式一，则享受优惠的概率为：，

故答案为：；

（2）树状图如下图所示，

则顾客享受折上折优惠的概率是：，

即顾客享受折上折优惠的概率是．

【点睛】

本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．

22、（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =-2.

【解析】

【试题分析】（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD.

又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO.

（2）①因为 AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，∠EOC=∠DAO=105°，在 中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°.

②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG， 因为OC=，∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜边是腰长的 倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=， 则EF=GE-FG=-2.

【试题解析】

（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.

又∵AD⊥CD，∴AD//OC.

∴∠DAC=∠OCA.

又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.

∴∠DAC=∠OAC.

∴AC平分∠DAO.

（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°

∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.

②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG

∵OC=，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.

∴FG=2.

∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=.

∴EF=GE-FG=-2.

【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.

23、（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和

【解析】
（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；

（2）先求F的对称点，代入直线BE，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值.

【详解】

解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线

点的坐标为

解得或（舍去），

（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.

直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.

因为点在上，即点的坐标为

（3）存在点满足题意.设点坐标为，则

作垂足为

①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为

②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为

综上所述：满足题意得点的坐标为和

考点：二次函数的综合运用.

24、 (1)81;(2) 108人；(3)见解析.

【解析】
（1）根据众数的概念解答；

（2）求出九年级学生体质健康的优秀率，计算即可；

（3）分别从不同的角度进行评价．

【详解】

解：（1）由测试成绩可知，81分出现的次数最多，

∴a=81，

故答案为：81；

（2）九年级学生体质健康的优秀率为：，

九年级体质健康优秀的学生人数为：180×60%=108（人），

答：估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为108人；

（3）①因为八年级学生的平均成绩高于九年级的平均成绩，且八年级学生成绩的方差小于九年级的方差，所以八年级学生的体质健康情况更好一些．

②因为九年级学生的优秀率（60%）高于八年级的优秀率（40%），且九年级学生成绩的众数或中位数高于八年级的众数或中位数，所以九年级学生的体质健康情况更好一些．

【点睛】

本题考查的是用样本估计总体、方差、平均数、众数和中位数的概念和性质，正确求出样本的众数、理解方差和平均数、众数、中位线的性质是解题的关键．