辽宁省沈阳市大东区达标名校2022年中考数学仿真试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）．

A．60 ° B．75° C．85° D．90°

2．如图，数轴上有M、N、P、Q四个点，其中点P所表示的数为a，则数-3a所对应的点可能是(    )

A．M B．N C．P D．Q

3．下列计算正确的是（　　）

A．a2+a2=2a4 B．（﹣a2b）3=﹣a6b3 C．a2•a3=a6 D．a8÷a2=a4

4．如图，右侧立体图形的俯视图是（ ）

A．    B．    C．    D．

5．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和5cm，两圆的圆心距为4cm，则两圆的位置关系是（ ）

A．相交    B．内切    C．外离    D．内含

6．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）

A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃

7．已知一次函数y＝﹣x+2的图象，绕x轴上一点P（m，1）旋转181°，所得的图象经过（1．﹣1），则m的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

8．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

9．方程的解为（　　）

A．x=4 B．x=﹣3 C．x=6 D．此方程无解

10．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：

①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．

你认为其中正确信息的个数有

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

11．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是(   )

A．∠3=∠A B．∠D=∠DCE C．∠1=∠2 D．∠D+∠ACD=180°

12．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ）

A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球

B．摸出的三个球中至少有一个球是白球

C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球

D．摸出的三个球中至少有两个球是白球

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．方程的解是__________．

14．如图，已知点A是一次函数y＝x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y＝ (x＞0)的图象过点B，C，若△OAB的面积为5，则△ABC的面积是________．

15．如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=50°，点D，E分别为AB，AC上的点，沿DE折叠，使点A落在BC边上点F处，若△EFC为直角三角形，则∠BDF的度数为______．

16．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，通常新手的成绩不太确定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是_____．

17．如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是___结果保留

18．计算：（a2）2=_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．

    求证：△ABE≌△CAD；求∠BFD的度数.

20．（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE＝OF．

21．（6分）某中学为了解八年级学习体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？

（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；

（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名．

22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．求∠CDE的度数；求证：DF是⊙O的切线；若AC=DE，求tan∠ABD的值．

23．（8分）如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

24．（10分）如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10，求AC长．

25．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根．求m的取值范围；若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．

26．（12分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已经成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：

 (1)求关于x的函数表达式；李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用来描述.请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.

27．（12分）已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，

（1）如图1，求证：PQ＝PE；

（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3，求∠C的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6，连接QC交BC于点M，求QM的长．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、C

【解析】

试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．

如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，

∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，

∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，

即∠BAC的度数为85°．故选C．

考点: 旋转的性质.

2、A

【解析】

解：∵点P所表示的数为a，点P在数轴的右边，∴-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点P到原点距离的3倍，∴数-3a所对应的点可能是M，故选A．

点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点P到原点距离的3倍．

3、B

【解析】
解：A．a2+a2=2a2，故A错误；

C、a2a3=a5，故C错误；

D、a8÷a2=a6，故D错误；

本题选B.

考点：合同类型、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方

4、A

【解析】

试题分析：从上边看立体图形得到俯视图即可得右侧立体图形的俯视图是，故选A.

考点：简单组合体的三视图．

5、A

【解析】

试题分析：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距O1O2=4cm，5﹣3＜4＜5+3，

∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2相交．

故选A．

考点：圆与圆的位置关系．

6、B

【解析】

试题分析：由题意知，“-”代表零下，因此-3℃表示气温为零下3℃.

故选B.

考点：负数的意义

7、C

【解析】
根据题意得出旋转后的函数解析式为y=-x-1，然后根据解析式求得与x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．

【详解】

∵一次函数y＝﹣x+2的图象，绕x轴上一点P（m，1）旋转181°，所得的图象经过（1．﹣1），

∴设旋转后的函数解析式为y＝﹣x﹣1，

在一次函数y＝﹣x+2中，令y＝1，则有﹣x+2＝1，解得：x＝4，

即一次函数y＝﹣x+2与x轴交点为（4，1）．

一次函数y＝﹣x﹣1中，令y＝1，则有﹣x﹣1＝1，解得：x＝﹣2，

即一次函数y＝﹣x﹣1与x轴交点为（﹣2，1）．

∴m＝＝1，

故选：C．

【点睛】

本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式．本题属于基础题，难度不大．

8、D

【解析】
根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度进行判断.

【详解】

A选项图中无原点，故错误；

B选项图中单位长度不统一，故错误；

C选项图中无正方向，故错误；

D选项图形包含数轴三要素，故正确；

故选D.

【点睛】

本题考查数轴的画法，熟记数轴三要素是解题的关键.

9、C

【解析】
先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入最简公分母进行检验.

【详解】

方程两边同时乘以x－2得到1－（x－2）＝﹣3，解得x＝6.将x＝6代入x－2得6－2＝4，∴x＝6就是原方程的解.故选C

【点睛】

本题考查的是解分式方程，熟知解分式方程的基本步骤是解答此题的关键.

10、D

【解析】

试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．

∵对称轴x，∴＜1．∴ab＞1．故①正确．

②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．

③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c＞1．故③正确．

④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，

∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．

∵b＜1，∴c﹣b＞1．

∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．

⑤如图，对称轴，则．故⑤正确．

综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．

11、C

【解析】
由平行线的判定定理可证得，选项A，B，D能证得AC∥BD，只有选项C能证得AB∥CD．注意掌握排除法在选择题中的应用．

【详解】

A.∵∠3=∠A，

本选项不能判断AB∥CD，故A错误；

B.∵∠D=∠DCE，

∴AC∥BD.

本选项不能判断AB∥CD，故B错误；

C.∵∠1=∠2，

∴AB∥CD.

本选项能判断AB∥CD，故C正确；

D.∵∠D+∠ACD=180°，

∴AC∥BD.

故本选项不能判断AB∥CD，故D错误.

故选：C.

【点睛】

考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键.

12、A

【解析】
根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.

【详解】

A、是必然事件；

B、是随机事件，选项错误；

C、是随机事件，选项错误；

D、是随机事件，选项错误．

故选A．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、x=1

【解析】
将方程两边平方后求解，注意检验．

【详解】

将方程两边平方得x-3=4，

移项得：x=1，

代入原方程得=2，原方程成立，

故方程＝2的解是x=1．

故本题答案为：x=1．

【点睛】

在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验．

14、

【解析】
如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．设AB=2a，则BE=AE=CE=a，再设A（x，x），则B（x，x+2a）、C（x+a，x+a），再由B、C在反比例函数的图象上可得x（x+2a）=（x+a）（x+a），解得x=3a，由△OAB的面积为5求得ax=5，即可得a2=，根据S△ABC=AB•CE即可求解.

【详解】

如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．

∵AB⊥x轴，

∴CD⊥AB，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BE=AE=CE，

设AB=2a，则BE=AE=CE=a，

设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），

∵B、C在反比例函数的图象上，

∴x（x+2a）=（x+a）（x+a），

解得x=3a，

∵S△OAB=AB•DE=•2a•x=5，

∴ax=5，

∴3a2=5，

∴a2=，

∴S△ABC=AB•CE=•2a•a=a2=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．

15、110°或50°．

【解析】
由内角和定理得出∠C=60°，根据翻折变换的性质知∠DFE=∠A=70°，再分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况，先求出∠DFC度数，继而由∠BDF=∠DFC﹣∠B可得答案．

【详解】

∵△ABC中，∠A=70°、∠B=50°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=60°，由翻折性质知∠DFE=∠A=70°，分两种情况讨论：

①当∠EFC=90°时，∠DFC=∠DFE+∠EFC=160°，则∠BDF=∠DFC﹣∠B=110°；

②当∠FEC=90°时，∠EFC=180°﹣∠FEC﹣∠C=30°，∴∠DFC=∠DFE+∠EFC=100°，∠BDF=∠DFC﹣∠B=50°；

综上：∠BDF的度数为110°或50°．

故答案为110°或50°．

【点睛】

本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形内角和定理，熟知折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质是解答此题的关键．

16、甲．

【解析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定,方差越大，数据不稳定，则为新手.

【详解】

∵通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，

∴甲的方差大于乙的方差.

故答案为：甲.

【点睛】

本题考查的知识点是方差，条形统计图，解题的关键是熟练的掌握方差，条形统计图.

17、

【解析】
直接利用已知得出所有的弧的半径为3，所有圆心角的和为：菱形的内角和，即可得出答案．

【详解】

由题意可得：所有的弧的半径为3，所有圆心角的和为：菱形的内角和，故图中阴影部分的周长是：6π．

故答案为6π．

【点睛】

本题考查了弧长的计算以及菱形的性质，正确得出圆心角是解题的关键．

18、a1．

【解析】
根据幂的乘方法则进行计算即可.

【详解】

故答案为

【点睛】

考查幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质根据SAS即可证明△ABE≌△CAD；

（2）由三角形全等可以得出∠ABE=∠CAD，由外角与内角的关系就可以得出结论．

试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．

在△ABE和△CAD中，

AB=CA， ∠BAC=∠C，AE =CD，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

（2）∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD，

∵∠BAD+∠CAD=60°，

∴∠BAD+∠EBA=60°，

∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，

∴∠BFD=60°．

20、见解析

【解析】
由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对角线互相平分,即可得OA=OC,易证得△AEO≌△CFO,由全等三角形的对应边相等,可得OE=OF．

【详解】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,AB∥DC,

∴∠EAO=∠FCO,

在△AEO和△CFO中,

∴△AEO≌△CFO(ASA),

∴OE=OF.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定,属于简单题,熟悉平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题关键.

21、（1）50名；（2）16名；见解析；（3）56名．

【解析】

试题分析：根据A等级的人数和百分比求出总人数；根据总人数和A、B、D三个等级的人数求出C等级的人数；利用总人数乘以D等级人数的百分比得出答案．

试题解析：（1）10÷20%=50（名）答：本次抽样共抽取了50名学生．

（2）50－10－20－4=16（名）答：测试结果为C等级的学生有16名．

补全图形如图所示：

（3）700×（4÷50）=56（名）

答：估计该中学八年级700名学生中体能测试为D等级的学生有56名．

考点：统计图．

22、（1）90°；（1）证明见解析；（3）1．

【解析】
（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（1）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．

【详解】

解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠EDC=90°；

（1）证明：连接DO，

∵∠EDC=90°，F是EC的中点，

∴DF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠OCF=90°，

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，

∴DF是⊙O的切线；

（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，

∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，

∴∠DCA=∠E，

又∵∠ADC=∠CDE=90°，

∴△CDE∽△ADC，

∴，

∴DC1=AD•DE

∵AC=1DE，

∴设DE=x，则AC=1x，

则AC1﹣AD1=AD•DE，

期（1x）1﹣AD1=AD•x，

整理得：AD1+AD•x﹣10x1=0，

解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），

则DC=，

故tan∠ABD=tan∠ACD=．

23、解：（1）；（2）存在，P（，）；（1）Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，－1）或（0，－1）.

【解析】
（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.

（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.

（1）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.

【详解】

解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，

∴y＝2x﹣6，

令y＝0，解得：x＝1，

∴B的坐标是（1，0）．

∵A为顶点，

∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，

把B（1，0）代入得：4a﹣4＝0，

解得a＝1，

∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣1．

（2）存在．

∵OB＝OC＝1，OP＝OP，

∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．

设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣1，解得m＝（m＝＞0，舍），

∴P（，）．

（1）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，

∴，即=，∴DQ1＝，

∴OQ1＝，即Q1（0，-）；

②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，

∴，即，

∴OQ2＝，即Q2（0，）；

③如图，当∠AQ1B＝90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ1∽△Q1EA，

∴，即

∴OQ12﹣4OQ1+1＝0，∴OQ1＝1或1，

即Q1（0，﹣1），Q4（0，﹣1）．

综上，Q点坐标为（0，-）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣1）．

24、2.

【解析】
根据勾股定理逆定理，证△ABD是直角三角形，得AD⊥BC，可证AD垂直平分BC，所以AB=AC.

【详解】

解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，

∴BD=BC=1．

∵12+122=22，即BD2+AD2=AB2，

∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，

又∵CD=BD，

∴AC=AB=2．

【点睛】

本题考核知识点：勾股定理、全等三角形、垂直平分线.解题关键点：熟记相关性质，证线段相等.

25、（1）m＞；（2）x1=0，x2=1．

【解析】
解答本题的关键是是掌握好一元二次方程的根的判别式．

（1）求出△＝5+4m＞0即可求出m的取值范围；

（2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可．

【详解】

解：（1）△＝1+4（m＋2）

＝9+4m＞0

∴．

（2）∵为符合条件的最小整数，

∴m=﹣2．

∴原方程变为

∴x1＝0，x2＝1．

考点：1．解一元二次方程；2．根的判别式．

26、 (1) y1＝2x＋2；(2) 选择在B站出地铁，最短时间为39.5分钟．

【解析】
（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=x2-9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．

【详解】

(1)设y1=kx+b,将(8,18),(9,20),代入

y1=kx+b,得：

解得

所以y1关于x的函数解析式为y1=2x+2.

(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则

y=y1+y2=2x+2+x2-11x+78=x2-9x+80=(x-9)2+39.5.

所以当x=9时,y取得最小值,最小值为39.5,

答:李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短,最短时间为39.5分钟.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

27、（1）证明见解析（2）30°(3) QM=

【解析】

试题分析：

（1）连接OP，PB，由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP，从而可得BP平分∠OBQ，结合BQ⊥CP于点Q，PE⊥AB于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE；

（2）如下图2，连接OP，则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，设EF=x，则由∠GAB=30°，∠AEF=90°可得AE=，在Rt△BEF中，由tan∠BFE=可得BE=，从而可得AB=，则OP=OA=，结合AE=可得OE=，这样即可得到sin∠OPE=，由此可得∠OPE=30°，则∠C=30°；

（3）如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于点K，结合BQ⊥CP，∠OPQ=90°，可得四边形POKQ为矩形．由此可得QK=PO，OK∥CQ从而可得∠KOB=∠C=30°；由已知易证PE=，在Rt△EPO中结合（2）可解得PO=6，由此可得OB=QK=6；在Rt△KOB中可解得KB=3，由此可得QB=9；在△ABG中由已知条件可得BG=6，∠ABG=60°；过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，由∠ABG=∠CBQ=60°，可得∠GBN=60°，从而可得解得GN=，BN=3，由此可得QN=12，则在Rt△BGN中可解得QG=，由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分线，由此可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的长了.

试题解析：

（1）如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P，

∴OP⊥CP于点P，

又∵BQ⊥CP于点Q，

∴OP∥BQ，

∴∠OPB=∠QBP，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

∴∠QBP=∠OBP，

又∵PE⊥AB于点E，

∴PQ=PE；

（2）如下图2，连接，∵CP切⊙O于P，

∴

∴

∵PD⊥AB

∴

∴

∴

在Rt中,∠GAB=30°

∴设EF=x，则

在Rt中,tan∠BFE=3

∴

∴

∴

∴

∴在RtPEO中,

∴30°；

(3)如下图3，连接BG，过点O作于K，又BQ⊥CP，

∴，

∴四边形POKQ为矩形，

∴QK=PO,OK//CQ，

∴30°，

∵⊙O 中PD⊥AB于E ，PD=6 ，AB为⊙O的直径，

∴PE= PD= 3，

根据(2)得，在RtEPO中，，

∴，

∴OB=QK=PO=6，

∴在Rt中， ，

∴，

∴QB=9，

在△ABG中，AB为⊙O的直径，

∴AGB=90°，

∵BAG=30°，

∴BG=6，ABG=60°，

过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，则∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°，

∴BN=BQ·cos∠GBQ=3，GN=BQ·sin∠GBQ=，

∴QN=QB+BN=12，

∴在Rt△QGN中，QG=，

∵∠ABG=∠CBQ=60°，

∴BM是△BQG的角平分线，

∴QM：GM=QB：GB=9：6，

∴QM=.

点睛：解本题第3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、BG的长及∠CBQ=∠ABG=60°；（2）再过点G作GN⊥QB并交QB的延长线于点N，解出BN和GN的长，这样即可在Rt△QGN中求得QG的长，最后在△BQG中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得QM的长了.