江西省鹰潭市达标名校2022年中考二模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．如图，A(4，0），B（1，3），以OA、OB为边作□OACB，反比例函数（k≠0）的图象经过点C．则下列结论不正确的是（　　）

A．□OACB的面积为12

B．若y<3，则x>5

C．将□OACB向上平移12个单位长度，点B落在反比例函数的图象上．

D．将□OACB绕点O旋转180°，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上．

2．要使式子有意义，的取值范围是（   ）

A． B．且 C．. 或 D． 且

3．有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　　)

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则cos∠ECB为（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=，则△CEF的面积是（　　）

A． B． C． D．

7．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）

A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3

8．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）

A．线段 B．等边三角形 C．正方形 D．平行四边形

9．方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为的是(　　)

A．x＋2y＝1 B．3x＋2y＝－8

C．5x＋4y＝－3 D．3x－4y＝－8

10．有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB，CD，它们为苗圃的直径，且AB⊥CD．入口K 位于中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x，与入口K的距离为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是（ ）

A．A→O→D B．C→A→O→ B C．D→O→C D．O→D→B→C

11．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，  从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，  则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（   ）

A． B． C． D．

12．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（　　）

A．（x﹣20）（50﹣）＝10890 B．x（50﹣）﹣50×20＝10890

C．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=（x<0）的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是_____．

14．如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．

15．如图，若∠1+∠2=180°，∠3=110°，则∠4=           ．

16．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__.

17．如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为_____．

18．等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，DF⊥AE于点F，求证：∠AEB＝∠CDF.

20．（6分）2018年大唐芙蓉园新春灯会以“鼓舞中华”为主题，既有新年韵味，又结合“一带一路”展示了丝绸之路上古今文化经贸繁荣的盛况。小丽的爸爸买了两张门票，她和各个两人都想去观看，可是爸爸只能带一人去，于是读九年级的哥哥提议用他们3人吃饭的彩色筷子做游戏（筷子除颜色不同，其余均相同），其中小丽的筷子颜色是红色，哥哥的是银色，爸爸的是白色，将3人的3双款子全部放在 一个不透明的筷篓里摇匀，小丽随机从筷篓里取出一根，记下颜色放回，然后哥哥同样从筷篓里取出一根，若两人取出的筷子颜色相同则小丽去，若不同，则哥哥去。

（1）求小丽随机取出一根筷子是红色的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法求出小随爸爸去看新春灯会的概率。

21．（6分）如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．

（1）求证：AB是⊙O的切线；   

（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．

22．（8分）如图1，四边形ABCD中，，，点P为DC上一点，且，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．

证明：∽；

若，求的值；

如图2，若，设的平分线AG交直线BP于当，时，求线段AG的长．

23．（8分）“分组合作学习”已成为推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要措施.某中学从全校学生中随机抽取部分学生对“分组合作学习”实施后的学习兴趣情况进行调查分析，统计图如下：

请结合图中信息解答下列问题：求出随机抽取调查的学生人数；补全分组后学生学习兴趣的条形统计图； 分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比和对应扇形的圆心角.

24．（10分）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，点P是边OB上的点．

（1）利用直尺和圆规在图1确定点P，使得PM=PN；

（2）设OM=x，ON=x+4，

①若x=0时，使P、M、N构成等腰三角形的点P有　　个；

②若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是____________．

25．（10分）计算：+2〡6tan30

26．（12分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．

（1）求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．

（2）当运载火箭继续直线上升到D处，雷达站测得其仰角为56°，求此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.1．）

27．（12分）如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．

求证：BF＝BC；若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、B

【解析】
先根据平行四边形的性质得到点的坐标，再代入反比例函数（k≠0）求出其解析式，再根据反比例函数的图象与性质对选项进行判断.

【详解】

解：A(4，0），B（1，3），，

，

反比例函数（k≠0）的图象经过点，

，

反比例函数解析式为.

□OACB的面积为,正确；

当时，，故错误；

将□OACB向上平移12个单位长度，点的坐标变为，在反比例函数图象上，故正确；

因为反比例函数的图象关于原点中心对称，故将□OACB绕点O旋转180°，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上，正确.

故选：B.

【点睛】

本题综合考查了平行四边形的性质和反比例函数的图象与性质，结合图形，熟练掌握和运用相关性质定理是解答关键.

2、D

【解析】
根据二次根式和分式有意义的条件计算即可.

【详解】

解：∵ 有意义，

∴a+2≥0且a≠0，

解得a≥-2且a≠0.

故本题答案为：D.

【点睛】

二次根式和分式有意义的条件是本题的考点，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0.

3、C

【解析】

试题分析：根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．

解：从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形．

故选C．

考点：简单组合体的三视图．

4、C

【解析】

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴△ABC∽△ACD，

△ACD∽CBD，

△ABC∽CBD，

所以有三对相似三角形．

故选C．

5、D

【解析】
连接EB，设圆O半径为r，根据勾股定理可求出半径r=4，从而可求出EB的长度，最后勾股定理即可求出CE的长度．利用锐角三角函数的定义即可求出答案．

【详解】

解：连接EB，

由圆周角定理可知：∠B=90°，

设⊙O的半径为r，

由垂径定理可知：AC=BC=4，

∵CD=2，

∴OC=r-2，

∴由勾股定理可知：r2=（r-2）2+42，

∴r=5，

BCE中，由勾股定理可知：CE=2，

∴cos∠ECB==，

故选D．

【点睛】

本题考查垂径定理，涉及勾股定理，垂直定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型．

6、A

【解析】
解：∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE；

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，

∴AB=BE=6，

∵BG⊥AE，垂足为G，

∴AE=2AG．

在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=，

∴AG==2，

∴AE=2AG=4；

∴S△ABE=AE•BG=．

∵BE=6，BC=AD=9，

∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，

∴BE：CE=6：3=2：1，

∵AB∥FC，

∴△ABE∽△FCE，

∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=S△ABE=．

故选A．

【点睛】

本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．

7、A

【解析】

【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．

【详解】∵不等式组无解，

∴a﹣4≥3a+2，

解得：a≤﹣3，

故选A．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.

8、B

【解析】
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：A、线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、等边三角形，是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

9、D

【解析】

试题分析：将x与y的值代入各项检验即可得到结果．

解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x﹣4y=﹣1．

故选D．

点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

10、B

【解析】

【分析】观察图象可知园丁与入口K的距离先减小，然后再增大，但是没有到过入口的位置，据此逐项进行分析即可得.

【详解】A. A→O→D，园丁与入口的距离逐渐增大，逐渐减小，不符合；

B. C→A→O→ B，园丁与入口的距离逐渐减小，然后又逐渐增大，符合；

C. D→O→C，园丁与入口的距离逐渐增大，不符合；

D. O→D→B→C，园丁与入口的距离先逐渐变小，然后再逐渐变大，再逐渐变小，不符合，

故选B.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，看懂图形，认真分析是解题的关键.

11、C

【解析】

画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：.

故选C.

【点睛】运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．

12、C

【解析】
设房价比定价180元増加x元,根据利润=房价的净利润×入住的房同数可得.

【详解】

解：设房价比定价180元增加x元，

根据题意，得（180+x﹣20）（50﹣）＝1．

故选：C．

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用问题，主要在于找到等量关系求解.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、-2<x<-0.5

【解析】
根据图象可直接得到y1＞y2＞0时x的取值范围．

【详解】

根据图象得：当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5，

故答案为﹣2＜x＜﹣0.5.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟悉待定系数法以及理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．

14、

【解析】

连接BE，

∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，

∴BE∥AM．∴△AME与△AMB同底等高．

∴△AME的面积=△AMB的面积．

∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=n－1时，△AME的面积为．

∴当n≥2时，

15、110°．

【解析】
解：∵∠1+∠2=180°，

∴a∥b，∴∠3=∠4，

又∵∠3=110°，∴∠4=110°．

故答案为110°．

16、k>1

【解析】
根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定1-k的符号，即可解答．

【详解】

∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，

∴1-k＜0，

∴k＞1．

故答案为：k＞1．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．

17、1

【解析】
根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出，即可得出k=EC×EO=1．

【详解】

解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，

∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，

∴CO⊥AB，∠CAB=10°，

则∠AOD+∠COE=90°，

∵∠DAO+∠AOD=90°，

∴∠DAO=∠COE，

又∵∠ADO=∠CEO=90°，

∴△AOD∽△OCE，

∴ =tan60°= ，

∴= =1，

∵点A是双曲线y=- 在第二象限分支上的一个动点，

∴S△AOD=×|xy|= ，

∴S△EOC= ，即×OE×CE=，

∴k=OE×CE=1，

故答案为1．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出△AOD∽△OCE是解题关键．

18、18或21

【解析】

当腰为8时，周长为8+8+5=21；

当腰为5时，周长为5+5+8=18.

故此三角形的周长为18或21.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、见解析.

【解析】
利用矩形的性质结合平行线的性质得出∠CDF+∠ADF＝90°，进而得出∠CDF＝∠DAF，由AD∥BC，得出答案.

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，AD∥BC，

∴∠CDF+∠ADF＝90°，

∵DF⊥AE于点F，

∴∠DAF+∠ADF＝90°，

∴∠CDF＝∠DAF.

∵AD∥BC，

∴∠DAF＝∠AEB，

∴∠AEB＝∠CDF.

【点睛】

此题主要考查了矩形的性质以及平行线的性质，正确得出∠CDF＝∠DAF是解题关键.

20、（1）;（2）.

【解析】
（1）直接利用概率公式计算；

（2）画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两人取出的筷子颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】

（1）小丽随机取出一根筷子是红色的概率==；

（2）画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中两人取出的筷子颜色相同的结果数为12，

所以小丽随爸爸去看新春灯会的概率==．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．

21、 (1)见解析；(2)．

【解析】

分析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；

    （2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．

详解：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，

     ∵PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°．

    ∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°．

    ∵四边形ABCD为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，

∴直线AB与⊙O相切；

    （2）连结BD，交AC于点F，如图，

     ∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分．

    ∵AC=8，tan∠BAC=，∴AF=4，tan∠DAC==，

∴DF=2，∴AD==2，∴AE=．

在Rt△PAE中，tan∠1==，∴PE=．

设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R．

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，

∴R=，即⊙O的半径为．

点睛：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的性质和锐角三角函数以及勾股定理．

22、（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】
由余角的性质可得，即可证∽；

由相似三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求的值；

由题意可证∽，可得，可求，由等腰三角形的性质可得AE平分，可证，可得是等腰直角三角形，即可求AG的长．

【详解】

证明：，

又，

又，

∽

∽，

又，，

如图，延长AD与BG的延长线交于H点

，

∽

∴

，由可知≌

，

，

代入上式可得，

∽，

，，

∴

，，

平分

又平分，

，

是等腰直角三角形．

∴.

【点睛】

本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是添加恰当辅助线构造相似三角形．

23、（1）200人；（2）补图见解析；（3）分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比为30%；对应扇形的圆心角为108°.

【解析】

试题分析：（1）用“极高”的人数所占的百分比，即可解答；
（2）求出“高”的人数，即可补全统计图；
（3）用“中”的人数调查的学生人数，即可得到所占的百分比，所占的百分比即可求出对应的扇形圆心角的度数.

试题解析：(人).

学生学习兴趣为“高”的人数为：(人).

补全统计图如下:

分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比为：

学生学习兴趣为“中”对应扇形的圆心角为：

24、（1）见解析；（2）①1；②：x=0或x=4﹣4或4＜x＜4；

【解析】
（1）分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交与两点，过两弧交点的直线就是MN的垂直平分线；（2）①分为PM=PN，MP=MN，NP=NM三种情况进行判断即可；②如图1，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；如图4，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．

【详解】

解：（1）如图所示：

（2）①如图所示：

故答案为1．

②如图1，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，

∴MC⊥OB，

∵∠AOB=45°，

∴△MCO是等腰直角三角形，

∴MC=OC=4，

∴

当M与D重合时，即时，同理可知：点P恰好有三个；

如图4，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆．

则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；

点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；

∴当时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；

综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或或

故答案为x=0或或

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．

25、10 

【解析】
根据实数的性质进行化简即可计算.

【详解】

原式=9-1+2-+6×

=10-

=10 

【点睛】

此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知实数的性质.

26、（1）1.7km；（2）8.9km；

【解析】
（1）根据锐角三角函数可以表示出OA和OB的长，从而可以求得AB的长；（2）根据锐角三角函数可以表示出CD，从而可以求得此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离．

【详解】

解：（1）由题意可得，

∠BOC=∠AOC=90°，∠ACO=34°，∠BCO=45°，OC=5km，

∴AO=OC•tan34°，BO=OC•tan45°，

∴AB=OB﹣OA=OC•tan45°﹣OC•tan34°=OC（tan45°﹣tan34°）=5×（1﹣0.1）≈1.7km，

即A，B两点间的距离是1.7km；

（2）由已知可得，

∠DOC=90°，OC=5km，∠DCO=56°，

∴cos∠DCO=

即

∵sin34°=cos56°，

∴

解得，CD≈8.9

答：此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离是8.9km．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和锐角三角函数解答．

27、（1）见解析，（2）CF＝cm.

【解析】
（1）要求证：BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE=∠BDC就可以；

（2）已知AB=4cm，AD=3cm，就是已知BC=BF=3cm，CD=4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD•CE=BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，

∴∠CDB+∠DBC＝90°．

∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．

∴∠ECB＝∠CDB．

∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，

∴∠CFB＝∠BCF

∴BF＝BC

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．

在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝．

又∵BD•CE＝BC•DC，

∴CE＝．

∴BE＝．

∴EF＝BF﹣BE＝3﹣．

∴CF＝cm．

【点睛】

本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，灵活运用已知，理清思路，解决问题．