2022年深圳中考数学模拟试卷1（含答案解析）

这是一份2022年深圳中考数学模拟试卷1（含答案解析），共29页。

2022年深圳中考数学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021•旌阳区模拟）如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0，则整数x的值是（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．2
2．（3分）（2022•红花岗区一模）2022的相反数是（　　）
A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣
3．（3分）（2021•金华）一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　）

A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0
4．（3分）（2021秋•盱眙县期末）数据：﹣2，1，1，2，4，6的中位数是（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．1或2
5．（3分）（2021秋•台州期末）下列运算中，正确的是（　　）
A．x2+x2＝x4 B．3x2•4x＝12x3
C．x6÷x2＝x3 D．（﹣x3y）2＝﹣x6y2
6．（3分）（2021秋•封丘县期末）计算sin60°•tan30°﹣sin45°•cos30°的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（2021秋•海州区期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2021•鄞州区模拟）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）

A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
9．（3分）（2021秋•德城区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）（2021•涪城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，有下面结论：①CF＝2AF；②DF＝EF；③∠DFC＝∠AEB；④tan∠CAD＝2．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•旌阳区一模）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝　 　．
12．（3分）（2022•启东市模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是 　 　．
13．（3分）（2021秋•莱阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，若BD＝1，则BC的长为 　 　．

14．（3分）（2022•深圳二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，则k的值为　 　．

15．（3分）（2021春•硚口区期中）如图，在四边形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，EF为折痕，FH交CD于点K．若∠CKF＝35°，则∠A+∠GED＝　 　°．

三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021秋•江油市期末）先化简，再求值：，其中x＝4．
17．（6分）（2021秋•普宁市期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．

18．（8分）（2021秋•胶州市期末）某校学生会为了解该校2860名学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的办法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图（如图（1），图（2），要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了 　 　名学生．
（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是 　 　度．
（3）补全频数分布折线统计图．
（4）估计该校喜欢排球的学生有多少人？

19．（8分）（2021秋•海淀区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC，若DE＝1，BE＝，求GC和OF的长．

20．（8分）（2021秋•山亭区期末）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

21．（9分）（2021秋•东港区校级期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当自变量x取何值时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）在x轴上有一点E，使得△ABE面积是△BCO面积的4倍，求出点E的坐标．

22．（10分）（2021秋•绿园区期末）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．可知△DAP∽△PBC．
（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．
（1）求证：△DAP∽△PBC；
（2）若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长；
（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．

2022年深圳中考数学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021•旌阳区模拟）如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0，则整数x的值是（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】推理填空题；空间观念．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0列不等式求出x的取值范围，然后进行判断即可得解．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
“4”与“2x﹣3”是相对面，
“﹣3”与“3x﹣1”是相对面，
“1”与“﹣2”是相对面，
∵相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0，
∴4（2x﹣3）＜0，
﹣3（3x﹣1）＜0，
解得＜x＜，
∴x＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．解题的关键是掌握找正方体相对两个面上的文字的方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2．（3分）（2022•红花岗区一模）2022的相反数是（　　）
A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣
【考点】相反数．
【专题】实数；数感；符号意识．
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的相反数是﹣2022．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
3．（3分）（2021•金华）一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　）

A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观；运算能力．
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【解答】解：A、x＞﹣2，故A不符合题意；
B、x＜2，故B符合题意；
C、x≥2，故C不符合题意；
D、x＞2，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）（2021秋•盱眙县期末）数据：﹣2，1，1，2，4，6的中位数是（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．1或2
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】直接根据中位数的定义回答．
【解答】解：∵这组数据排序后为：﹣2，1，1，2，4，6，
∴这组数据的中位数是＝1.5．
故选：C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数：如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5．（3分）（2021秋•台州期末）下列运算中，正确的是（　　）
A．x2+x2＝x4 B．3x2•4x＝12x3
C．x6÷x2＝x3 D．（﹣x3y）2＝﹣x6y2
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用单项式乘单项式以及同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A．x2+x2＝2x2，故此选项不合题意；
B．3x2•4x＝12x3，故此选项符合题意；
C．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意；
D．（﹣x3y）2＝x6y2，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及同底数幂的除法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）（2021秋•封丘县期末）计算sin60°•tan30°﹣sin45°•cos30°的结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而结合二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝×﹣×
＝﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
7．（3分）（2021秋•海州区期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，根据时间＝路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组即可．
【解答】解：设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，
根据题意得，，
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是根据题意列出对应的二元一次方程组，此题难度不大．
8．（3分）（2021•鄞州区模拟）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）

A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．
【分析】设CB＝CD＝x，根据tan37°＝即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝5米，∠DAB＝37°，∠C＝90°，∠DBC＝53°，
∵tan∠DBC＝tan53°＝，
∴，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝5+x，
在Rt△ACD中，
tan37°＝，
解得x＝8.6，
∴CD＝8.6（米），
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题关键．
9．（3分）（2021秋•德城区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝﹣kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
10．（3分）（2021•涪城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，有下面结论：①CF＝2AF；②DF＝EF；③∠DFC＝∠AEB；④tan∠CAD＝2．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】矩形的性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】①由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出＝，由AE＝AD＝BC，推出＝，即CF＝2AF；
②如图，延长BE、CD交于点M，设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，根据△BAE∽△ADC，可得b＝a，由四边形ABCD是矩形，可得AD∥BC，CD＝AB＝a，利用勾股定理可得BE＝a，再由△EAF∽△EBA，即可得出DF＝EF；
③由②可得：DF＝CD，进而得出∠DFC＝∠DCF，再由△BAE∽△ADC，可得∠AEB＝∠DCF，从而得出∠DFC＝∠AEB；
④设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，由②知，b＝a，可得tan∠CAD＝＝，可判断④错误．
【解答】解：①∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，
∴CF＝2AF，故①正确；
②如图，延长BE、CD交于点M，
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
由△BAE∽△ADC，有 ＝，即b＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝a，
∴＝＝，
∴MC＝2MD，
∴MD+CD＝2MD，
∴CD＝MD＝a，
∴MC＝2CD＝2a，
∵∠CFM＝90°，
∴DF＝MC＝a，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝a，
∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，
∴△EAF∽△EBA，
∴＝，即＝，
∴EF＝a，
∴＝＝，
∴DF＝EF，故②正确；
③如图，由②可得：DF＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
又∵△BAE∽△ADC，
∴∠AEB＝∠DCF，
∴∠DFC＝∠AEB，故③正确；
④如图，设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
由②知，b＝a，
∴tan∠CAD＝＝＝＝，故④错误；
故选：C．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•旌阳区一模）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝　﹣y（x﹣3）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先提公因式﹣y，再应用完全平方公式．
【解答】解：原式＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2．
故答案为：﹣y（x﹣3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12．（3分）（2022•启东市模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是 　2022　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝﹣1，然后把2021﹣a﹣b变形为2021﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+1＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（3分）（2021秋•莱阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，若BD＝1，则BC的长为 　3　．

【考点】勾股定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】先利用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等说明线段AB与AE、BD与DE、CD与AD的关系，再在Rt△ABC中说明∠C的度数，最后利用特殊角在Rt△ECD中求出CD．
【解答】解：∵∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，
∴CD＝AD，BD＝DE＝1，AC＝2AE．
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（HL）．
∴AB＝AE．
∴AC＝2AB．
在Rt△ABC中，∵AC＝2AB，
∴∠C＝30°．
在Rt△ECD中，
∵ED＝1，∠C＝30°，
∴CD＝2DE＝2．
∴BC＝CD+BD＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了角平分线、线段的垂直平分线及含30°角的直角三角形的性质等知识点．掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”“等腰三角形的三线合一”及“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”等知识点是解决本题的关键．
14．（3分）（2022•深圳二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，则k的值为　4　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；正比例函数的性质；一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE（AAS），从而得出S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB+S△ABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示．
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF+∠FCB＝∠FCB+∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB+S△ABC．
∵将直线y＝﹣3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y＝﹣3x+3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴AB＝＝，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝，
∴S矩形OECF＝S△AOB+S△ABC＝×1×3+××＝4．
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝4，
故答案为：4．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．
15．（3分）（2021春•硚口区期中）如图，在四边形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，EF为折痕，FH交CD于点K．若∠CKF＝35°，则∠A+∠GED＝　145　°．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【分析】首先判定四边形ABCD是平行四边形，得到∠A＝∠C，AD∥BC，再根据折叠变换的性质和平行线的性质将角度转化求解．
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
根据翻转折叠的性质可知，∠AEF＝∠GEF，∠EFB＝∠EFK，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，∠AEF＝∠EFC，
∴∠GEF＝∠AEF＝∠EFC，∠DEF＝∠EFB＝∠EFK，
∴∠GEF﹣∠DEF＝∠EFC﹣∠EFK，
∴∠GED＝∠CFK，
∵∠C+∠CFK+∠CKF＝180°，
∴∠C+∠CFK＝145°，
∴∠A+∠GED＝145°，
故答案为145．
【点评】本题主要考查了翻转变化、平行四边形的判定和性质、三角形内角和等知识点，解题关键是将角度灵活转化求解．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021秋•江油市期末）先化简，再求值：，其中x＝4．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝•
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
17．（6分）（2021秋•普宁市期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．

【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；
（3）△ABC的面积为：3×5﹣2×5﹣1×3﹣2×3＝．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
18．（8分）（2021秋•胶州市期末）某校学生会为了解该校2860名学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的办法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图（如图（1），图（2），要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了 　100　名学生．
（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是 　36　度．
（3）补全频数分布折线统计图．
（4）估计该校喜欢排球的学生有多少人？

【考点】频数（率）分布折线图；扇形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】（1）根据乒乓球的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）根据（1）求出的总人数和喜欢篮球的人数所占的百分比，求出喜欢篮球的人数，从而得出喜欢排球的人数，用喜欢排球的人数除以总人数，再乘以
360度，即可求出喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角；
（3）根据总人数求出各个喜欢球的人数所占的百分比，从而补全统计图；
（4）根据喜欢排球所占的百分比，再乘以全校的总人数，即可求出答案．
【解答】解：（1）一共调查的总人数是：20÷20%＝100（名）；
故答案为：100．
（2）根据（1）得：喜欢篮球的人数是：100×40%＝40（名），
则喜欢排球的人数是：100﹣30﹣20﹣40＝10（名），
喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是×360°＝36°；
故答案为：36．
（3）足球的所占的百分比是：×100%＝30%，
排球所占的百分比是：×100%＝10%，
补图如下：

（4）根据题意得：
2860×＝286（人），
答：全校学生中最喜欢排球的学生约有286人．
【点评】本题考查了折线统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比，折线统计图表示的是事物的变化情况．
19．（8分）（2021秋•海淀区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC，若DE＝1，BE＝，求GC和OF的长．

【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据垂径定理得到BE＝CE，＝，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
（2）根据勾股定理求出半径，进而求出GC，根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BE＝CE，＝，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：∵BE＝，
∴BC＝2BE＝2，
设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣1，
在Rt△OBE中，OB2＝OE2+BE2，即x2＝（x﹣1）2+（）2，
解得：x＝2，
则GC＝＝2，
∵BG是⊙O的直径，
∴∠BCG＝90°，
∵AD⊥BC，
∴AE∥GC，
∴＝，
∵OA＝GC，
∴OF＝OG＝1．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
20．（8分）（2021秋•山亭区期末）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（15，45）、（24，36）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣15）y
＝（x﹣15）（﹣x+60）
＝﹣x2+75x﹣900，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜时，W随x的增大而增大，
∵15≤x≤24，
∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为324，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是324元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
21．（9分）（2021秋•东港区校级期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当自变量x取何值时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）在x轴上有一点E，使得△ABE面积是△BCO面积的4倍，求出点E的坐标．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】数形结合；函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）作BH⊥x轴于H，利用正切的定义得tan∠BOH＝＝，可计算出OH＝5，则B点坐标为（﹣5，﹣2），把B（﹣5，﹣2）代入y＝可计算k＝10，所以反比例函数的解析式为y＝；在把A（2，m）代入y＝确定A点坐标为（2，5），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）由一次函数图象上点的坐标特征确定点C的坐标（﹣3，0），求得S△BCO＝3；然后结合已知条件得到：S△ABE＝4S△BCO＝12；设点E的坐标为（t，0），由三角形的面积公式推知S△ABE＝CE•（yA﹣yB）|＝12，据此列出关于t的绝对值方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）作BH⊥x轴于H，如图1，

∵点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝，
∴BH＝2，tan∠BOC＝tan∠BOH＝＝．
∴OH＝5．
∴B点坐标为（﹣5，﹣2）．
把B（﹣5，﹣2）代入y＝，得k＝﹣5×（﹣2）＝10，
∴反比例函数的解析式为y＝；
把A（2，m）代入y＝，得2m＝10，
解得m＝5．
∴A点坐标为（2，5）．
把A（2，5）和B（﹣5，﹣2）代入y＝ax+b，得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+3；

（2）由（1）知，A（2，5），B（﹣5，﹣2），则由图象可知，当一次函数值大于反比例函数值时，自变量x的取值范围是：﹣5＜x＜0或x＞2；

（3）将y＝0代入y＝x+3中，得x＝﹣3．
∴点C的坐标是（﹣3，0）．
∴S△BCO＝CO•BM＝＝3．
∵要使得△ABE面积是△BCO面积的4倍，
∴S△ABE＝4S△BCO＝12．
∵点E在x轴上，
∴设点E的坐标为（t，0）．
∴CE＝|t﹣（﹣3）|＝|t+3|，如图2所示：

∴S△ABE＝CE•（yA﹣yB）＝|t+3|×[5﹣（﹣2）]＝|t+3|，
∴|t+3|＝12，
解得t＝或t＝﹣．
∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，重点理解待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的性质，三角形的面积以及函数与不等式之间的关系是解题的关键．
22．（10分）（2021秋•绿园区期末）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．可知△DAP∽△PBC．
（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．
（1）求证：△DAP∽△PBC；
（2）若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长；
（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠DPB＝∠A+∠PDA，得到∠PDA＝∠CPB，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（应用）证明△ACP∽△BPE，分CP＝CE、PC＝PE、EC＝EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠DPB是△APD的外角，
∴∠DPB＝∠A+∠PDA，即∠DPC+∠CPB＝∠A+∠PDA，
∵∠A＝∠DPC，
∴∠PDA＝∠CPB，
∵∠A＝∠B，
∴△DAP∽△PBC；
（2）解：∵△DAP∽△PBC，
∴＝，
∵PD＝4，PC＝8，BC＝6，
∴＝，
解得：AP＝3；
（应用）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB＝∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB＝∠A+∠PCA，
∵∠A＝∠CPE，
∴∠ACP＝∠BPE，
∵∠A＝∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP＝CE时，∠CPE＝∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE＝∠A＝∠B，
∴CP＝CE不成立；
当PC＝PE时，△ACP≌△BPE，
则PB＝AC＝8，
∴AP＝AB﹣PB＝12﹣8＝4；
当EC＝EP时，∠CPE＝∠ECP，
∵∠B＝∠CPE，
∴∠ECP＝∠B，
∴PC＝PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴＝＝，即＝＝，
解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．