物理粤教版 (2019)第五节 弹性碰撞与非弹性碰撞学案

弹性碰撞与非弹性碰撞

1．知道弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞及其特点。

2．能利用动量和能量的观点分析、解决一维碰撞的问题。

知识点一　碰撞的分类

[情境导学]

如图所示，光滑水平面上并排静止着小球2、3、4，小球1以速度v0射来，已知四个小球完全相同，小球间发生弹性碰撞，则碰撞后各小球的运动情况如何？

提示：小球1与小球2碰撞后交换速度，小球2与小球3碰撞后交换速度，小球3与小球4碰撞后交换速度，最终小球1、2、3静止，小球4以速度v0运动。

[知识梳理]

1．碰撞的特点：物体组成的系统所受外力远小于内力，且相互作用时间极短，系统的动量守恒。

2．从能量角度分类

(1)弹性碰撞(又称完全弹性碰撞)：碰撞前后系统的机械能相等_。

(2)非弹性碰撞：碰撞前后系统的机械能不相等_。

(3)完全非弹性碰撞：碰撞后物体粘在一起，机械能损失最大。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)发生碰撞的两个物体，动量是守恒的。(√)

(2)发生碰撞的两个物体，机械能是守恒的。 (×)

(3)两小球在光滑水平面上碰撞后粘在一起，不满足动量守恒定律。 (×)

(4)碰撞后，两个物体粘在一起，机械能损失最大。(√)

2.(多选)如图所示，两个物体1和2在光滑水平面上以相同动能相向运动，它们的质量分别为m1和m2，且m1<m2，经一段时间两物体相碰撞并粘在一起，碰撞后(　　)

A．两物体将向左运动

B．两物体将向右运动

C．两物体组成的系统损失能量最小

D．两物体组成的系统损失能量最大

解析：选AD　物体的动量p＝，已知两物体的动能Ek相等，m1<m2，则p1<p2，两物体组成的系统总动量方向与物体2的动量方向相同，即向左，由动量守恒定律知，两物体碰撞后动量的方向向左，两物体向左运动，故A正确，B错误；两物体碰撞后粘合在一起，发生的碰撞是完全非弹性碰撞，两物体组成的系统损失的机械能最大，故C错误，D正确。

知识点二　弹性碰撞和非弹性碰撞动量与能量的变化

[知识梳理]

如图所示，在光滑的水平面上放有用轻质弹簧拴连的两个物块1、2，现给物块1一初速度v1，此时弹簧处于原长状态。

(1)当弹簧再次达到原长时，由动量守恒定律和机械能守恒定律有

m1v1＝m1v1′＋m2v2′

m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2

解得v1′＝v1　v2′＝v1

若m1＝m2，两物块碰撞后交换速度；若m1≫m2或m2≫m1，质量大的物块的速度几乎不变。

(2)若物块1、2间没有弹簧，且碰后两物块粘在一起，此时二者的速度相同。

由动量守恒定律得m1v1＝(m1＋m2)v

解得v＝v1

此时动能损失最大，即

ΔEk＝m1v12－(m1＋m2)v2＝v12。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)两球发生弹性碰撞时，两者碰后必定交换速度。(×)

(2)发生非弹性碰撞的物体，碰后一定是以共同的速度运动。(×)

(3)无论发生哪种碰撞，碰撞后总动能不会增加。(√)

(4)与静止的小球发生碰撞时，入射小球碰后的速度不可能大于入射速度。(√)

2.如图所示，木块A、B的质量均为2 kg，置于光滑水平面上，B与一轻质弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，当A以4 m/s的速度向B撞击时，由于有橡皮泥而粘在一起运动，那么弹簧被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能大小为(　　)

A．4 J　　　　　　　 B．8 J

C．16 J D．32 J

解析：选B　A、B在碰撞过程中动量守恒，碰后粘在一起共同压缩弹簧的过程中机械能守恒。由碰撞过程中动量守恒得mAvA＝(mA＋mB)v，代入数据解得v＝＝2 m/s，所以碰后A、B及弹簧组成的系统的机械能为(mA＋mB)v2＝8 J，当弹簧被压缩至最短时，系统的动能为0，只有弹性势能，由机械能守恒定律得此时弹簧的弹性势能为8  J，选项B正确。

1．碰撞过程的特点

(1)时间短：在碰撞过程中，相互作用时间很短，相对于物体运动的全过程的时间可以忽略不计。

(2)满足动量守恒条件：系统的内力远远大于外力，所以，系统即使所受外力之和不为零，外力也可以忽略，所以可以认为系统的总动量守恒。

(3)能量不增加：若碰撞过程中没有其他形式的能转化为机械能，则系统碰前总动能Ek与碰后总动能Ek′满足：Ek≥Ek′。

2．碰撞的分类

(1)弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒。

(2)非弹性碰撞：动量守恒，动能有损失，损失的动能转化为系统的内能。

(3)完全非弹性碰撞：动量守恒，动能损失最大，碰撞后两物体粘合在一起以相同的速度运动。

[例题1]　如图所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接，质量为m1的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为m2的小球发生碰撞，碰撞后两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球m2的速度大小v2。

[解析]　设小球m1碰撞前的速度为v0，根据机械能守恒定律有m1gh＝m1v02

解得v0＝①

设碰撞后小球m1与m2的速度分别为v1和v2，取v0方向为正方向，根据动量守恒定律有

m1v0＝m1v1＋m2v2②

由于碰撞过程中无机械能损失，由能量守恒得

m1v02＝m1v12＋m2v22③

联立②③式解得v2＝④

将①代入④得v2＝。

[答案]　

[针对训练]

1.如图所示，在冰壶世锦赛上中国队以8∶6战胜瑞典队，收获了第一个世锦赛冠军，队长王冰玉在最后一投中，将质量为19 kg的冰壶推出，运动一段时间后以0.4 m/s的速度正碰静止的瑞典冰壶，然后中国队冰壶以0.1 m/s的速度继续向前滑向大本营中心。若两冰壶质量相等。则下列判断正确的是(　　)

A．瑞典队冰壶的速度为0.3 m/s，两冰壶之间的碰撞是弹性碰撞

B．瑞典队冰壶的速度为0.3 m/s，两冰壶之间的碰撞是非弹性碰撞

C．瑞典队冰壶的速度为0.5 m/s，两冰壶之间的碰撞是弹性碰撞

D．瑞典队冰壶的速度为0.5 m/s，两冰壶之间的碰撞是非弹性碰撞

解析：选B　两冰壶碰撞的过程中动量守恒，规定向前运动的方向为正方向，根据动量守恒定律有mv1＝mv2＋mv3，代入数据得m×0.4 m/s＝m×0.1 m/s＋mv3，解得v3＝0.3 m/s。动能减小量ΔE＝mv12－mv22－mv32＝m·(0.42－0.12－0.32)m2/s－2＞0，故系统的动能减小，是非弹性碰撞，B正确 。

2.(2018·全国卷Ⅱ)汽车A在水平冰雪路面上行驶。驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B。两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B车向前滑动了4.5 m，A车向前滑动了2.0 m。已知A和B的质量分别为2.0×103 kg和1.5×103 kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：

(1)碰撞后的瞬间B车速度的大小；

(2)碰撞前的瞬间A车速度的大小。

解析：(1)设B车的质量为mB，碰后加速度大小为aB。根据牛顿第二定律有

μmBg＝mBaB①

式中μ是汽车与路面间的动摩擦因数。

设碰撞后瞬间B车速度的大小为vB′，碰撞后滑行的距离为sB。由运动学公式有

vB′2＝2aBsB②

联立①②式并利用题给数据得

vB′＝3.0 m/s。③

(2)设A车的质量为mA，碰后加速度大小为aA，根据牛顿第二定律有

μmAg＝mAaA④

设碰撞后瞬间A车速度的大小为vA′，碰撞后滑行的距离为sA，由运动学公式有

vA′2＝2aAsA⑤

设碰撞前的瞬间A车速度的大小为vA。两车在碰撞过程中动量守恒，有

mAvA＝mAvA′＋mBvB′⑥

联立③④⑤⑥式并利用题给数据得

vA＝4.25 m/s。⑦

答案：(1)3.0 m/s　(2)4.25 m/s

碰撞问题遵循的三个原则

1．动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′。

2．总动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。

3．速度要符合情境

(1)如果碰前两物体同向运动，则碰撞前物体的速度v后＞v前，碰撞后，前面物体的速度一定增大，且v前′≥v后′。

(2)如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，若碰后沿同向运动，则v前≥v后。

[例题2]　(2020·东北育才学校高三检测)在光滑水平面上，一质量为m、速度大小为v的A球与质量为2m静止的B球发生正碰，则碰撞后B球的速度大小可能是(　　)

A．v　　　　　　　 B．0.8v

C．0.5v D．0.3v

[解析]　以两球组成的系统为研究对象，以A球的初速度方向为正方向，如果碰撞为弹性碰撞，由动量守恒定律得mv＝mvA＋2mvB，由机械能守恒定律得mv2＝mvA2＋·2mvB2，解得vA＝－v，vB＝v，负号表示碰撞后A球反向弹回。如果碰撞为完全非弹性碰撞，以A球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv＝(m＋2m)vB，解得vB＝v。碰撞后B球的速度范围是v＜vB＜v，则碰后B球的速度大小可能是0.5v。故A、B、D错误，C正确。

[答案]　C

碰撞问题分析与判断的技巧

(1)对一个给定的碰撞，首先要看动量是否守恒，其次再看总动能是否增加。

(2)一个符合实际的碰撞，除动量守恒外还要满足能量守恒，注意碰撞完成后不可能发生二次碰撞的速度关系的判定。

(3)要灵活运用Ek＝或p＝关系式转换动能、动量。　　　　

[针对训练]

1.在光滑水平面上，有A、B两个小球向右沿同一直线运动，取向右的方向为正方向，两球的动量分别是pA＝5 kg·m/s，pB＝7 kg·m/s，如图所示，若能发生正碰，则碰后两球的动量增量ΔpA、ΔpB可能的是(　　)

A．ΔpA＝－3 kg·m/s，ΔpB＝3 kg·m/s

B．ΔpA＝3 kg·m/s，ΔpB＝3 kg·m/s

C．ΔpA＝－10 kg·m/s，ΔpB＝10 kg·m/s

D．ΔpA＝3 kg·m/s，ΔpB＝－3 kg·m/s

解析：选A　两球碰撞过程，系统的动量守恒，两球动量变化量应大小相等，方向相反，根据碰撞过程动量守恒，如果ΔpA＝－3 kg·m/s，ΔpB＝3 kg·m/s，则碰后两球的动量分别为pA′＝2 kg·m/s，pB′＝10 kg·m/s，根据碰撞过程总动能可能不增加，是可能发生的，故A正确。若ΔpA＝3 kg·m/s，ΔpB＝3 kg·m/s，违反了动量守恒定律，不可能，故B错误。如果ΔpA＝－10 kg·m/s，ΔpB＝10 kg·m/s，则碰后两球的动量分别为pA′＝－5 kg·m/s，pB′＝17 kg·m/s，可以看出，碰撞后A的动能不变，而B的动能增大，违反了能量守恒定律，不可能，故C错误。根据碰撞过程动量守恒，如果ΔpA＝3 kg·m/s，ΔpB＝－3 kg·m/s，则碰后两球的动量分别为pA′＝8 kg·m/s，pB′＝4 kg·m/s，由题，碰撞后两球的动量方向都与原来方向相同，A的动量不可能沿原方向增大，与实际运动不符，故D错误。

2．(2019·武昌实验中学月考)小球1追碰小球2，碰撞前两球的动量分别为p1＝5 kg·m/s，p2＝7 kg·m/s，正碰后小球2的动量p2′＝10 kg·m/s，两球的质量关系可能是(　　)

A．m2＝m1　　　　　 B．m2＝2m1

C．m2＝4m1 D．m2＝6m1

解析：选C　由动量守恒定律，很容易得碰后小球1的动量p1′＝2 kg·m/s，这丝毫不能反映出两球的质量关系，这就要从题中内含的其他关系去寻找。首先，“追碰”表明碰前小球1的速度大于小球2的速度，即v1>v2，由v＝可得>，即m2>，排除了选项A的可能。按同样思路，碰后应有v1′≤v2′，≤，有m2≤5m1，排除了选项D的可能。由动能不增原则可知Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′，由动能Ek与动量p的关系Ek＝，可得＋≥＋，即有m2≥，排除了选项B。综合以上结论得≤m2≤5m1，只有选项C正确。

解决弹簧类碰撞问题的关键是真正理解动量守恒定律和机械能守恒定律的适用条件及其区别，须注意如下几个方面：

(1)研究对象的选取——应取哪几个物体组成的系统为研究对象，因为看不到系统就看不到守恒。

(2)物理过程的选取——必须明确系统在哪一个过程中哪一个物理量是守恒的，尤其不能忽视短暂的相关过程，因为可能会有机械能的损失。

(3)分析临界状态或极值状态——通过分析碰撞过程找出有用的特殊状态及其条件。

[例题3]　如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为mA＝2.0 kg，mB＝1.0 kg，mC＝1.0 kg。现用一轻质弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做功108 J(弹簧仍处于弹性限度内)，然后同时释放A、B，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰以4 m/s的速度迎面与B发生碰撞并粘连在一起。求：

(1)弹簧刚好恢复原长时(B与C碰撞前)，A物块和B物块速度的大小；

(2)当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能。

[解析]　(1)设弹簧刚好恢复原长时，A和B物块速度的大小分别为vA、vB，取vA的方向为正方向。

由动量守恒定律，有0＝mAvA－mBvB①

此过程机械能守恒，有W外＝mAvA2＋mBvB2②

联立①②式，代入数据解得vA＝6 m/s，vB＝12 m/s，A的速度向右，B的速度向左。

(2)C与B碰撞时，C、B组成的系统动量守恒，设碰后B、C粘连时速度为v′，取vB的方向为正方向，则有mBvB－mCvC＝(mB＋mC)v′，代入数据得v′＝4 m/s，v′的方向向左。

此后A和B、C组成的系统动量守恒，机械能守恒，当弹簧第二次压缩最短时，弹簧具有的弹性势能最大，设为Ep，且此时A、B、C三者有相同的速度，设为v，取vA的方向为正方向，由动量守恒得mAvA－(mB＋mC)v′＝(mA＋mB＋mC)v，代入数据得v＝1 m/s，v的方向向右。

由机械能守恒得mAvA2＋(mB＋mC)v′2＝Ep＋(mA＋mB＋mC)v2，代入数据得Ep＝体50 J。

[答案]　见解析

物体和弹簧组成的系统中，具有下面的特点

(1)两个物体速度相等时，弹簧处于形变量(压缩或拉伸)最大的状态，弹簧的弹性势能达到最大。

(2)两个物体不停地进行着加速和减速运动，加速度时刻在变化，能量是动能和弹性势能之间的转化，在弹性限度内，弹簧碰撞模型属于弹性碰撞模型，所以满足包括弹簧在内的系统动量守恒和机械能守恒。　　　　

[针对训练]

1.(多选)如图所示，与水平轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上，物体B沿水平方向向右运动，跟与A相连的轻弹簧相碰。在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是(　　)

A．弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同

B．弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最小

C．弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少

D．物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零

解析：选ABD　物体B与弹簧接触时，弹簧发生形变，产生弹力，可知B做减速运动，A做加速运动，当两者的速度相等时，弹簧的压缩量最大，故A正确。A、B和弹簧组成的系统动量守恒，压缩量最大时，弹簧的弹性势能最大，根据能量守恒，知此时A、B的动能之和最小，故B正确。弹簧在压缩的过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，故C错误。当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，然后A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐恢复原长，当弹簧恢复原长时，A的速度最大，此时弹簧的弹性势能为零，故D正确。

2.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视作质点。Q与水平轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞。在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　)

A．P的初动能 B．P的初动能的

C．P的初动能的 D．P的初动能的

解析：选B　把小滑块P和Q以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒。在整个碰撞过程中，当小滑块P和Q的速度相等时，弹簧具有的弹性势能最大。小滑块P的初速度为v0，设两滑块的质量均为m，以v0的方向为正方向，则mv0＝2mv，v＝，所以弹簧具有的最大弹性势能Epm＝mv02－×2mv2＝mv02＝Ek0，故B正确。

1．下列关于碰撞的理解正确的是(　　)

A．碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生了显著变化的过程

B．在碰撞现象中，一般内力都远大于外力，所以可以认为碰撞时系统的动能守恒

C．如果碰撞过程中机械能守恒，这样的碰撞叫作非弹性碰撞

D．微观粒子的相互作用由于不发生直接接触，所以不能称其为碰撞

解析：选A　碰撞是十分普遍的现象，它是指相对运动的物体相遇时，运动状态在极短的时间内发生显著变化的一种现象，A正确；碰撞时，一般内力远大于外力，非弹性碰撞时，部分动能转化为内能，系统动能不再守恒，B错误；如果碰撞中机械能守恒，这种碰撞就叫作弹性碰撞，C错误；微观粒子的相互作用同样具有短时间内产生强大内力作用的特点，所以仍然是碰撞，D错误。

2.如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动。两球的质量关系为mB＝2mA，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为6 kg·m/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s。则(　　)

A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5

B．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10

C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5

D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10

解析：选A　碰撞前A、B两球的动量均为6 kg·m/s，方向均向右，mB＝2mA，vA′>      vB′，则左方是A球。碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s，则B球的动量增量为4 kg·m/s，所以碰后A球的动量为2 kg·m/s，B球的动量为10 kg·m/s，即mAvA＝2 kg·m/s，mBvB＝10 kg·m/s，因mB＝2mA，故vA∶vB＝2∶5，所以，选项A正确。

3．(2020·河北邯郸期末)汽车A和汽车B静止在水平地面上，某时刻汽车A开始倒车，结果汽车A撞到了停在它正后方的汽车B，汽车B上装有智能记录仪，能够测量并记录汽车B前面的物体相对于汽车B自身的速度。在本次碰撞中，如果汽车B的智能记录仪测得碰撞前的瞬间汽车A的速度大小为v0，已知汽车A的质量是汽车B质量的2倍，碰撞过程可视为弹性碰撞，则碰后瞬间汽车A相对于地面的速度大小为(　　)

A．v0　　　　　 B．v0

C．v0 D．v0

解析：选C　两汽车发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，设碰撞后A、B的速度分别为v1、v2，以碰撞前A的速度方向为正方向，设B的质量为m，则A的质量为2m，由动量守恒定律得2mv0＝2mv1＋mv2，由机械能守恒定律得·2mv02＝·2mv12＋mv22，解得v1＝v0，选项C正确。

4．(多选)(2020·福建福州期末)质量为M＝1.5 kg的小球A和质量为m＝0.5 kg的小球B在光滑水平面上做对心碰撞前后的x­t图像如图所示，由图可知(　　)

A．两个小球在碰撞前后动量不守恒

B．碰撞过程中，B损失的动能是3 J

C．碰撞前后，A的动能不变

D．这两个小球的碰撞是弹性碰撞

解析：选BD　根据x­t图像的斜率表示速度，可知A球的初速度为vA＝0，B球的初速度为vB＝m/s＝4 m/s，碰撞后A球的速度为vA′＝ m/s＝2 m/s，碰撞后B球的速度为vB′＝ m/s＝－2 m/s，碰撞前总动量为p＝MvA＋mvB＝2 kg·m/s，碰撞后总动量为p′＝MvA′＋mvB′＝2 kg·m/s，故两个小球在碰撞前后动量守恒，A错误；碰撞过程中，B球的动能变化量为ΔEkB＝mvB′2－mvB2＝×0.5×(22－42)J＝－3 J，即损失的动能是3 J，B正确；碰撞前A的动能为零，碰撞后A的动能大于零，C错误；A球动能增加量为ΔEkA＝MvA′2－0＝3 J，则碰撞前后系统的总动能不变，此碰撞是弹性碰撞，D正确。

5.两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。则在以后的运动中：

(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？

(2)系统中弹性势能的最大值是多少？

解析：(1)当A、B、C三者的速度相同时弹簧的弹性势能最大。

由A、B、C组成的系统动量守恒得

(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vABC

解得vABC＝ m/s＝3 m/s。

(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后的瞬间B、C两者的速度为vBC，则有

mBv＝(mB＋mC)vBC得vBC＝ m/s＝2 m/s

物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep，根据能量守恒定律，得

Ep＝(mB＋mC)vBC2＋mAv2－(mA＋mB＋mC)vABC2＝×(2＋4)×22 J＋×2×62 J－×(2＋2＋4)×32 J＝12 J。

答案：(1)3 m/s　(2)12 J