高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册5 弹性碰撞和非弹性碰撞学案设计

弹性碰撞和非弹性碰撞

必备知识·自主学习

一、弹性碰撞和非弹性碰撞

　根据碰撞中机械能是否有损失，可以把碰撞分为几种类型？

提示：弹性碰撞和非弹性碰撞。

1．弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞。

2．非弹性碰撞：如果系统在碰撞后机械能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞。

3．完全非弹性碰撞：碰撞后两物体结合在一起，机械能损失最多的碰撞。

4．下列物体在碰撞过程中可以看作弹性碰撞的是(1)(3)。

(1)如图甲滑轨上有两辆安装了弹性碰撞架的小车，它们发生碰撞后分别改变了运动状态。

(2)如图乙两辆小车都放在滑轨上，用一辆运动的小车碰撞一辆静止的小车，碰撞后两辆小车粘在一起运动。

(3)钢球、玻璃球碰撞时，机械能损失很小。

二、弹性碰撞的实例分析

　质量相等，形状完全相同的两个弹性小球放在光滑水平面上，其中一个小球以v0的速度撞击另一个静止的小球，碰后两小球怎样运动？

提示：被碰的小球以v0的速度向前运动，碰撞小球保持静止。

1．正碰：两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞。

2．弹性碰撞后的速度特点：假设物体m1以速度v1与原来静止的物体m2发生弹性正碰，如图所示，碰撞后它们的速度分别为v′1和v′2。

根据动量守恒定律得m1v1＝m1v′1＋m2v′2①

根据机械能守恒定律得m1v＝②

从方程①②可以解出两个物体碰撞后的速度分别为

v′1＝③

v′2＝④

(1)若m1＝m2，这时v′1＝0，v′2＝v1

这表示第一个物体的速度由v1变为0，而第二个物体由静止开始运动，运动的速度等于第一个物体原来的速度。

(2)若m1≫m2，这时v′1＝v1，v′2＝2v1

这表示碰撞后，第一个物体的速度几乎没有改变，而第二个物体以2v1的速度被撞出去。

(3)若m1≪m2，这时v′1＝－v1，v′2＝0

这表示碰撞后，第一个物体以原来的速率被弹回，而第二个物体仍然静止。

　(1)质量相等的两个物体发生碰撞时，一定交换速度。(×)

(2)在碰撞现象中，物体所受的外力作用一定不能忽略。(×)

(3)若碰撞过程中动能不变，这样的碰撞叫非弹性碰撞。(×)

(4)根据碰撞过程中动能是否守恒，碰撞可分为正碰和斜碰。(×)

(5)若在光滑水平面上两球相向运动，碰后均变为静止，则两球碰前的动量大小一定相同。(√)

关键能力·合作学习

知识点一　碰撞过程的特点及分类

1．碰撞过程的特点：

(1)时间特点：碰撞现象中，相互作用的时间极短，相对物体的全过程可忽略不计。

(2)受力特点：在碰撞过程中，系统的内力远大于外力，外力可以忽略，系统的总动量守恒。

(3)位移特点：在碰撞过程中，由于在极短的时间内物体的速度发生突变，物体发生的位移极小，可认为碰撞前后物体处于同一位置。

(4)能量的特点：碰撞、打击过程系统的动能不会增加，可能减少，也可能不变。

2．碰撞的分类：

(1)弹性碰撞：系统动量守恒，机械能守恒。

(2)非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能。

(3)完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大。

　如图为两刚性摆球碰撞时的情境。两球质量相等，将一球拉到某位置释放，发生碰撞后，入射球静止，被碰球上升到与入射球释放时同样的高度，说明了什么？

提示：两球在最低点碰撞时，满足动量守恒条件，二者组成系统动量守恒，入射球静止，被碰球上升同样的高度，说明该碰撞过程中机械能不变。

【典例】如图甲所示，在光滑水平面上的两小球发生正碰。小球的质量分别为m1和m2。图乙为它们碰撞前后的x­t(位移—时间)图像。已知m1＝0.1 kg。由此可以判断(　　)

A．碰前质量为m2的小球静止，质量为m1的小球向右运动

B．碰后质量为m2的小球和质量为m1的小球都向右运动

C．m2＝0.2 kg

D．碰撞过程中系统损失了0.4 J的机械能

【解析】选A。由题图乙可知，质量为m1的小球碰前速度v1＝4 m/s，碰后速度为v′1＝－2 m/s，质量为m2的小球碰前速度v2＝0，碰后的速度v′2＝2 m/s，两小球组成的系统动量守恒，有m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2，代入数据解得m2＝0.3 kg，所以选项A正确，选项B、C错误；两小球组成的系统在碰撞过程中的机械能损失为ΔE＝m1v＋m2v－(m1v′＋m2v′)＝0，所以碰撞是弹性碰撞，选项D错误。

　动量守恒定律是分析、求解碰撞问题的重要规律，但并非唯一规律，有时要结合速度及能量的合理性考虑碰撞中的实际情况。

1．(母题追问)在【典例】中，两球碰后若粘合在一起，则系统损失的机械能为多少？

【解析】由动量守恒定律m1v1＝(m1＋m2)v共

ΔE＝m1v－(m1＋m2)v

解得v共＝1 m/s

ΔE＝0.6 J。

2.(2021·枣庄高二检测)在光滑水平面上有三个完全相同的小球，它们排成一条直线，2、3小球静止并靠在一起，1球以速度v0射向它们，如图所示。设碰撞中不损失机械能，则碰后三个小球的速度分别是(　　)

A．v1＝v2＝v3＝v0 　　　　　 B．v1＝0，v2＝v3＝v0

C．v1＝0，v2＝v3＝v0        D．v1＝v2＝0，v3＝v0

【解析】选D。由于1球与2球发生碰撞时间极短，2球的位置来不及发生变化。这样2球对3球不产生力的作用，即3球不会参与1、2球作用，1、2球作用后立即交换速度，即碰后1球停止，2球速度立即变为v0，同理分析，2、3球作用后交换速度，故选项D正确。

3．一质量为m1的物体以v0的初速度与另一质量为m2的静止物体发生碰撞，其中m2＝km1，k＜1。碰撞可分为弹性碰撞、完全非弹性碰撞以及非弹性碰撞。碰撞后两物体速度分别为v1和v2。假设碰撞在一维上进行，且一个物体不可能穿过另一个物体。物体1撞后与碰撞前速度之比r＝的取值范围是(　　)

A．≤r≤1    B．≤r≤

C．0≤r≤    D．≤r≤

【解析】选B。若发生弹性碰撞，则由动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2；由能量关系：m1v＝m1v＋m2v ，解得v1＝v0，则＝；若发生完全非弹性碰撞，则由动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v，解得v1＝v2＝，则＝，故≤r≤，B正确。

知识点二　判断碰撞是否发生的三原则

1．动量守恒——系统动量守恒

即m1v′1＋m2v′2＝m1v1＋m2v2

2．动能守恒——系统动能不增加

即m1v＋m2v≥m1v′＋m2v′。

3．运动制约——碰撞过程的速度关系

(1)如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v后＞v前，碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后的物体的速度，即v前′≥v后′。

(2)如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。若碰后沿同向运动，v前′≥v后′。

从x­t图得到的速度也一定要注意正负问题，斜率为负速度即为负值，斜率为正速度即为正值。

如图甲中质量为M的B物体以速度v向右碰撞一个轻弹簧，弹簧右端连接等质量的物体A，接触面光滑。碰撞后两物体怎样运动？

提示：碰后B物体的速度减小，A物体的速度增大，弹簧被压缩，当弹簧压缩到最短时两物体达到共同速度，由于水平方向所受合外力为零，动量守恒，两物体的速度为，此后弹簧仍然对A做正功，对B做负功，则A的速度继续增大，B的速度继续减小，当B的速度等于零时，A的速度达到最大，等于v。

【典例】(2021·南通高二检测)A、B两球在水平光滑轨道上①，已知它们的动量分别是p1＝5 kg·m/s，p2＝7 kg·m/s，②，则两球质量m1与m2间的关系可能是(　　)

A．m1＝m2　　　　　　　　　B．2m1＝m2

C．4m1＝m2         D．6m1＝m2

【审题关键】

【解析】选C。A、B两球在碰撞过程中动量守恒，所以有p1＋p2＝p1′＋p2′，即p1′＝2 kg·m/s。由于在碰撞过程中，不可能有其他形式的能量转化为机械能，只能是系统内物体间机械能相互转化或一部分机械能转化为内能，因此系统的机械能不会增加，所以有＋≥＋，所以有m1≤m2。因为题目给出物理情境是“A从后面追上B”，要符合这一物理情境，就必须有＞，即m1＜m2；同时还要符合碰撞后B球的速度必须大于或等于A球的速度这一物理情境，即≤，所以m1≥m2，因此C选项正确。

　处理碰撞问题的思路

(1)对一个给定的碰撞，首先要看动量是否守恒，其次再看总机械能是否增加。

(2)一个符合实际的碰撞，除动量守恒外还要满足能量守恒，同时注意碰后的速度关系。

(3)要灵活运用Ek＝或p＝，Ek＝pv或p＝几个关系式。

1．(母题追问)在【典例】中若mA＝1 kg，mB＝2 kg，vA＝6 m/s，vB＝2 m/s，当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是(　　)

A.vA′＝5 m/s，vB′＝2.5 m/s

B.vA′＝2 m/s，vB′＝4 m/s

C.vA′＝－4 m/s，vB′＝7 m/s

D.vA′＝7 m/s，vB′＝1.5 m/s

【解析】选B。虽然题中四个选项均满足动量守恒定律，但A、D两项中，碰后A的速度vA′大于B的速度vB′，必然要发生第二次碰撞，不符合实际；C项中，两球碰后的总动能E′k＝mAvA′2＋mBvB′2＝57 J，大于碰前的总动能Ek＝22 J，违背了能量守恒定律；而B项既符合实际情况，也不违背能量守恒定律，故B项正确。

2．质量为m的小球A，沿光滑水平面以速度v0与质量为2m的静止小球B发生正碰，碰撞后，小球A的动能变为原来的，那么小球B的速度可能是(　　)

A.v0      B．v0

C.v0       D．v0

【解析】选B。要注意的是两球的碰撞不一定是弹性碰撞，碰撞后A球动能变为原来的，则其速度大小仅为原来的。两球在光滑水平面上正碰，碰后A球的运动有两种可能，继续沿原方向运动或被反弹。当以A球原来的速度方向为正方向时，则v′A＝±v0，根据两球碰撞前、后的总动量守恒，有mv0＋0＝m×v0＋2mv′B，mv0＋0＝m×(－v0)＋2mv″B，解得v′B＝v0，v″B＝v0。由于碰撞过程中动能不增加，即mv≥×mv＋×2mv，将v0代入上式成立，所以B选项正确。

3.如图所示，一木块用细绳悬挂于天花板上O点处于静止状态，一颗质量为m的子弹以水平速度v0射向质量为M的木块，射入木块后，留在其中，求木块可到达的最大高度(子弹和木块均可看作质点，木块未碰天花板。空气阻力不计)。

【解析】子弹进入木块前后动量守恒

则有：mv0＝(M＋m)v

子弹进入木块后，与木块一起绕O点转动，由机械能守恒定律得(M＋m)v2＝(M＋m)gh

木块可到达的最大高度h＝

答案：

【加固训练】

在一条直线上相向运动的甲、乙两个小球，它们的动能相等，已知甲球的质量大于乙球的质量，它们正碰后可能发生的情况是(　　)

A.甲、乙两球都停止运动

B.甲球反向运动，乙球停下

C.甲、乙两球都反向运动

D.甲、乙两球都反向运动，且动能仍相等

【解析】选C。由p2＝2mEk知，甲球的动量大于乙球的动量，所以总动量的方向应为甲球的初动量的方向，可以判断C项正确。

【拓展例题】考查内容：多个物体组成的系统的碰撞问题

【典例】如图所示，滑块A、C质量均为m，滑块B质量为m。开始时A、B分别以v1、v2的速度沿光滑水平轨道向固定在右侧的挡板运动，现将C无初速度地放在A上，并与A粘合不再分开，此时A与B相距较近，B与挡板相距足够远。若B与挡板碰撞将以原速率反弹，A与B碰撞后将粘合在一起。为使B能与挡板碰撞两次，v1、v2应满足什么关系？

【解析】设向右为正方向，A与C粘合在一起的共同速度为v′，由动量守恒定律得mv1＝2mv′①

为保证B碰挡板前A未能追上B，应满足v′≤v2②

设A、B碰后的共同速度为v″，由动量守恒定律得

2mv′－mv2＝mv″③

为使B能与挡板再次相碰应满足v″>0④

联立①②③④式解得1.5v2<v1≤2v2或v1≤v2<v1

答案：1.5v2<v1≤2v2或v1≤v2<v1

情境·模型·素养

　如图所示，游乐场上，两位同学各驾着一辆碰碰车迎面相撞，此后，两车以共同的速度运动。设甲同学和他的车的总质量为150 kg，碰撞前向右运动，速度的大小为4.5 m/s；乙同学和他的车总质量为200 kg，碰撞前向左运动，速度的大小为3.7 m/s。

探究：

(1)碰撞后两车共同的运动速度。

(2)碰撞过程中损失的机械能。

【解析】(1)设甲同学的车碰撞前的运动方向为正方向，他和车的总质量m1＝

150 kg，碰撞前的速度v1＝4.5 m/s；

乙同学和车的总质量m2＝200 kg，

碰撞前的速度v2＝－3.7 m/s。

设碰撞后两车的共同速度为v，则系统碰撞前的总动量为

p＝m1v1＋m2v2＝150×4.5 kg·m/s＋200×(－3.7) kg·m/s＝－65 kg·m/s

碰撞后的总动量为p′＝(m1＋m2)v

根据动量守恒定律可得p＝p′，代入数据得v≈－0.186 m/s，即碰撞后两车以v＝0.186 m/s的共同速度运动，运动方向向左。

(2)此过程中损失的机械能

ΔE＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v2≈2 881.7 J。

答案：(1)0.186 m/s，方向向左　(2)2 881.7 J

　在沙堆上有一木块，质量m0＝5 kg，木块上放一爆竹，质量m＝0.10 kg。点燃爆竹后木块陷入沙中深5 cm，若沙对木块运动的阻力恒为58 N，不计爆竹中火药质量和空气阻力(g取10 m/s2)。

探究：

(1)木块匀减速的初速度；

(2)爆竹上升的最大高度。

【解析】(1)火药爆炸时内力远大于重力，所以爆炸时动量守恒，设v、v′分别为爆炸后爆竹和木块的速率，取向上的方向为正方向，由动量守恒定律得mv－m0v′＝0①

木块陷入沙中做匀减速运动到停止，其加速度为

a＝＝ m/s2＝1.6 m/s2

木块做匀减速运动的初速度

v′＝＝ m/s＝0.4 m/s②

②代入①式，得v＝20 m/s

(2)爆竹以初速度v做竖直上抛运动，上升的最大高度为

h＝＝ m＝20 m。

答案： (1)0.4 m/s　(2) 20 m