精品解析：吉林省松原市长岭县第三中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题

长岭三中2020—2021学年度下学期期末考试

高一数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（    ）.

A.   B.   C. 1 D. 2

3. 2019年5月31日世界无烟日，新华小区随机调查了个成年人，结果其中有个成年人吸烟.对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（　　）

A. 调查的方式是普查 B. 样本是个吸烟的成年人

C. 本小区只有个成年人不吸烟 D. 本小区约有的成年人吸烟

4. 下列说法正确是（    ）

A. 多面体至少有3个面

B. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D. 六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形

5. 从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 为让数据多跑路，群众少跑腿，某地区今年将全面通过学生社会保障卡（简称社保卡）进行代扣代缴，这种模式避免大量保费以现金的形式在个人手中停留时间较长，大大缩减了收缴费用的时间，提高办事效能.学生家长只需在合作银行网点通过银行柜台、自助终端机、网上银行、手机这四种方式进行缴费即可，该区从缴费过的家长中随机抽取了容量为的样本，绘制通过各个不同缴费方式所占样本人数的比例图（如图所示），其中阴影部分表示相应 缴费方式人数所占的比例，则下列叙述中错误的是（ ）

A. 相比其他缴费方式，家长更愿意通过手机缴费

B. 调查中选择自助终端机和网上银行缴费的人数合计为

C. 通过银行柜台缴费家长人数占样本比例是

D. 通过调查可预测，选择手机缴费的人数约是选择银行柜台缴费人数的倍

7. 已知，，则向量的夹角（  ）

A.  B.  C.  D.

8. 对于有如下命题，其中正确的是（  ）

A. 若，则为等腰三角形

B. 若，则为直角三角形

C. 若，则为钝角三角形

D. 若，则为等腰三角形

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题正确的是（  ）

A. 已知平面和直线，则平面内至少有一条直线与直线垂直

B. 已知不同的平面，不同的直线，若，则

C. 已知直线相交，直线相交，则直线可能异面

D. 若直线在平面外，则直线与平面无交点

10. 如图，在平面四边形ABCD中，等边的边长为2，，，点M为边上一动点，记，则的取值可以是（    ）

A  B.  C. 5 D. 10

11. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则（    ）

A. 正方体外接球的表面积为 B. 正方体的内切球的体积为

C. 正方体的棱长为2 D. 线段的最大值为

12. 如图，设的内角所对的边分别为，，且，若点是外一点，，则下列说法中正确的是（  ）

A. 内角

B. 的内角

C. 四边形面积无最大值

D. 四边形面积的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 如图，在中，，是线段的两个三等分点，，则_____．

14. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则 _______.

15. 在中，角所对的边分别为，，且，则的大小为________.

16. 在正三棱柱中，，，分别为，的中点，平面过点，且平面平面，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为________.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）在不超过的素数中随机选取两个不同的数，求其和等于的概率；

（2）投掷一颗骰子次，求投出的点数之和为的概率.

18. 如图，在直三棱中，点是棱的中点，，.

（1）求证:平面；

（2）若是的中点，求三棱锥的体积.

19. 已知在中，内角所对的边分别为，若，，且.

（1）求的值；

（2）求的面积.

20. 为了了解某年龄段名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于秒与秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前个组的频率之比为，且第二组的频数为.

（1）将频率当作概率，请估计该年龄段学生中百米成绩在内的人数；

（2）求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩；

（3）若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于秒的概率.

21. 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里.

（1）求乙船的速度；

（2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由.

22. 如图，边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，分别沿折起，使，将两点重合于点.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.