中考数学一轮复习讲义第25讲《平行线的证明》教案

这是一份中考数学一轮复习讲义第25讲《平行线的证明》教案，共24页。教案主要包含了平行线的判定与性质，推理论证，平行线的判定，平行线的性质等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点二十五：平行线的证明
聚焦考点☆温习理解
一.命题
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.
2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.
3.假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题．
4.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
二、平行线的判定与性质
（1）平行线的性质
如果两直线平行，那么同位角相等；
如果两直线平行，那么内错角相等；
如果两直线平行，那么同旁内角互补.
（2）平行线的判定
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行.
2.平行线的基本事实（即平行公理）
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、推理论证
【例1】（2017•宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6


【举一反三】
1. （2018•路南区二模）某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（　　）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁

2.如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：

假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．x+3

考点典例二、命题的真假
【例2】（2017内蒙古通辽第9题）下列命题中，假命题有（ ）
①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；
⑤若⊙的弦交于点，则.
A．4个 B．3个 C. 2个 D．1个
【举一反三】
（2017广西百色第15题）下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，基中假命题的有 （填序号）．

考点典例三、平行线的判定
【例3】如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）
A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE


【举一反三】
1. （2018辽宁大连中考模拟）如图，直线被直线所截，，下列条件中能判定的是（ ）

A． B． C． D．

2. 如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（　　）

A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠3=180° D. ∠3+∠4=180°

3.如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）.
A. 55° B. 60° C.70° D. 75°
d
c
b
a
第3题


考点典例四、平行线的性质
【例3】下列四个图形中，不能推出∠2与∠1相等的是（　　）
A． B． C D．

【举一反三】
1. （2017浙江衢州）如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（　　）

A．30° B．40° C．60° D．70°

2. （2018•罗平县二模）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

课时作业☆能力提升
一、选择题
1.（2017秋•江阴市期中）甲，乙两人在做“报40”的游戏，其规则是：“两人轮流连续数数，每次最多可以连续数三个数，谁先报到40，谁就获胜”．那么采取适当策略，其结果是（　　）
A．后说数者胜 B．先说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断[来源:Z|xx|k.Com]

2. （2017湖南株洲第3题）如图示直线l1，l2△ABC被直线l3所截，且l1∥l2，则α=（　　）

A．41° B．49° C．51° D．59°

3. 浙江省金华市2018年如图，∠B的同位角可以是（　　）

A. ∠1 B. ∠2 C. ∠3 D. ∠4

4. （2017贵州安顺）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°

5. （2017四川自贡第5题）如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°

6. 如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2的度数为（   ）

A. 140° B. 130° C. 120° D. 110°

7. （2017海南）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠1的度数为（ ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

8. （2017贵州遵义）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（　　）

A．45° B．30° C．20° D．15°

二、填空题
9. 江苏省盐城市2018年将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．


10. （2017湖南常德第12题）命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： ．

11. （2017内蒙古呼和浩特）如图，，平分交于点，若，则为 ．


12. （2017内蒙古呼和浩特）下面三个命题：
①若是方程组的解，则或；
②函数通过配方可化为；
③最小角等于的三角形是锐角三角形．
其中正确命题的序号为 ．学￥科网

13. （2017山东菏泽）（5分）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．

三、 解答题

14.A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．

15.（2017重庆A卷）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．

















参考答案：
考点典例一、推理论证
【例1】（2017•宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A
【解析】

考点：推理与论证．
【点睛】此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键．
【举一反三】
1. （2018•路南区二模）某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（　　）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁
【答案】B．
【解析】
试题分析：根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答案．
试题解析：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都去，要么都不去”，①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁；故选：D．
考点：推理与论证．
2.如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：

假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．x+3
【答案】B．
考点：整式的加减．
考点典例二、命题的真假
【例2】（2017内蒙古通辽第9题）下列命题中，假命题有（ ）
①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；
⑤若⊙的弦交于点，则.
A．4个 B．3个 C. 2个 D．1个
【答案】C
【解析】[来源:学#科#网]
试题分析：①根据线段的性质公理，两点之间线段最短，说法正确，不是假命题；
②根据角平分线的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题；
③根据垂线的性质、平行公理的推论，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误，是假命题；学科网
④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题；
⑤如图，连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出，即PA•PB=PC•PD，故若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题．
故选：C．

考点：命题与定理
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握有关的知识.．
【举一反三】
（2017广西百色第15题）下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，基中假命题的有 （填序号）．
【答案】②
【解析】
试题分析：①对顶角相等是真命题；②同旁内角互补是假命题；
③全等三角形的对应角相等是真命题；④两直线平行，同位角相等是真命题；
故假命题有②.
考点：命题与定理．
考点典例三、平行线的判定
【例3】如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）
A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE

【答案】D．
【解析】
考点：平行线的判定．
【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
【举一反三】
1. （2018辽宁大连中考模拟）如图，直线被直线所截，，下列条件中能判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：A、由∠3=∠2=35°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
B、由∠3=∠2=45°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
C、由∠3=∠2=55°，∠1=55°推知∠1=∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；
D、由∠3=∠2=125°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；
故选C．

考点：平行线的判定．
2. 如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（　　）

A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠3=180° D. ∠3+∠4=180°
【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题
【答案】D


点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
3.如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）.
A. 55° B. 60° C.70° D. 75°
d
c
b
a
第3题

【答案】A.
【解析】
试题分析：∵∠1=∠2，∴a∥b,∴∠3的对顶角＋∠4=180º，∠3的对顶角=∠3=125°，∴∠4=180º-125º=55º，故选A.
考点：平行线的性质与判定.
考点典例四、平行线的性质
【例3】下列四个图形中，不能推出∠2与∠1相等的是（　　）
A． B． C D．
【答案】B
【解析】试题分析：根据平行线的性质以及对顶角相等的性质进行判断．
试题分析：A、∵∠1和∠2互为对顶角，
∴∠1=∠2，故本选项错误；
B、∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
不能判断∠1=∠2，故本选项正确；
C、∵a∥b，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），故本选项错误；
D、如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1=∠2，故本选项错误；
故选：B．

点睛：本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
【举一反三】
1. （2017浙江衢州）如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（　　）

A．30° B．40° C．60° D．70°
【答案】A．
【解析】
试题解析：如图，

∵AB∥CD，∠A=70°，
∴∠1=∠A=70°，
∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°，[来源:学科网ZXXK]
∴∠E=∠1﹣∠E=70°﹣40°=30°．
故选A．
考点：1.平行线的性质；2.三角形的外角性质.
2. （2018•罗平县二模）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B．
【解析】
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=45°﹣30°=15°，
故选：B．
点睛：本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1.（2017秋•江阴市期中）甲，乙两人在做“报40”的游戏，其规则是：“两人轮流连续数数，每次最多可以连续数三个数，谁先报到40，谁就获胜”．那么采取适当策略，其结果是（　　）
A．后说数者胜 B．先说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断[来源:Z|xx|k.Com]
【答案】A.
考点：推理与论证．
2. （2017湖南株洲第3题）如图示直线l1，l2△ABC被直线l3所截，且l1∥l2，则α=（　　）

A．41° B．49° C．51° D．59°
【答案】B.
【解析】
试题分析：因为l1∥l2，∴α=49°，
故选B．
考点：平行线的性质．
3. 浙江省金华市2018年如图，∠B的同位角可以是（　　）

A. ∠1 B. ∠2 C. ∠3 D. ∠4
【答案】D

点睛：此题主要考查了同位角的定义，正确把握定义是解题关键．
4. （2017贵州安顺）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】D．
【解析】
试题解析：如图，

∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣40°=50°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°．
∴∠2=180°﹣50°=130°．
故选D．
考点：平行线的性质．
5. （2017四川自贡第5题）如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C.
【解析】
试题解析：如图

∵AB⊥BC，∠1=35°，
∴∠2=90°﹣35°=55°．
∵a∥b，
∴∠2=∠3=55°．
故选C．
考点：平行线的性质.
6. 如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2的度数为（   ）

A. 140° B. 130° C. 120° D. 110°
【答案】B
【解析】
∵m∥n,∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°.
∵∠ACB=90°，
∴∠4=∠ACB−∠3=90°−40°=50°，
∴∠2=180∘−∠4=180°−50°=130°.
故选B
7. （2017海南）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠1的度数为（ ）

A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据垂线的定义可得∠2=90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠1=90°．
∵c⊥a，∴∠2=90°，∵a∥b，∴∠2=∠1=90°．故选C．
考点：垂线的定义，平行线的性质.
8. （2017贵州遵义）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（　　）

A．45° B．30° C．20° D．15°
【答案】D.
【解析】
试题分析：∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°，
∵直尺的对边平行，∴∠4=∠3=60°，
又∵∠4=∠2+∠5，∠5=45°，∴∠2=60°﹣45°=15°，
故选：D．

考点：平行线的性质．
二、填空题
9. 江苏省盐城市2018年将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．

【答案】85°
【解析】分析：直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．
详解：如图，


点睛：此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
10. （2017湖南常德第12题）命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： ．
【答案】“如果m是有理数，那么它是整数”．
【解析】
试题分析：命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果m是有理数，那么它是整数”．
故答案为：“如果m是有理数，那么它是整数”．
考点：命题与定理．
11. （2017内蒙古呼和浩特）如图，，平分交于点，若，则为 ．

【答案】114°
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=48°，∴∠CAB=180°﹣48°=132°，
∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=66°，
∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣66°=114°.
考点：1.平行线的性质；2.角平分线的定义．
12. （2017内蒙古呼和浩特）下面三个命题：
①若是方程组的解，则或；
②函数通过配方可化为；
③最小角等于的三角形是锐角三角形．
其中正确命题的序号为 ．学￥科网
【答案】②③

考点：命题与定理．
13. （2017山东菏泽）（5分）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．

【答案】OA∥BC，OB∥AC,理由详见解析.
【解析】
试题分析：根据已知可得∠1=∠2，∠2+∠3=180°，由同位角相等，两直线平行即可得OB∥AC，由同旁内角互补，两直线平行可得OA∥BC．
试题解析：
OA∥BC，OB∥AC,理由如下：
∵∠1=50°，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴OA∥BC．
考点：平行线的判定.
四、 解答题
14.A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
【答案】至少7分才能保证一定出线．
【解析】[来源:学科网ZXXK]
试题分析：根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．
试题解析：至少要7分才能保证一定出线；
每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．
若A队两胜一平，则积7分．
因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，
每场比赛，两队得分的和是3分或2分．
6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，
∴最多只有两个队得7分．
所以积7分保证一定出线．
若A队两胜一负，积6分．

如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．
同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．
总之，至少7分才能保证一定出线．
考点：推理与论证．
15.（2017重庆A卷）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．

【答案】
【解析】
试题分析：由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数.
试题解析：∵∠AEC=42°，
∴∠AED=180°﹣∠AEC=138°，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF=∠AED=69°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠DEF=69°．
考点:平行线的性质.