江苏省扬州市2024届高一下学期期末数学试题 含解析

2020—2021学年度第二学期期末检测试题

高一数学

2021.6

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合要求）．

1．（    ）．

A．                B．                C．                D．

2．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（    ）．

A．                B．                C．                D．4

3．已知复数满足（为虚数单位），则（    ）．

A．5                    B．                C．3                D．

4．设每个工作日甲､乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（    ）．

A．0.3                B．0.5                C．0.7                D．0.9

5．设是两条不同的直线，是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（    ）．

A．若，，，则        B．若，，则

C．若，，则                 D．若，，，则

6．在等边中，，向量在向量上的投影向量为（    ）．

A．                B．                C．                D．

7．已知，，则（    ）．

A．1                B．                C．7                D．

8．已知中，，其外接圆半径为2，若，则角的最大值为（    ）．

A．                B．                C．                D．

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出．消费支出包括食品烟酒､衣着､居住､生活用品及服务､交通通信､教育文化娱乐､医疗保健和其他用品及服务八大类．国家统计局采用分层､多阶段､与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国31个省（区､市）的1800个县（市､区）随机抽选16万个居民家庭作为调查户．国家统计局公布的我国2019年和2020年全国居民人均消费支出及构成，如图1和图2所示，则下列说法中正确的有（    ）．

A．2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于2019年

B．2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于2019年

C．2019年和2020年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大

D．2020年全国居民人均消费支出低于2019年全国居民人均消费支出

10．已知实数和虚数单位，定义：复数为单位复数，复数为伴随复数，复数为目标复数，目标复数的实部和虚部分别为实部函数和虚部函数，则正确的说法有（    ）．

A．

B．

C．若，则，

D．若，且，则锐角的正弦值

11．设是两两不同的四个点，若，，且，则下列说法正确的有（    ）．

A．点可能是线段的中点                B．点可能是线段的中点

C．点不可能同时在线段AB上            D．点可能同时在线段的延长线上

12．已知长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的有（    ）．

A．当与重合时，三棱锥的外接球的表面积为

B．三棱锥的体积不变

C．直线与平面所成角不变

D．的最小值为3

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．数据9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位数是_________________．

14．已知平行四边形中，，，，､分别为､的中点，则___________．

15．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________．

16．甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分；乙班的平均成绩为85分，方差为60分．那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是________分，方差是________分．（注：第一空2分，第二空3分）

四､解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）

17．已知的内角的对边分别为．

（1）求；

（2）在①，②这两个条件中任选一个作为条件，然后求的面积．（注：如果选择条件超过一个，按第一个计分）

18．正方体中，为棱中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

19．已知是关于的实系数方程的一个复数根．

（1）求实数的值；

（2）设方程的另一根为，复数对应的向量分别是．若向量与垂直，求实数的值．

20．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查．经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示．

（1）求该频率分布直方图中的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）；

（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间和内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间的概率．

21．如图，直角梯形中，，，点在上，且．沿将翻折到处，使得平面平面．

（1）证明；平面；

（2）求二面角的正切值．

22．在中，角的对边分别为，已知．

（1）若，求的最大值；

（2）若为钝角，求：

①的取值范围；

②的取值范围．

（参考公式：）

2020—2021学年度第二学期期末检测试题

高一数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合要求）．

1．【答案】D【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第80页本章测试第1题．

2．【答案】A【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第193页练习第2题．

3．【答案】B【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第136页复习题第6题．

4．【答案】C【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第279页习题15.3（2）第4题．

5．【答案】D【来源】A选项源于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第177页两个平面平行的性质定理的引入的设问；

B选项源于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第182页练习第4题的第（1）小题；

C选项源于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第167页练习第3题的B选项；

D选项改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第177页例2．

6．【答案】B

【来源】《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》第26页中，对投影向量的描述如下：“通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义”投影向量这一概念，在苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第21页中加以了介绍，这一概念不同于之前教材中投影的概念．命题组在命题研讨时达成共识，对于新教材中新出现的概念，要尽可能加以考查（再比如第13题百分位数的计算，第16题分层随机抽样的样本均值和样本方差的计算）．

7．【答案】A

【解析】因为，所以且，所以﹔又，所以．

【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第79页复习题第7题．

8．【答案】C

【解析】如图，设的外接圆圆心为，因为的边的外接圆半径为2，所以为正三角形，因为，所以点与点在同侧，即，

方法一：所以，即，

则，

设，则，即；

因为，所以，所以，解得：所以角的最大值为．

方法二：当三点共线时，，且，此时，当时，，所以角的最大值为．

【来源】原创题．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．【答案】BD

【来源】原创题．

10．【答案】AD

因为，所以，，故A对B错；

因为，所以，故C错；

因为，

所以，又因为为锐角，则，所以，

所以，故D对．

综上，选AD．

【来源】原创题．

11．【答案】BC

【解析】因为，则．

对于，若是线段的中点，则，则不存在，故点不可能是线段的中点，则A错误；

对于，若可能是线段的中点，则，则，故点可能是线段的中点，则B正确；

对于，若点同时在线段上，则，则，此时重合，与已知矛盾，点不可能同时在线段上，故C正确；

对于，若点同时在线段的延长线上时，则，则，这与矛盾，所以点不可能同时在线段的延长线上，故D错误；故选：BC．

【来源】原创题．

12．【答案】ABD

【来源】原创题．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【答案】4

【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第244页练习第1题．

14．【答案】41

【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第23页习题9.2（3）第10题．

15．【答案】

【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第104页复习题第4题．

16．【答案】80，100

【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第238页例8；直接来源于北师大版（2019版）高中数学教材必修第一册第171页例6：“甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少?”

四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【答案】（1）因为，所以，所以．

因为，所以，所以，所以．            4分

（2）若选择①：，则，

因为，所以，则，

又因为，所以；                6分

若选择②：，由余弦定理，

因为，所以；                6分

（选择①或②的结果相同）

因为，由正弦定理得，且，

所以，            8分

所以．                10分

【来源】第（1）小题改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第80页本章测试第6题；第（2）小题中的①源于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第94页习题11.2第5题；第（2）小题中的②源于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第87页练习第4题．

18．【答案】（1）设与交于点，连结．

因为是正方体，所以为正方形，为中点．

又因为为中点，所以．            3分

又因为平面平面，

所以平面．                    6分

（2）因为是正方体，平面．

又平面，所以．

又由（1）知为正方形，所以．

因为平面平面，

所以平面．                9分

又因为平面，

所以平面平面．                    12分

【来源】改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第202页复习题第15题．

19．【答案】（1）由题得，

所以得                6分

（2）由（1）知，关于的实系数方程为，所以，

，则，所以，

则．

因为与垂直，

所以，

解得：．                    12分

【来源】第（2）小题改编于苏教版（2019版）高中数学教材必修第二册第34页习题9.3（3）第8题第（2）小题．

20．【答案】（1）由题可知，

即，所以．                2分

由频率分布直方图可得

，

因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元．            5分

（2）记“幸运客户中恰有1人来自区间”为事件．                6分

因为区间与频率之比为，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，故从分组区间中抽取2人，分别记为，从分组区间中抽取3人，分别记为，从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，样本点表示“选出”（余类推），则样本空间为

，8分

．

所以．                11分

答：（1）该频率分布直方图中的值为1.3，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元；（2）幸运客户中恰有1人来自区间的概率为．        12分

【来源】原创题．

21．【答案】（1）因为，所以．

又因为，所以为平行四边形，

又因为，所以为矩形，

所以，则．                    3分

又因为平面平面，平面平面平面，

所以平面．                    6分

（2）在平面内，过作，垂足为，连结．

由（1）知平面．

又因为平面，所以．

又因为平面平面，所以平面．

又因为平面，所以．

又因为，所以即为二面角的平面角．                10分

由（1）知，又，

所以，所以．

又中，，所以，

所以二面角的正切值为．                12分

【来源】原创题．

22．【答案】（1）当时，，所以，因为，所以，则的最大值为．                4分

（2）①因为，所以；因为为钝角，即存在，使得，

即成立；

因为，所以，即；                7分

②又因为，所以，

则，因为，

所以，所以，

则，

，

所以，因为，所以，

所以的取值范围为．                12分

【来源】原创题．