2021宁波高一下学期期末考试数学试题含答案

宁波市2020学年第二学期期末试题

高一数学试卷

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数（为虚数单位），则（    ）．

D．   B．   C．   D．

2．已知中，，且，则周长为（    ）．

A．   B．   C．   D．4

3．如图，水平放置的矩形，，，则其直观图的面积为（    ）．

A．    B．    C．   D．

4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ）．

A．    B．    C．    D．

5．给出下列4个命题，其中正确的命题是（    ）．

①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行；

③垂直于同一直线的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行．

A．①②    B．③④    C．②③    D．①④

6．在三棱锥中，已知平面，，，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ）．

A．    B．    C．    D．

7．已知在中，，分别是，上的点，，，若（，为实数），则的值为（    ）．

A．    B．    C．    D．

8．某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（    ）．

A．   B．   C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是（    ）．

A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则

B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则

C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差

D．甲成绩比乙成绩稳定

10．对任意向量，，，下列关系式中恒成立的是（    ）．

A．       B．

C．      D．

11．已知复数（为虚数单位），复数满足，则下列结论正确的是（    ）．

A．在复平面内所对的点在第四象限    B．在复平面内对应的点在第一象限

C．的最大值为      D．的最小值为

12．已知，，是三个不同平面，，，为三条不同直线，且，，，则（    ）．

A．，，可以把空间最多分成7部分

B．若，则，，交于一点

C．若，则，

D．若，，，则，，

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，则______．

14．如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______．

15．已知，，，则的最大值为______．

16．已知为内一点，，则，的面积之比为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

（Ⅰ）在复数范围内解方程：；

（Ⅱ）如图，在矩形中，，，为中点，点在边上，若，求的值．

18．（本小题满分12分）

某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在、、、四个位置建四座观景台，在凸四边形中，千米，千米．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）现要在、两处连接一根水下直管道，已知，问最少应准备多少千米管道．

19．（本小题满分12分，用坐标法不给分）

已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．

（Ⅰ）现给出两个条件：①；②为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；

（Ⅱ）若平面，直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，且，求三棱锥的体积．

20．（本小题满分12分）

首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段，，，，分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求出图中的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；

（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；

（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．

21．（本小题满分12分）

在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，点为线段的中点，，求，．

22．（本小题满分12分，用坐标法不给分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，．

（Ⅰ）判断点在的位置并说明理由；

（Ⅱ）记直线与平面的交点为，求的值；

（Ⅲ）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的平面角的正切值．

宁波市2020学年第二学期期末试题

高一数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1   14．    15．

16．

【提示】由，得，

取为中点，为中点，则，

所以．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由题意得，

所以，因此方程的根为或．

（说明：用实系数一元二次方程的求根公式同样给分）

（Ⅱ）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图．

则，，，．

设，由得，

所以．

18．（本小题满分12分）

解：（1）由余弦定理：

，

得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，求得，

所以为正三角形，，．

在中，．

所以．

在中，．

所以（说明：不扣分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）若选①

证明：∵平面，平面，∴，

又，，∴平面．

又平面，∴．

又，，∴平面．

又平面，∴．

又，，∴平面．

若选②为中点

证明：∵平面，平面，∴．

又，，∴平面．

又平面，∴．

又，，∴平面．

又平面，∴．

又为等腰直角三角形斜边中点，

则，，

∴平面．

（Ⅱ）由平面，平面可知，

与分别为与平面及与平面所成线面角，

所以，

又，，所以．

求得，所以．

20．（本小题满分12分）

解：（1由得．

则及格率为：％．

（Ⅱ）得分在110以下的学生所在比例为，

得分在130以下的学生所占比例为,

所以第80百分位数位于内，

由，估计第80百分位数为120．

（Ⅲ）由图可得，众数估计值为100．

平均数估计值为．

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）解法一：

由得，

所以，

所以，

即消去得，

所以．

解法二：

由余弦定理得，

整理得，所以，

即，所以．

（Ⅱ）解法一：

由正弦定理，在，，

在中，，得．

又，所以，即．

又，解得，．

解法二：

因为，所以，

，所以，

又，所以，．

22．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连结交于，连结，

因为平面，平面，平面平面，

则．

因为为中点，所以为中点．

（Ⅱ）如图，连结，则，为重心，

所以．

（Ⅲ）取中点，连结，，

取中点，连结，，可知．

取中点，连结，，可知，

所以或其补角就是异面直线与所成角，如图．

因为平面平面，平面平面，．

所以平面，因此上平面．

令，，可计算得：

，，，，，

所以，，

解得，解得，，即，．

过作交于，连结．

易证平面，∴，

所以就是所求二面角的平面角，如图．

所以，或．