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2020-2021学年北京市清华大学附属中学将台路校区九年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版
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这是一份2020-2021学年北京市清华大学附属中学将台路校区九年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021 学年北京市清华附中将台路校区九年级（上）期末数 学试卷
一、选择题（本题共 20 分，每小题 2 分）
1．关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m＝0 的一个根是﹣1，则 m 的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3 2． 的值是（ ）
A． B． C． D． 3．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A． 赵爽弦图 B． 科克曲线
C． 河图幻方 D． 谢尔宾斯基三角形
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上．若∠ABC＝60°，则∠D 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．在一个不透明的袋子里装有 2 个黑球 3 个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一 个球，是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D． 6．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、
树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 6m，与树距 15m，那
么这颗树的高度为（ ）
A．5m B．7m C．7.5m D．21m
7．如图，点 D 在△ABC 的边 AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，需添加一个条件，则以 下所添加的条件不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． ＝ D． ＝
8．要得到二次函数 y＝（x﹣1）2﹣2 的图象需将 y＝x2 的图象（ ）
A．先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
B．先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
C．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D．先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
9．已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A． B．π C． D． 10．如图，在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+2（a≠0）与 y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共 12 分，每小题 2 分）
11．方程 x2﹣2x＝0 的根是 ．
12．如图，⊙O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角等于 120°，那么圆心 O 到弦 AB
的距离等于 ．
13．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 交 BC 于点 D，AD＝BD，若 AB＝4 ，tanC＝ ，则 BC
＝ ．
14．如图，在△ABC 中，D，E 两点分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，如果＝ ，AC＝10， 那么 EC＝ ．
15．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为 x＝1，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点， 若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为 ．
16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O 和⊙O 上一点 P． 求作：⊙O 的切线 MN，使 MN 经过点 P．
作法：如图，
（1）作射线 OP；
（2）以点 P 为圆心，小于 OP 的长为半径作弧，交射线 OP 于 A，B 两点；
（3）分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半径作弧，两弧交于 M，N 两点；
（4）作直线 MN．则 MN 就是所求作的⊙O 的切
线．
请回答：该尺规作图的依据是：
① ；
② ．
三、解答题（本题共 68 分，第 18-21 题小题 5 分，第 17、22-28 题每小题 5 分）
17．计算：
（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°；
（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°；
（3）3tan30°+cos45°﹣2sin60°．
18．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90˚，tanA＝，BC＝6，求 AC 的长和 sinA 的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0），A（2，1），B（1，
﹣2）．
（1）以原点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧画出将△OAB 放大为原来的 2 倍得到的△OA1B1， 请写出点 A 的对应点 A1 的坐标；
（2）画出将△OAB 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后得到的△O2A2B2，写出
点 B 的对应点 B2 的坐标．
20．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为
40m 的篱笆围成．已知墙长为 18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边 AB 为 xm， 若苗圃园的面积为 192m2，求 AB 的长度．
21．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2，3，现将标 有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙 也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积 为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
22．已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+1＝0 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）写出满足条件的 k 的最大整数值，并求此时方程的根．
23．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，以 AC 为边作 Rt△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE， 延长 BC 至点 D，作 DE⊥CE．
（1）求证：△ABC∽△CED；
（2）若 AB＝4，BC＝2，求 DE 的长．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若 AB＝10，CD＝8，求 BE 的长．
25．如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝的图象相交于 A（1，2），B（﹣2， n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）直线 AB 交 x 轴于点 C，点 P 是 x 轴上的点，若△ACP 的面积是 4，求点 P 的坐标．
26．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，且点 C 是的中点，过点 C 作 AD 的垂 线 EF 交直线 AD 于点 E．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）连接 BC，若 AB＝5，BC＝3，求线段 AE 的长．
27．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为 x＝b，点 A（﹣
2，m）在直线 y＝﹣x+3 上．
（1）求 m，b 的值；
（2）若点 D（3，2）在二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求 a 的值；
（3）当二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线 y＝﹣x+3 相交于两点时，设左侧的交点 为 P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求 a 的取值范围．
28．已知函数 y1＝2kx+k 与函数 y2＝x2﹣2x+3，定义新函数 y＝y2﹣y1．
（1）若 k＝2，则新函数 y＝ ；
（2）若新函数 y 的解析式为 y＝x2+bx﹣2，则 k＝ ，b＝ ；
（3）设新函数 y 顶点为（m，n）．
①当 k 为何值时，n 有大值，并求出最大值；
②求 n 与 m 的函数解析式．
2020-2021 学年北京市清华附中将台路校区九年级（上）期末数 学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m＝0 的一个根是﹣1，则 m 的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】把 x＝﹣1 代入方程得到一个关于 m 的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把 x＝﹣1 代入得：1﹣2+m＝0 解得：m＝1，
故选：C．
2． 的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据 30°的余弦值为计算．
【解答】解： cos30°
＝ ×
＝ ，
故选：A．
3．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A． 赵爽弦图 B． 科克曲线
C． 河图幻方 D． 谢尔宾斯基三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上．若∠ABC＝60°，则∠D 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】求出∠A＝30°，利用圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°， 故选：B．
5．在一个不透明的袋子里装有 2 个黑球 3 个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一 个球，是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式先求出总的球数，再进行计算即可．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子里装有 2 个黑球 3 个白球，共 5 个球，
∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是 ． 故选：A．
6．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、 树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 6m，与树距 15m，那
么这颗树的高度为（ ）
A．5m B．7m C．7.5m D．21m
【分析】先判定△OAB 和△OCD 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB⊥OD，CD⊥OD，
∴AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ ＝ ，
∵AB＝2m，OB＝6m，OD＝6+15＝21m，
∴ ＝ ， 解得 CD＝7m．
这颗树的高度为 7m， 故选：B．
7．如图，点 D 在△ABC 的边 AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，需添加一个条件，则以 下所添加的条件不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． ＝ D． ＝
【分析】由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A 与 B 正确；又
由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 D 正确，继而求得答 案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD＝∠C 或∠ADB＝∠ABC 时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相 似）；
故 A 与 B 正确；
当 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相 似）；
故 C 正确；
当 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似， 故 D 错误．
故选：D．
8．要得到二次函数 y＝（x﹣1）2﹣2 的图象需将 y＝x2 的图象（ ）
A．先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
B．先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
C．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D．先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：抛物线 y＝x2 向右平移 1 个单位，得：y＝（x﹣1）2； 再向下平移 2 个单位，得：y＝（x﹣1）2﹣2．
故选：A．
9．已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A． B．π C． D．
【分析】根据弧长公式 l＝进行解答即可．
【解答】解：根据弧长的公式 l＝， 得到： ＝ π．
故选：D．
10．如图，在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+2（a≠0）与 y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当 a＞0 时，抛物线开口向下，经过原点且对称轴为 直线 x＝﹣＝﹣ ＜0，②当 a＜0 时，抛物线开口向上，经过原点且对称轴为直线 x
＝﹣ ＝﹣ ＞0，因此选择 D．
【解答】解：∵y＝ax+2，
∴b＝2，
∴一次函数图象与 y 轴的正半轴相交，
①当 a＞0 时，
则二次函数 y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线 x＝﹣
＝﹣ ＜0，
②当 a＜0 时，
则二次函数 y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线 x＝﹣
＝﹣ ＞0，
故 D 正确； 故选：D．
二．填空题（共 6 小题）
11．方程 x2﹣2x＝0 的根是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】因为 x2﹣2x 可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：因式分解得 x（x﹣2）＝0， 解得 x1＝0，x2＝2．
故答案为 x1＝0，x2＝2．
12．如图，⊙O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角等于 120°，那么圆心 O 到弦 AB
的距离等于 2 ．
【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB 是等腰三角形，又由 OC⊥AB，再利用含
30°角的直角三角形的性质，可求得 OC 的长．
【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴△OAB 是等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，
∴OC＝ ． 故答案为：2
13．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 交 BC 于点 D，AD＝BD，若 AB＝4 ，tanC＝ ，则 BC
＝ 7 ．
【分析】在直角三角形中，根据 AD＝BD，AB＝4，先求出 AD，再求出 CD．
【解答】解：∵AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠B＝45°．
∵AB＝4 ，sinB＝ ＝ ，
∴BD＝AD＝4． 在 Rt△ADC 中，
∵tanC＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝3．
∴BC＝BD+CD＝7． 故答案为：7．
14．如图，在△ABC 中，D，E 两点分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，如果＝ ，AC＝10， 那么 EC＝ 4 ．
【分析】由 DE∥BC，推出＝ ＝ ，可得 EC＝AC，由此即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∵AC＝10，
∴EC＝ ×10＝4， 故答案为 4．
15．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为 x＝1，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点， 若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】根据抛物线的对称轴结合点 P 的横坐标，即可求出点 Q的横坐标，此题得 解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线 x＝1，点 P 的坐标为（4，0），
∴点 Q 的横坐标为 1×2﹣4＝﹣2，
∴点 Q 的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O 和⊙O 上一点 P．
求作：⊙O 的切线 MN，使 MN 经过点 P．
作法：如图，
（1）作射线 OP；
（2）以点 P 为圆心，小于 OP 的长为半径作弧，交射线 OP 于 A，B 两点；
（3）分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半径作弧，两弧交于 M，N 两点；
（4）作直线 MN．则 MN 就是所求作的⊙O 的切
线．
请回答：该尺规作图的依据是：
① 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ；
② ②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到 MN⊥AB 于 P，然后根据切线 的判定定理判断 MN 为⊙O 的切线．
【解答】解：由作法得 MN 垂直平分 OP，所以 MN 为⊙O 的切线．
故答案为与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外
端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 三．解答题
17．计算：
（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°；
（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°；
（3）3tan30°+cos45°﹣2sin60°．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；
（3）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°
＝2× +4× ﹣
＝ +2﹣
＝2；
（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°
＝2 +1﹣4×
＝2 +1﹣2
＝1；
（3）3tan30°+cos45°﹣2sin60°
＝3× + ﹣2×
＝ + ﹣
＝ ．
18．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90˚，tanA＝，BC＝6，求 AC 的长和 sinA 的值．
【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC 中，tanA＝，BC＝6，
∴ ＝ ，
∴AC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∴sinA＝ ＝
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0），A（2，1），B（1，
﹣2）．
（1）以原点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧画出将△OAB 放大为原来的 2 倍得到的△OA1B1， 请写出点 A 的对应点 A1 的坐标；
（2）画出将△OAB 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后得到的△O2A2B2，写出 点 B 的对应点 B2 的坐标．
【分析】（1）把 A、B 的横纵坐标都乘以 2 得到 A1、B1 的坐标，然后描点即可；
（2）利用点平移的坐标特征写出 O2、A2、B2 的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△OA1B1 为所作，点 A1 的坐标为（4，2）；
（2）如图，△O2A2B2 为所作，点 B2 的坐标为（﹣1，﹣1）．
20．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为
40m 的篱笆围成．已知墙长为 18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边 AB 为 xm， 若苗圃园的面积为 192m2，求 AB 的长度．
【分析】根据矩形的面积公式，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值．
【解答】解：根据题意知，AD＝40﹣2x．
∵0＜40﹣2x≤18．
∴x 的取值范围为：11≤x＜20． 设这个苗圃园垂直于墙的一边 AB 为 xm， 根据题意得：x（40﹣2x）＝192， 整理，得 x2﹣20x+96＝0． 解得：x1＝8，x2＝12．
∵11≤x＜20．
当 x＝8 时，40﹣2x＝40﹣16＝24＞18
∴不合题意，舍去．
∴x＝12，即 AB 的长度为 12 米．
答：若苗圃园的面积为 192 平方米，则 AB 的长度为 12 米．
21．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2，3，现将标 有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙 也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积 为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出 现的情况即可；
（2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有 9 种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；
（3，1）；（3，2）；（3，3），
则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有 1，2，3，2，4，6，3，6，9，共 9
种；
（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为： 其中积为奇数的情况有 4 种，偶数有 5 种，
∴P（甲）＜P（乙）， 则该游戏对甲乙双方不公平．
22．已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+1＝0 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）写出满足条件的 k 的最大整数值，并求此时方程的根．
【分析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k≠0 且△＝（﹣6）2﹣4k＞
0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先确定 k 的最大整数值得到方程 8x2﹣6x+1＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得 k≠0 且△＝（﹣6）2﹣4k＞0， 解得 k＜9 且 k≠0；
（2）k 的最大整数为 8，此时方程化为 8x2﹣6x+1＝0，
（2x﹣1）（4x﹣1）＝0，
所以 x1＝，x2＝ ．
23．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，以 AC 为边作 Rt△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE， 延长 BC 至点 D，作 DE⊥CE．
（1）求证：△ABC∽△CED；
（2）若 AB＝4，BC＝2，求 DE 的长．
【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据勾股定理可得 AC，根据△ABC∽△CED，对应边成比例即可得 DE 的长．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
∴△ABC∽△CED．
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝ ＝2 ，
∵CE＝AC，
∴CE＝2 ，
∵CD＝5，
∵△ABC∽△CED，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得 DE＝．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若 AB＝10，CD＝8，求 BE 的长．
【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；
（2）连接 OC，根据垂径定理得到 CE＝DE＝CD＝4，再利用勾股定理计算出 OE，然 后计算 OB﹣OE 即可．
【解答】（1）证明：∵直径 AB⊥弦 CD，
∴弧 BC＝弧 BD．
∴∠A＝∠BCD；
（2）连接 OC
∵直径 AB⊥弦 CD，CD＝8，
∴CE＝ED＝4．
∵直径 AB＝10，
∴CO＝OB＝5．
在 Rt△COE 中，∵OC＝5，CE＝4，
∴OE＝ ＝3，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．
25．如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝的图象相交于 A（1，2），B（﹣2， n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）直线 AB 交 x 轴于点 C，点 P 是 x 轴上的点，若△ACP 的面积是 4，求点 P 的坐标．
【分析】（1）先根据点 A 坐标求出反比例函数解析式，再求出点 B 的坐标，继而根据点
A、B 坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点 C 的坐标，根据 S△ACP＝•PC•yA＝4 求出 PC 的长，即 可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数 y＝经过点 A（1，2），
∴2＝ ，
∴m＝2，
∴反比例函数的表达式为 y＝，
把点 B 的坐标 （﹣2，n）代入 y＝得，n＝ ，解得 n＝﹣1，
∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣1），
分别把点 A，点 B 的坐标代入 y＝kx+b 得， 解得 ，
∴一次函数的表达式为 y＝x+1；
（2）把 y＝0 代入 y＝x+1，解得 x＝﹣1，
∴点 C 的坐标为（﹣1，0），
∵△ACP 的面积是 4，点 A 的纵坐标等于 2，
∴ •PC×2＝4， 解得 CP＝4，
∴点 P 的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．
26．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，且点 C 是的中点，过点 C 作 AD 的垂 线 EF 交直线 AD 于点 E．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）连接 BC，若 AB＝5，BC＝3，求线段 AE 的长．
【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到 OC∥AE，得到 OC
⊥EF，根据切线的判定定理证明；
（2）根据勾股定理求出 AC，证明△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式， 计算即可．
【解答】（1）证明：连接 OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵点 C 是的中点，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即 EF 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴AC＝ ＝4，
∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴AE＝
＝ ．
27．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为 x＝b，点 A（﹣
2，m）在直线 y＝﹣x+3 上．
（1）求 m，b 的值；
（2）若点 D（3，2）在二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求 a 的值；
（3）当二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线 y＝﹣x+3 相交于两点时，设左侧的交点 为 P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求 a 的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的性质，可得 b＝ ＝1．将 A（﹣2，m）代入 y＝﹣x+3，
即可求出 m＝2+3＝5；
（2）将 D（3，2）代入 y＝ax2﹣2ax+1，即可求出 a 的值；
（3）把 x＝﹣3 代入 y＝﹣x+3，求出 y＝6，把（﹣3，6）代入 y＝ax2﹣2ax+1，求出 a
＝ ．再把 x＝﹣1 代入 y＝﹣x+3，求出 y＝4，把（﹣1，4）代入 y＝ax2﹣2ax+1，求出 a＝1．进而得出 a 的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为 x＝b，
∴b＝ ＝1．
∵点 A（﹣2，m）在直线 y＝﹣x+3 上，
∴m＝2+3＝5；
（2）∵点 D（3，2）在二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，
∴2＝a×32﹣2a×3+1，
∴a＝ ；
（3）∵当 x＝﹣3 时，y＝﹣x+3＝6，
∴当（﹣3，6）在 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，6＝a×（﹣3）2﹣2a×（﹣3）+1，
∴a＝ ．
又∵当 x＝﹣1 时，y＝﹣x+3＝4，
∴当（﹣1，4）在 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，4＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1，
∴a＝1．
∴ ＜a＜1．
28．已知函数 y1＝2kx+k 与函数 y2＝x2﹣2x+3，定义新函数 y＝y2﹣y1．
（1）若 k＝2，则新函数 y＝ x2﹣6x+1 ；
（2）若新函数 y 的解析式为 y＝x2+bx﹣2，则 k＝ 5 ，b＝ ﹣12 ；
（3）设新函数 y 顶点为（m，n）．
①当 k 为何值时，n 有大值，并求出最大值；
②求 n 与 m 的函数解析式．
【分析】（1）将 k＝2 代入函数 y1＝2kx+k 中得出函数 y1＝4x+2，即可得出结论；
（2）新函数 y 的解析式为 y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，即可得出结论；
（3）①先得出新函数 y＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，进而得出，即可得 出结论；
②在 中消去 k 即可得出结论．
【解答】解：（1）当 k＝2 时，y1＝2kx+k＝4x+2，
∵函数 ，定义新函数 y＝y2﹣y1，
∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1， 故答案为：x2﹣6x+1；
（2）函数 y1＝2kx+k 与函数，定义新函数 y＝y2﹣y1，
∴新函数 y 的解析式为 y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，
∵新函数 y 的解析式为 y＝x2+bx﹣2，
∴b＝﹣2（k+1），3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣12， 故答案为：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函数 y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，
∵新函数 y 顶点为（m，n），
∴ ，
∴ ，
当 时， ；
②由①知， ，
将 k＝m﹣1 代入 n＝﹣k2﹣3k+2 得：
∴n＝﹣m2﹣m+4．
2020-2021 学年北京市清华附中将台路校区九年级（上）期末数 学试卷
一、选择题（本题共 20 分，每小题 2 分）
1．关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m＝0 的一个根是﹣1，则 m 的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3 2． 的值是（ ）
A． B． C． D． 3．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A． 赵爽弦图 B． 科克曲线
C． 河图幻方 D． 谢尔宾斯基三角形
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上．若∠ABC＝60°，则∠D 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．在一个不透明的袋子里装有 2 个黑球 3 个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一 个球，是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D． 6．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、
树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 6m，与树距 15m，那
么这颗树的高度为（ ）
A．5m B．7m C．7.5m D．21m
7．如图，点 D 在△ABC 的边 AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，需添加一个条件，则以 下所添加的条件不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． ＝ D． ＝
8．要得到二次函数 y＝（x﹣1）2﹣2 的图象需将 y＝x2 的图象（ ）
A．先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
B．先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
C．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D．先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
9．已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A． B．π C． D． 10．如图，在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+2（a≠0）与 y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共 12 分，每小题 2 分）
11．方程 x2﹣2x＝0 的根是 ．
12．如图，⊙O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角等于 120°，那么圆心 O 到弦 AB
的距离等于 ．
13．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 交 BC 于点 D，AD＝BD，若 AB＝4 ，tanC＝ ，则 BC
＝ ．
14．如图，在△ABC 中，D，E 两点分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，如果＝ ，AC＝10， 那么 EC＝ ．
15．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为 x＝1，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点， 若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为 ．
16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O 和⊙O 上一点 P． 求作：⊙O 的切线 MN，使 MN 经过点 P．
作法：如图，
（1）作射线 OP；
（2）以点 P 为圆心，小于 OP 的长为半径作弧，交射线 OP 于 A，B 两点；
（3）分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半径作弧，两弧交于 M，N 两点；
（4）作直线 MN．则 MN 就是所求作的⊙O 的切
线．
请回答：该尺规作图的依据是：
① ；
② ．
三、解答题（本题共 68 分，第 18-21 题小题 5 分，第 17、22-28 题每小题 5 分）
17．计算：
（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°；
（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°；
（3）3tan30°+cos45°﹣2sin60°．
18．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90˚，tanA＝，BC＝6，求 AC 的长和 sinA 的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0），A（2，1），B（1，
﹣2）．
（1）以原点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧画出将△OAB 放大为原来的 2 倍得到的△OA1B1， 请写出点 A 的对应点 A1 的坐标；
（2）画出将△OAB 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后得到的△O2A2B2，写出
点 B 的对应点 B2 的坐标．
20．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为
40m 的篱笆围成．已知墙长为 18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边 AB 为 xm， 若苗圃园的面积为 192m2，求 AB 的长度．
21．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2，3，现将标 有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙 也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积 为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
22．已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+1＝0 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）写出满足条件的 k 的最大整数值，并求此时方程的根．
23．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，以 AC 为边作 Rt△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE， 延长 BC 至点 D，作 DE⊥CE．
（1）求证：△ABC∽△CED；
（2）若 AB＝4，BC＝2，求 DE 的长．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若 AB＝10，CD＝8，求 BE 的长．
25．如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝的图象相交于 A（1，2），B（﹣2， n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）直线 AB 交 x 轴于点 C，点 P 是 x 轴上的点，若△ACP 的面积是 4，求点 P 的坐标．
26．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，且点 C 是的中点，过点 C 作 AD 的垂 线 EF 交直线 AD 于点 E．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）连接 BC，若 AB＝5，BC＝3，求线段 AE 的长．
27．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为 x＝b，点 A（﹣
2，m）在直线 y＝﹣x+3 上．
（1）求 m，b 的值；
（2）若点 D（3，2）在二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求 a 的值；
（3）当二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线 y＝﹣x+3 相交于两点时，设左侧的交点 为 P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求 a 的取值范围．
28．已知函数 y1＝2kx+k 与函数 y2＝x2﹣2x+3，定义新函数 y＝y2﹣y1．
（1）若 k＝2，则新函数 y＝ ；
（2）若新函数 y 的解析式为 y＝x2+bx﹣2，则 k＝ ，b＝ ；
（3）设新函数 y 顶点为（m，n）．
①当 k 为何值时，n 有大值，并求出最大值；
②求 n 与 m 的函数解析式．
2020-2021 学年北京市清华附中将台路校区九年级（上）期末数 学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m＝0 的一个根是﹣1，则 m 的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】把 x＝﹣1 代入方程得到一个关于 m 的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把 x＝﹣1 代入得：1﹣2+m＝0 解得：m＝1，
故选：C．
2． 的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据 30°的余弦值为计算．
【解答】解： cos30°
＝ ×
＝ ，
故选：A．
3．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A． 赵爽弦图 B． 科克曲线
C． 河图幻方 D． 谢尔宾斯基三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上．若∠ABC＝60°，则∠D 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】求出∠A＝30°，利用圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°， 故选：B．
5．在一个不透明的袋子里装有 2 个黑球 3 个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一 个球，是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式先求出总的球数，再进行计算即可．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子里装有 2 个黑球 3 个白球，共 5 个球，
∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是 ． 故选：A．
6．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、 树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 6m，与树距 15m，那
么这颗树的高度为（ ）
A．5m B．7m C．7.5m D．21m
【分析】先判定△OAB 和△OCD 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB⊥OD，CD⊥OD，
∴AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ ＝ ，
∵AB＝2m，OB＝6m，OD＝6+15＝21m，
∴ ＝ ， 解得 CD＝7m．
这颗树的高度为 7m， 故选：B．
7．如图，点 D 在△ABC 的边 AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，需添加一个条件，则以 下所添加的条件不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． ＝ D． ＝
【分析】由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A 与 B 正确；又
由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 D 正确，继而求得答 案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD＝∠C 或∠ADB＝∠ABC 时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相 似）；
故 A 与 B 正确；
当 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相 似）；
故 C 正确；
当 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似， 故 D 错误．
故选：D．
8．要得到二次函数 y＝（x﹣1）2﹣2 的图象需将 y＝x2 的图象（ ）
A．先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
B．先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
C．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D．先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：抛物线 y＝x2 向右平移 1 个单位，得：y＝（x﹣1）2； 再向下平移 2 个单位，得：y＝（x﹣1）2﹣2．
故选：A．
9．已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120°，则这个扇形的弧长是（ ）
A． B．π C． D．
【分析】根据弧长公式 l＝进行解答即可．
【解答】解：根据弧长的公式 l＝， 得到： ＝ π．
故选：D．
10．如图，在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+2（a≠0）与 y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当 a＞0 时，抛物线开口向下，经过原点且对称轴为 直线 x＝﹣＝﹣ ＜0，②当 a＜0 时，抛物线开口向上，经过原点且对称轴为直线 x
＝﹣ ＝﹣ ＞0，因此选择 D．
【解答】解：∵y＝ax+2，
∴b＝2，
∴一次函数图象与 y 轴的正半轴相交，
①当 a＞0 时，
则二次函数 y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线 x＝﹣
＝﹣ ＜0，
②当 a＜0 时，
则二次函数 y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线 x＝﹣
＝﹣ ＞0，
故 D 正确； 故选：D．
二．填空题（共 6 小题）
11．方程 x2﹣2x＝0 的根是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】因为 x2﹣2x 可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：因式分解得 x（x﹣2）＝0， 解得 x1＝0，x2＝2．
故答案为 x1＝0，x2＝2．
12．如图，⊙O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角等于 120°，那么圆心 O 到弦 AB
的距离等于 2 ．
【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB 是等腰三角形，又由 OC⊥AB，再利用含
30°角的直角三角形的性质，可求得 OC 的长．
【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴△OAB 是等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，
∴OC＝ ． 故答案为：2
13．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 交 BC 于点 D，AD＝BD，若 AB＝4 ，tanC＝ ，则 BC
＝ 7 ．
【分析】在直角三角形中，根据 AD＝BD，AB＝4，先求出 AD，再求出 CD．
【解答】解：∵AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠B＝45°．
∵AB＝4 ，sinB＝ ＝ ，
∴BD＝AD＝4． 在 Rt△ADC 中，
∵tanC＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝3．
∴BC＝BD+CD＝7． 故答案为：7．
14．如图，在△ABC 中，D，E 两点分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，如果＝ ，AC＝10， 那么 EC＝ 4 ．
【分析】由 DE∥BC，推出＝ ＝ ，可得 EC＝AC，由此即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∵AC＝10，
∴EC＝ ×10＝4， 故答案为 4．
15．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为 x＝1，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点， 若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】根据抛物线的对称轴结合点 P 的横坐标，即可求出点 Q的横坐标，此题得 解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线 x＝1，点 P 的坐标为（4，0），
∴点 Q 的横坐标为 1×2﹣4＝﹣2，
∴点 Q 的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O 和⊙O 上一点 P．
求作：⊙O 的切线 MN，使 MN 经过点 P．
作法：如图，
（1）作射线 OP；
（2）以点 P 为圆心，小于 OP 的长为半径作弧，交射线 OP 于 A，B 两点；
（3）分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半径作弧，两弧交于 M，N 两点；
（4）作直线 MN．则 MN 就是所求作的⊙O 的切
线．
请回答：该尺规作图的依据是：
① 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ；
② ②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到 MN⊥AB 于 P，然后根据切线 的判定定理判断 MN 为⊙O 的切线．
【解答】解：由作法得 MN 垂直平分 OP，所以 MN 为⊙O 的切线．
故答案为与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外
端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 三．解答题
17．计算：
（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°；
（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°；
（3）3tan30°+cos45°﹣2sin60°．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；
（3）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°
＝2× +4× ﹣
＝ +2﹣
＝2；
（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°
＝2 +1﹣4×
＝2 +1﹣2
＝1；
（3）3tan30°+cos45°﹣2sin60°
＝3× + ﹣2×
＝ + ﹣
＝ ．
18．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90˚，tanA＝，BC＝6，求 AC 的长和 sinA 的值．
【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC 中，tanA＝，BC＝6，
∴ ＝ ，
∴AC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∴sinA＝ ＝
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0），A（2，1），B（1，
﹣2）．
（1）以原点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧画出将△OAB 放大为原来的 2 倍得到的△OA1B1， 请写出点 A 的对应点 A1 的坐标；
（2）画出将△OAB 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后得到的△O2A2B2，写出 点 B 的对应点 B2 的坐标．
【分析】（1）把 A、B 的横纵坐标都乘以 2 得到 A1、B1 的坐标，然后描点即可；
（2）利用点平移的坐标特征写出 O2、A2、B2 的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△OA1B1 为所作，点 A1 的坐标为（4，2）；
（2）如图，△O2A2B2 为所作，点 B2 的坐标为（﹣1，﹣1）．
20．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为
40m 的篱笆围成．已知墙长为 18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边 AB 为 xm， 若苗圃园的面积为 192m2，求 AB 的长度．
【分析】根据矩形的面积公式，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值．
【解答】解：根据题意知，AD＝40﹣2x．
∵0＜40﹣2x≤18．
∴x 的取值范围为：11≤x＜20． 设这个苗圃园垂直于墙的一边 AB 为 xm， 根据题意得：x（40﹣2x）＝192， 整理，得 x2﹣20x+96＝0． 解得：x1＝8，x2＝12．
∵11≤x＜20．
当 x＝8 时，40﹣2x＝40﹣16＝24＞18
∴不合题意，舍去．
∴x＝12，即 AB 的长度为 12 米．
答：若苗圃园的面积为 192 平方米，则 AB 的长度为 12 米．
21．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2，3，现将标 有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙 也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积 为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出 现的情况即可；
（2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有 9 种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；
（3，1）；（3，2）；（3，3），
则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有 1，2，3，2，4，6，3，6，9，共 9
种；
（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为： 其中积为奇数的情况有 4 种，偶数有 5 种，
∴P（甲）＜P（乙）， 则该游戏对甲乙双方不公平．
22．已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+1＝0 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）写出满足条件的 k 的最大整数值，并求此时方程的根．
【分析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k≠0 且△＝（﹣6）2﹣4k＞
0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先确定 k 的最大整数值得到方程 8x2﹣6x+1＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得 k≠0 且△＝（﹣6）2﹣4k＞0， 解得 k＜9 且 k≠0；
（2）k 的最大整数为 8，此时方程化为 8x2﹣6x+1＝0，
（2x﹣1）（4x﹣1）＝0，
所以 x1＝，x2＝ ．
23．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，以 AC 为边作 Rt△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE， 延长 BC 至点 D，作 DE⊥CE．
（1）求证：△ABC∽△CED；
（2）若 AB＝4，BC＝2，求 DE 的长．
【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据勾股定理可得 AC，根据△ABC∽△CED，对应边成比例即可得 DE 的长．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
∴△ABC∽△CED．
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝ ＝2 ，
∵CE＝AC，
∴CE＝2 ，
∵CD＝5，
∵△ABC∽△CED，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得 DE＝．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若 AB＝10，CD＝8，求 BE 的长．
【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；
（2）连接 OC，根据垂径定理得到 CE＝DE＝CD＝4，再利用勾股定理计算出 OE，然 后计算 OB﹣OE 即可．
【解答】（1）证明：∵直径 AB⊥弦 CD，
∴弧 BC＝弧 BD．
∴∠A＝∠BCD；
（2）连接 OC
∵直径 AB⊥弦 CD，CD＝8，
∴CE＝ED＝4．
∵直径 AB＝10，
∴CO＝OB＝5．
在 Rt△COE 中，∵OC＝5，CE＝4，
∴OE＝ ＝3，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．
25．如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝的图象相交于 A（1，2），B（﹣2， n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）直线 AB 交 x 轴于点 C，点 P 是 x 轴上的点，若△ACP 的面积是 4，求点 P 的坐标．
【分析】（1）先根据点 A 坐标求出反比例函数解析式，再求出点 B 的坐标，继而根据点
A、B 坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点 C 的坐标，根据 S△ACP＝•PC•yA＝4 求出 PC 的长，即 可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数 y＝经过点 A（1，2），
∴2＝ ，
∴m＝2，
∴反比例函数的表达式为 y＝，
把点 B 的坐标 （﹣2，n）代入 y＝得，n＝ ，解得 n＝﹣1，
∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣1），
分别把点 A，点 B 的坐标代入 y＝kx+b 得， 解得 ，
∴一次函数的表达式为 y＝x+1；
（2）把 y＝0 代入 y＝x+1，解得 x＝﹣1，
∴点 C 的坐标为（﹣1，0），
∵△ACP 的面积是 4，点 A 的纵坐标等于 2，
∴ •PC×2＝4， 解得 CP＝4，
∴点 P 的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．
26．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，且点 C 是的中点，过点 C 作 AD 的垂 线 EF 交直线 AD 于点 E．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）连接 BC，若 AB＝5，BC＝3，求线段 AE 的长．
【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到 OC∥AE，得到 OC
⊥EF，根据切线的判定定理证明；
（2）根据勾股定理求出 AC，证明△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式， 计算即可．
【解答】（1）证明：连接 OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵点 C 是的中点，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即 EF 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴AC＝ ＝4，
∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴AE＝
＝ ．
27．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为 x＝b，点 A（﹣
2，m）在直线 y＝﹣x+3 上．
（1）求 m，b 的值；
（2）若点 D（3，2）在二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求 a 的值；
（3）当二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线 y＝﹣x+3 相交于两点时，设左侧的交点 为 P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求 a 的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的性质，可得 b＝ ＝1．将 A（﹣2，m）代入 y＝﹣x+3，
即可求出 m＝2+3＝5；
（2）将 D（3，2）代入 y＝ax2﹣2ax+1，即可求出 a 的值；
（3）把 x＝﹣3 代入 y＝﹣x+3，求出 y＝6，把（﹣3，6）代入 y＝ax2﹣2ax+1，求出 a
＝ ．再把 x＝﹣1 代入 y＝﹣x+3，求出 y＝4，把（﹣1，4）代入 y＝ax2﹣2ax+1，求出 a＝1．进而得出 a 的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为 x＝b，
∴b＝ ＝1．
∵点 A（﹣2，m）在直线 y＝﹣x+3 上，
∴m＝2+3＝5；
（2）∵点 D（3，2）在二次函数 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，
∴2＝a×32﹣2a×3+1，
∴a＝ ；
（3）∵当 x＝﹣3 时，y＝﹣x+3＝6，
∴当（﹣3，6）在 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，6＝a×（﹣3）2﹣2a×（﹣3）+1，
∴a＝ ．
又∵当 x＝﹣1 时，y＝﹣x+3＝4，
∴当（﹣1，4）在 y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，4＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1，
∴a＝1．
∴ ＜a＜1．
28．已知函数 y1＝2kx+k 与函数 y2＝x2﹣2x+3，定义新函数 y＝y2﹣y1．
（1）若 k＝2，则新函数 y＝ x2﹣6x+1 ；
（2）若新函数 y 的解析式为 y＝x2+bx﹣2，则 k＝ 5 ，b＝ ﹣12 ；
（3）设新函数 y 顶点为（m，n）．
①当 k 为何值时，n 有大值，并求出最大值；
②求 n 与 m 的函数解析式．
【分析】（1）将 k＝2 代入函数 y1＝2kx+k 中得出函数 y1＝4x+2，即可得出结论；
（2）新函数 y 的解析式为 y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，即可得出结论；
（3）①先得出新函数 y＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，进而得出，即可得 出结论；
②在 中消去 k 即可得出结论．
【解答】解：（1）当 k＝2 时，y1＝2kx+k＝4x+2，
∵函数 ，定义新函数 y＝y2﹣y1，
∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1， 故答案为：x2﹣6x+1；
（2）函数 y1＝2kx+k 与函数，定义新函数 y＝y2﹣y1，
∴新函数 y 的解析式为 y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，
∵新函数 y 的解析式为 y＝x2+bx﹣2，
∴b＝﹣2（k+1），3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣12， 故答案为：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函数 y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，
∵新函数 y 顶点为（m，n），
∴ ，
∴ ，
当 时， ；
②由①知， ，
将 k＝m﹣1 代入 n＝﹣k2﹣3k+2 得：
∴n＝﹣m2﹣m+4．
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