2022年江苏省苏州工业园区中考数学仿真试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.计算的正确结果是( )
A. B.- C.1 D.﹣1
2.若△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,则这两个三角形的面积比为( )
A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4
3.如图,点C是直线AB,DE之间的一点,∠ACD=90°,下列条件能使得AB∥DE的是( )
A.∠α+∠β=180° B.∠β﹣∠α=90° C.∠β=3∠α D.∠α+∠β=90°
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=2,cosA=,那么AB的长是( )
A.3 B. C. D.
5.如图是由四个相同的小正方体堆成的物体,它的正视图是( )
A. B. C. D.
6.如图,已知第一象限内的点A在反比例函数y=上,第二象限的点B在反比例函数上,且OA⊥OB,,则k的值为( )
A.﹣2 B.4 C.﹣4 D.2
7.如图,将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD,若OA=4,∠AOB=35°,则下列结论错误的是( )
A.∠BDO=60° B.∠BOC=25° C.OC=4 D.BD=4
8.如图,是的外接圆,已知,则的大小为
A. B. C. D.
9.分式方程=1的解为( )
A.x=1 B.x=0 C.x=﹣ D.x=﹣1
10.关于x的方程x2+(k2﹣4)x+k+1=0的两个根互为相反数,则k值是( )
A.﹣1 B.±2 C.2 D.﹣2
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是______.
12.已知线段a=4,b=1,如果线段c是线段a、b的比例中项,那么c=_____.
13.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是_______.
14.已知实数x,y满足,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是______.
15.若xay与3x2yb是同类项,则ab的值为_____.
16.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴相交于点A、B,若其对称轴为直线x=2,则OB–OA的值为_______.
17.化简:______.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)草莓是云南多地盛产的一种水果,今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克20元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元,经试销发现,销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图是y与x 的函数关系图象.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)直接写出自变量x的取值范围.
19.(5分)如图,在平面直角坐标系中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,),点M是抛物线C2:(<0)的顶点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当△BDM为直角三角形时,求的值.
20.(8分)如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.
求此抛物线的解析式;求C、D两点坐标及△BCD的面积;若点P在x轴上方的抛物线上,满足S△PCD=S△BCD,求点P的坐标.
21.(10分)问题提出
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为CD的中点,则∠AEB ∠ACB(填“>”“<”“=”);
问题探究
(2)如图②,在正方形ABCD中,P为CD边上的一个动点,当点P位于何处时,∠APB最大?并说明理由;
问题解决
(3)如图③,在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌,其侧面上、下边沿相距6米(即AB=6米),下边沿到地面的距离BD=11.6米.如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米,他从远处正对广告牌走近时,在P处看广告效果最好(视角最大),请你在图③中找到点P的位置,并计算此时小刚与大楼AD之间的距离.
22.(10分)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=﹣1.
23.(12分)如图,在平面直角坐标中,点O是坐标原点,一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A(1,m)、B(n,1)两点.
(1)求直线AB的解析式;
(2)根据图象写出当y1>y2时,x的取值范围;
(3)若点P在y轴上,求PA+PB的最小值.
24.(14分)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1:1(即DB:EB=1:1),如图所示,已知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、D
【解析】
根据有理数加法的运算方法,求出算式的正确结果是多少即可.
【详解】
原式
故选:D.
【点睛】
此题主要考查了有理数的加法的运算方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①同号相加,取相同符号,并把绝对值相加.②绝对值不等的异号加减,取绝对值较大的加
数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得1.③一个数同
1相加,仍得这个数.
2、C
【解析】
由△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,根据相似三角形的性质,即可求得答案.
【详解】
∵△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,
∴这两个三角形的面积比为4:1.
故选C.
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.
3、B
【解析】
延长AC交DE于点F,根据所给条件如果能推出∠α=∠1,则能使得AB∥DE,否则不能使得AB∥DE;
【详解】
延长AC交DE于点F.
A. ∵∠α+∠β=180°,∠β=∠1+90°,
∴∠α=90°-∠1,即∠α≠∠1,
∴不能使得AB∥DE;
B. ∵∠β﹣∠α=90°,∠β=∠1+90°,
∴∠α=∠1,
∴能使得AB∥DE;
C.∵∠β=3∠α,∠β=∠1+90°,
∴3∠α=90°+∠1,即∠α≠∠1,
∴不能使得AB∥DE;
D.∵∠α+∠β=90°,∠β=∠1+90°,
∴∠α=-∠1,即∠α≠∠1,
∴不能使得AB∥DE;
故选B.
【点睛】
本题考查了平行线的判定方法:①两同位角相等,两直线平行; ②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行于同一直线的两条直线互相平行;同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.
4、A
【解析】
根据锐角三角函数的性质,可知cosA==,然后根据AC=2,解方程可求得AB=3.
故选A.
点睛:此题主要考查了解直角三角形,解题关键是明确直角三角形中,余弦值cosA=,然后带入数值即可求解.
5、A
【解析】
【分析】根据正视图是从物体的正面看得到的图形即可得.
【详解】从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2,1,
如图所示:
故选A.
【点睛】本题考查了三视图的知识,正视图是从物体的正面看得到的视图.
6、C
【解析】
试题分析:作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x轴于点D.
则∠BDO=∠ACO=90°,则∠BOD+∠OBD=90°,
∵OA⊥OB,∴∠BOD+∠AOC=90°,∴∠BOD=∠AOC,∴△OBD∽△AOC,∴=(tanA)2=2,
又∵S△AOC=×2=1,∴S△OBD=2,∴k=-1.
故选C.
考点:1.相似三角形的判定与性质;2.反比例函数图象上点的坐标特征.
7、D
【解析】
由△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°,AO=CO=4、BO=DO,据此可判断C;由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项;由∠AOB=35°,∠AOC=60°可判断B选项,据此可得答案.
【详解】
解:∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD,
∴∠AOC=∠BOD=60°,AO=CO=4、BO=DO,故C选项正确;
则△AOC、△BOD是等边三角形,∴∠BDO=60°,故A选项正确;
∵∠AOB=35°,∠AOC=60°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°,故B选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查旋转的性质,解题的关键是掌握旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质.
8、A
【解析】
解:△AOB中,OA=OB,∠ABO=30°;
∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°;
∴∠ACB=∠AOB=60°;故选A.
9、C
【解析】
首先找出分式的最简公分母,进而去分母,再解分式方程即可.
【详解】
解:去分母得:
x2-x-1=(x+1)2,
整理得:-3x-2=0,
解得:x=-,
检验:当x=-时,(x+1)2≠0,
故x=-是原方程的根.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了解分式方程的解法,正确掌握解题方法是解题关键.
10、D
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可.
【详解】
设方程的两根分别为x1,x1,
∵x1+(k1-4)x+k-1=0的两实数根互为相反数,
∴x1+x1,=-(k1-4)=0,解得k=±1,
当k=1,方程变为:x1+1=0,△=-4<0,方程没有实数根,所以k=1舍去;
当k=-1,方程变为:x1-3=0,△=11>0,方程有两个不相等的实数根;
∴k=-1.
故选D.
【点睛】
本题考查的是根与系数的关系.x1,x1是一元二次方程ax1+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x1=− ,x1x1= ,反过来也成立.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、
【解析】
利用特殊三角形的三边关系,求出AM,AE长,求比值.
【详解】
解:如图所示,设BC=x,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,
∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,
根据题意得:AD=BC=x,AE=DE=AB=x,
如图,作EM⊥AD于M,则AM=AD=x,
在Rt△AEM中,cos∠EAD=,
故答案为:.
【点睛】
特殊三角形: 30°-60°-90°特殊三角形,三边比例是1::2,利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实际关系.
12、1
【解析】
根据比例中项的定义,列出比例式即可得出中项,注意线段不能为负.
【详解】
根据比例中项的概念结合比例的基本性质,得:比例中项的平方等于两条线段的乘积.
则c1=4×1,c=±1,(线段是正数,负值舍去),
故c=1.
故答案为1.
【点睛】
本题考查了比例线段;理解比例中项的概念,这里注意线段不能是负数.
13、x≠﹣1
【解析】
分式有意义的条件是分母不等于零.
【详解】
∵式子在实数范围内有意义,
∴x+1≠0,解得:x≠-1.
故答案是:x≠-1.
【点睛】
考查的是分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件是解题的关键.
14、1或2
【解析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值,再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解.
【详解】
根据题意得,x-5=0,y-7=0,
解得x=5,y=7,
①5是腰长时,三角形的三边分别为5、5、7,三角形的周长为1.
②5是底边时,三角形的三边分别为5、7、7,
能组成三角形,5+7+7=2;
所以,三角形的周长为:1或2;
故答案为1或2.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,绝对值与算术平方根的非负性,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键,难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断.
15、2
【解析】
试题解析:∵xay与3x2yb是同类项,
∴a=2,b=1,
则ab=2.
16、4
【解析】
试题分析:设OB的长度为x,则根据二次函数的对称性可得:点B的坐标为(x+2,0),点A的坐标为(2-x,0),则OB-OA=x+2-(x-2)=4.
点睛:本题主要考查的就是二次函数的性质.如果二次函数与x轴的两个交点坐标为(,0)和(,0),则函数的对称轴为直线:x=.在解决二次函数的题目时,我们一定要注意区分点的坐标和线段的长度之间的区别,如果点在x的正半轴,则点的横坐标就是线段的长度,如果点在x的负半轴,则点的横坐标的相反数就是线段的长度.
17、3
【解析】
分析:根据算术平方根的概念求解即可.
详解:因为32=9
所以=3.
故答案为3.
点睛:此题主要考查了算术平方根的意义,关键是确定被开方数是哪个正数的平方.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、(1)y=-2x+31,(2)20≤x≤1
【解析】
试题分析:(1)根据函数图象经过点(20,300)和点(30,280),利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式;
(2)根据试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克1元,结合草莓的成本价即可得出x的取值范围.
试题解析:
(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,根据题意,得:
解得:
∴y与x的函数解析式为y=-2x+31,
(2) ∵试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克1元,且草莓的成本为每千克20元,
∴自变量x的取值范围是20≤x≤1.
19、(1)A(,0)、B(3,0).
(2)存在.S△PBC最大值为
(3)或时,△BDM为直角三角形.
【解析】
(1)在中令y=0,即可得到A、B两点的坐标.
(2)先用待定系数法得到抛物线C1的解析式,由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式,根据二次函数最值原理求出最大值.
(3)先表示出DM2,BD2,MB2,再分两种情况:①∠BMD=90°时;②∠BDM=90°时,讨论即可求得m的值.
【详解】
解:(1)令y=0,则,
∵m<0,∴,解得:,.
∴A(,0)、B(3,0).
(2)存在.理由如下:
∵设抛物线C1的表达式为(),
把C(0,)代入可得,.
∴C1的表达式为:,即.
设P(p,),
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=.
∵<0,∴当时,S△PBC最大值为.
(3)由C2可知: B(3,0),D(0,),M(1,),
∴BD2=,BM2=,DM2=.
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况:
当∠BMD=90°时,BM2+ DM2= BD2,即+=,
解得:,(舍去).
当∠BDM=90°时,BD2+ DM2= BM2,即+=,
解得:,(舍去) .
综上所述,或时,△BDM为直角三角形.
20、 (1)y=﹣(x﹣1)2+4;(2)C(﹣1,0),D(3,0);6;(3)P(1+,),或P(1﹣,)
【解析】
(1)设抛物线顶点式解析式y=a(x-1)2+4,然后把点B的坐标代入求出a的值,即可得解;
(2)令y=0,解方程得出点C,D坐标,再用三角形面积公式即可得出结论;
(3)先根据面积关系求出点P的坐标,求出点P的纵坐标,代入抛物线解析式即可求出点P的坐标.
【详解】
解:(1)、∵抛物线的顶点为A(1,4),
∴设抛物线的解析式y=a(x﹣1)2+4,
把点B(0,3)代入得,a+4=3,
解得a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4;
(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4;
令y=0,则0=﹣(x﹣1)2+4,
∴x=﹣1或x=3, ∴C(﹣1,0),D(3,0);
∴CD=4,
∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6;
(3)由(2)知,S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6;CD=4,
∵S△PCD=S△BCD,
∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3,
∴|yP|= ,
∵点P在x轴上方的抛物线上,
∴yP>0,
∴yP= ,
∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4;
∴=﹣(x﹣1)2+4,
∴x=1±,
∴P(1+ , ),或P(1﹣,).
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合应用,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
21、(1)>;(2)当点P位于CD的中点时,∠APB最大,理由见解析;(3)4米.
【解析】
(1)过点E作EF⊥AB于点F,由矩形的性质和等腰三角形的判定得到:△AEF是等腰直角三角形,易证∠AEB=90°,而∠ACB<90°,由此可以比较∠AEB与∠ACB的大小
(2)假设P为CD的中点,作△APB的外接圆⊙O,则此时CD切⊙O于P,在CD上取任意异于P点的点E,连接AE,与⊙O交于点F,连接BE、BF;由∠AFB是△EFB的外角,得∠AFB>∠AEB,且∠AFB与∠APB均为⊙O中弧AB所对的角,则∠AFB=∠APB,即可判断∠APB与∠AEB的大小关系,即可得点P位于何处时,∠APB最大;
(3)过点E作CE∥DF,交AD于点C,作AB的垂直平分线,垂足为点Q,并在垂直平分线上取点O,使OA=CQ,以点O为圆心,OB为半径作圆,则⊙O切CE于点G,连接OG,并延长交DF于点P,连接OA,再利用勾股定理以及长度关系即可得解.
【详解】
解:(1)∠AEB>∠ACB,理由如下:
如图1,过点E作EF⊥AB于点F,
∵在矩形ABCD中,AB=2AD,E为CD中点,
∴四边形ADEF是正方形,
∴∠AEF=45°,
同理,∠BEF=45°,
∴∠AEB=90°.
而在直角△ABC中,∠ABC=90°,
∴∠ACB<90°,
∴∠AEB>∠ACB.
故答案为:>;
(2)当点P位于CD的中点时,∠APB最大,理由如下:
假设P为CD的中点,如图2,作△APB的外接圆⊙O,则此时CD切⊙O于点P,
在CD上取任意异于P点的点E,连接AE,与⊙O交于点F,连接BE,BF,
∵∠AFB是△EFB的外角,
∴∠AFB>∠AEB,
∵∠AFB=∠APB,
∴∠APB>∠AEB,
故点P位于CD的中点时,∠APB最大:
(3)如图3,过点E作CE∥DF交AD于点C,作线段AB的垂直平分线,垂足为点Q,并在垂直平分线上取点O,使OA=CQ,
以点O为圆心,OA长为半径作圆,则⊙O切CE于点G,连接OG,并延长交DF于点P,此时点P即为小刚所站的位置,
由题意知DP=OQ=,
∵OA=CQ=BD+QB﹣CD=BD+AB﹣CD,
BD=11.6米, AB=3米,CD=EF=1.6米,
∴OA=11.6+3﹣1.6=13米,
∴DP=米,
即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好.
【点睛】
本题考查了矩形的性质,正方形的判定与性质,圆周角定理的推论,三角形外角的性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理等知识,难度较大,熟练掌握各知识点并正确作出辅助圆是解答本题的关键.
22、原式==﹣2.
【解析】
分析:原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简,再将a的值代入计算可得.
详解:原式=
=
=,
当a=﹣1时,
原式==﹣2.
点睛:本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则.
23、(1)y=﹣x+4;(2)1<x<1;(1)2.
【解析】
(1)依据反比例函数y2= (x>0)的图象交于A(1,m)、B(n,1)两点,即可得到A(1,1)、B(1,1),代入一次函数y1=kx+b,可得直线AB的解析式;
(2)当1<x<1时,正比例函数图象在反比例函数图象的上方,即可得到当y1>y2时,x的取值范围是1<x<1;
(1)作点A关于y轴的对称点C,连接BC交y轴于点P,则PA+PB的最小值等于BC的长,利用勾股定理即可得到BC的长.
【详解】
(1)A(1,m)、B(n,1)两点坐标分别代入反比例函数y2= (x>0),可得
m=1,n=1,
∴A(1,1)、B(1,1),
把A(1,1)、B(1,1)代入一次函数y1=kx+b,可得
,解得,
∴直线AB的解析式为y=-x+4;
(2)观察函数图象,发现:
当1<x<1时,正比例函数图象在反比例函数图象的上方,
∴当y1>y2时,x的取值范围是1<x<1.
(1)如图,作点A关于y轴的对称点C,连接BC交y轴于点P,则PA+PB的最小值等于BC的长,
过C作y轴的平行线,过B作x轴的平行线,交于点D,则
Rt△BCD中,BC=,
∴PA+PB的最小值为2.
【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题,根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标,得出不等式的取值范围是解答此题的关键.
24、水坝原来的高度为12米
【解析】
试题分析:设BC=x米,用x表示出AB的长,利用坡度的定义得到BD=BE,进而列出x的方程,求出x的值即可.
试题解析:设BC=x米,
在Rt△ABC中,∠CAB=180°﹣∠EAC=50°,AB=≈=,
在Rt△EBD中,
∵i=DB:EB=1:1,∴BD=BE,∴CD+BC=AE+AB,
即2+x=4+,解得x=12,即BC=12,
答:水坝原来的高度为12米..
考点:解直角三角形的应用,坡度.
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