2022届江苏泰州地区中考数学最后一模试卷含解析

这是一份2022届江苏泰州地区中考数学最后一模试卷含解析，共20页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：
①S△ODB=S△OCA；
②四边形OAMB的面积不变；
③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．
其中正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+a﹣1与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，若x1＜1，x2＞2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．0＜a＜3 C．a＞﹣3 D．﹣3＜a＜0
3．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．； B．； C．； D．.
4．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(　　)

A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
5．下列计算正确的有（ ）个
①（﹣2a2）3＝﹣6a6 ②（x﹣2）（x+3）＝x2﹣6 ③（x﹣2）2＝x2﹣4 ④﹣2m3+m3＝﹣m3 ⑤﹣16＝﹣1．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　）

A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm
8．下列运算正确的是（　　）
A．5ab﹣ab=4 B．a6÷a2=a4
C． D．（a2b）3=a5b3
9．小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．30和 20 B．30和25 C．30和22.5 D．30和17.5
10．如图所示，数轴上两点A，B分别表示实数a，b，则下列四个数中最大的一个数是（   ）

A．a     B．b   C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是_____．
12．已知二次函数中，函数y与x的部分对应值如下：

...
-1
0
1
2
3
...

...
10
5
2
1
2
...
则当时，x的取值范围是_________.
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=　 ▲ ．

14．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由___________个这样的正方体组成.

15．如图，已知，D、E分别是边AB、AC上的点，且设，，那么______用向量、表示

16．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为_____．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）灞桥区教育局为了了解七年级学生参加社会实践活动情况，随机抽取了铁一中滨河学部分七年级学生2016﹣2017学年第一学期参加实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题：a=　 　%，并补全条形图．在本次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？如果该区共有七年级学生约9000人，请你估计活动时间不少于6天的学生人数大约有多少？

18．（8分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：
“读书节“活动计划书
书本类别
科普类
文学类
进价（单位：元）
18
12
备注
（1）用不超过16800元购进两类图书共1000本；科普类图书不少于600本；
…
（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；经市场调査后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
19．（8分）服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件.
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？
（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0 20．（8分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，CE＝2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
21．（8分）（1）计算：；
（2）化简：．
22．（10分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．
（1）求一次函数，反比例函数的表达式；
（2）求证：点C为线段AP的中点；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与双曲线y2=交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA=AB．求双曲线的解析式；求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．

24．如图，在正方形中，点是对角线上一个动点（不与点重合），连接过点作，交直线于点．作交直线于点，连接．

（1）由题意易知，，观察图，请猜想另外两组全等的三角形 ； ；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）已知，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．



参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
根据反比例函数的性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解.
【详解】
①由于A、B在同一反比例函数y=图象上，由反比例系数的几何意义可得S△ODB=S△OCA=1,正确；
②由于矩形OCMD、△ODB、△OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；
③连接OM，点A是MC的中点，则S△ODM=S△OCM=，因S△ODB=S△OCA=1,所以△OBD和△OBM面积相等，点B一定是MD的中点．正确；
故答案选D．

考点：反比例系数的几何意义.
2、B
【解析】
由已知抛物线求出对称轴，
解：抛物线：，对称轴，由判别式得出a的取值范围．
，，
∴，
①，．
②由①②得．
故选B．
3、B
【解析】
分式的分母不为零，即x-2≠1．
【详解】
∵分式有意义，
∴x-2≠1,
∴.
故选：B.
【点睛】
考查了分式有意义的条件，（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
4、B
【解析】
解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°
故选:B

5、C
【解析】
根据积的乘方法则，多项式乘多项式的计算法则，完全平方公式，合并同类项的计算法则，乘方的定义计算即可求解．
【详解】
①（﹣2a2）3=﹣8a6，错误；
②（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，错误；
③（x﹣2）2=x2﹣4x+4，错误
④﹣2m3+m3=﹣m3，正确；
⑤﹣16=﹣1，正确．
计算正确的有2个．
故选C．
【点睛】
考查了积的乘方，多项式乘多项式，完全平方公式，合并同类项，乘方，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
6、B
【解析】
袋中一共7个球，摸到的球有7种可能，而且机会均等，其中有3个红球，因此摸到红球的概率为，故选B.
7、D
【解析】
过A作AD⊥BF于D,根据45°角的三角函数值可求出AB的长度，根据含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长即可.
【详解】
如图，过A作AD⊥BF于D，
∵∠ABD=45°，AD=12，
∴=12，
又∵Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB=24，
故选：D．

【点睛】
本题考查解直角三角形，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角三角函数值是解题关键.
8、B
【解析】
由整数指数幂和分式的运算的法则计算可得答案.
【详解】
A项, 根据单项式的减法法则可得:5ab-ab=4ab,故A项错误;
B项, 根据“同底数幂相除,底数不变,指数相减”可得: a6÷a2=a4，故B项正确;
C项,根据分式的加法法则可得:,故C项错误;
D项, 根据 “积的乘方等于乘方的积” 可得:,故D项错误;
故本题正确答案为B.
【点睛】
幂的运算法则:
(1) 同底数幂的乘法: (m、n都是正整数)
(2)幂的乘方:(m、n都是正整数)
(3)积的乘方: (n是正整数)
(4)同底数幂的除法:(a≠0,m、n都是正整数,且m>n)
(5)零次幂:(a≠0)
(6) 负整数次幂: (a≠0, p是正整数).
9、C
【解析】
将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得．
【详解】
将这10个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、30、30，
所以该组数据的众数为30、中位数为=22.5，
故选：C．
【点睛】
此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
10、D
【解析】
∵负数小于正数，在（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
∴＜a＜b＜ ，
故选D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解析】
分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
详解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；
用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：

Aa、Ab、Ba、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是．
故答案为：．
点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
12、0 【解析】
根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2，结合表格中所给数据可得出答案．
【详解】
由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
所以，x=4时，y=5，
所以，y<5时，x的取值范围为0 故答案为0 【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值得取值范围，同学们应熟练掌握．
13、
【解析】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。
【分析】如图，

设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：
。
14、1
【解析】
主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
【详解】
易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有1个正方体．
故答案为1．
15、
【解析】
在△ABC中，，∠A=∠A，所以△ABC△ADE，所以DE=BC，再由向量的运算可得出结果.
【详解】
解：在△ABC中，，∠A=∠A，
∴△ABC△ADE，
∴DE=BC，
∴=3=3
∴=，
故答案为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及向量的运算.
16、1
【解析】
试题分析：设点C的坐标为（x，y），则B（－2，y）D（x，－2），设BD的函数解析式为y=mx，则y=－2m，x=－，∴k=xy=（－2m）·（－）=1．
考点：求反比例函数解析式．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）10，补图见解析；（2）众数是5，中位数是1；（3）活动时间不少于1天的学生人数大约有5400人．
【解析】
（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用310°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；根据1天的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以8天的人数所占的百分比，即可补全统计图；
（2）根据众数和中位数的定义即可求出答案；
（3）用总人数乘以活动时间不少于1天的人数所占的百分比即可求出答案．
【详解】
解：（1）扇形统计图中a=1﹣5%﹣40%﹣20%﹣25%=10%，
该扇形所对圆心角的度数为310°×10%=31°，
参加社会实践活动的天数为8天的人数是：×10%=10（人），补图如下：

故答案为10；
（2）抽样调查中总人数为100人，
结合条形统计图可得：众数是5，中位数是1．
（3）根据题意得：9000×（25%+10%+5%+20%）=5400（人），
活动时间不少于1天的学生人数大约有5400人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18、（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本，利润最大.
【解析】
（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．
（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000-t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案．
【详解】
解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得，
化简得：540-10x=360，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27-a）元（0＜a＜5），
由题意得，，
解得：600≤t≤800，
则总利润w=（27-a-18）t+（18-12）（1000-t）
=（9-a）t+6（1000-t）
=6000+（3-a）t，
故当0＜a＜3时，3-a＞0，t=800时，总利润最大，且大于6000元；
当a=3时，3-a=0，无论t值如何变化，总利润均为6000元；
当3＜a＜5时，3-a＜0，t=600时，总利润最大，且小于6000元；
答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
19、（1）甲种服装最多购进75件,（2）见解析.
【解析】
（1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100-x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出不等式解答即可；
（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．
【详解】
（1）设购进甲种服装x件，由题意可知：80x+60（100-x）≤7500，解得x≤75
答：甲种服装最多购进75件,
（2）设总利润为W元，
W=（120-80-a）x+（90-60）（100-x）
即w=（10-a）x+1．
①当0＜a＜10时，10-a＞0，W随x增大而增大，
∴当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；
②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；
③当10＜a＜20时，10-a＜0，W随x增大而减小．
当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，以及一次函数的性质，正确利用x表示出利润是关键．
20、见解析
【解析】
试题分析：（1）先证得四边形ABED是平行四边形，又AB=AD， 邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，所以∠DEC=60°，AB=ED，又EC=2BE，EC=2DE，可得△DEC是直角三角形．
试题解析：梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，
∴∠DEC=60°，AB=ED，
又EC=2BE，
∴EC=2DE，
∴△DEC是直角三角形，
考点：1．菱形的判定；2．直角三角形的性质；3．平行四边形的判定
21、（1）4+；（2）.
【解析】
（1）根据幂的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题；
（3）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【详解】
（1）
=4+1+|1﹣2×|
=4+1+|1﹣|
=4+1+﹣1
=4+；
（2）
=
=
=．
【点睛】
本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
22、（1）y＝x＋1. （2）点C为线段AP的中点. （3）存在点D，使四边形BCPD为菱形，点D（8，1）即为所求.
【解析】
试题分析：（1）由点A与点B关于y轴对称，可得AO＝BO，再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式；(2)由AO＝BO，PB∥CO，即可证得结论 ；（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝ 的图象于点D，分别连结PD、BD，如图所示，即可得点D（8，1）， BP⊥CD，易证PB与CD互相垂直平分，即可得四边形BCPD为菱形，从而得点D的坐标．
试题解析：
（1）∵点A与点B关于y轴对称，
∴AO＝BO，
∵A(－4，0)，
∴B(4，0)，
∴P(4，2),
把P(4，2)代入y＝得m＝8，
∴反比例函数的解析式：y＝
把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b
得：，解得：，
所以一次函数的解析式：y＝x＋1.
（2）∵点A与点B关于y轴对称，
∴OA=OB
∵PB丄x轴于点B，
∴∠PBA=90°，
∵∠COA=90°，
∴PB∥CO，
∴点C为线段AP的中点.
（3）存在点D，使四边形BCPD为菱形
∵点C为线段AP的中点，
∴BC=，
∴BC和PC是菱形的两条边
由y＝x＋1，可得点C(0，1)，
过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D，
分别连结PD、BD，

∴点D（8，1）， BP⊥CD
∴PE＝BE＝1，
∴CE＝DE＝4，
∴PB与CD互相垂直平分，
∴四边形BCPD为菱形.
∴点D（8，1）即为所求.
23、（1）；（1）C（﹣1，﹣4），x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
【解析】
【分析】（1）作高线AC，根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=1x﹣1，可得A的坐标，从而得双曲线的解析式；
（1）联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论．
【详解】（1）∵点A在直线y1=1x﹣1上，
∴设A（x，1x﹣1），
过A作AC⊥OB于C，
∵AB⊥OA，且OA=AB，
∴OC=BC，
∴AC=OB=OC，
∴x=1x﹣1，
x=1，
∴A（1，1），
∴k=1×1=4，
∴；
（1）∵，解得：，，
∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y1时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．
24、（1）；（2）见解析；（3）存在，2
【解析】
（1）利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可；
（2）由（1）可知，则有，从而得到，最后利用一组对边平行且相等即可证明；
（3）由（1）可知，则，从而得到是等腰直角三角形，则当最短时，的面积最小，再根据AB的值求出PB的最小值即可得出答案．
【详解】
解：（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，




在和中，
，

故答案为；
（2）证明：由（1）可知，
，



四边形是平行四边形.
（3）解：存在，理由如下：



是等腰直角三角形，
最短时，的面积最小，
当时，最短，此时，
的面积最小为.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键．