初中数学冀教版七年级下册11.3 公式法教案及反思

平方差公式法因式分解教学设计

【教材依据】本节课是冀教版数学七年级下册第十一章因式分解第三节公式法第一课时内容。

【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒等变形的重要手段之一。它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数等都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！

【学情分析】

学生已有所学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出a2-b2 = (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。

【指导思想】

以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比的数学思想方法。通过学生讲解习题的过程培养学生数学文字语言应用和准确应用数学符号表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。

【教学目标】

 知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解。

 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。

情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。

现代化教学手段的运用：使用交互式多媒体激发学生的学习兴趣，增大课堂容量，使用检测试卷落实当堂效果。

【教学重点】

掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。

解决办法：通过大量实例的观察，分析，再通过对特殊例题的观察，讨论与交流总结相应的特征，感受它们的区别。

【教学难点】  

使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。

突破措施：通过观察及交流增强认识，突破难点，让学生自己对特征反复描述、总结，体会研究的方法与视角。

【教学过程】 

利用ppt课件展示复习内容了解学生对因式分解概念及提公因式法的掌握情况，进一步复习应用平方差公式进行整式乘法运算。

一 、温故知新

1、把下列各式分解因式。

5a+5b

m2-m

3xy+3xz

2、计算下列各式

（1）(x+5)(x-5)=                                   

（2）(3x+y)(3x-y)=            

（3）(3m+2n)(3m–2n)=              

它们的结果有什么共同特征？

 请你根据上面的等式填空：

x2–25=(       )(        )

9x2 –y2=(       )(        )

9m2–4n2=(       )(        )

对比以上两题，你有什么发现？

把乘法公式(a+b)(a−b)=a2−b2反过来就得到a2−b2 = (a+b)(a−b)

3、情景设置

你能很快知道992-1是100的倍数吗？

揭示课题并小结平方差公式法分解因式定义。          

像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。这个公式叫做因式分解中的平方差公式。

二.  探索思考

a2−b2 = (a+b)(a−b)

（1）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）

★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（　）２－（　）２的形式。

(2)  公式右边:（是分解因式的结果）

★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

学生思考：1、当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？

（小组讨论，教师深入小组，倾听学生的交流后，引导学生从项数、次数、符号等方面观察归纳出多项式的特点：多项式为两项；两项符号相反；两项都可以写成平方的形式。）

【设计意图】让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，探究出将乘法公式逆用就能解决问题，再来归纳出分解因式的平方差公式．

2、文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

【设计意图】锻炼学生的文字概括及语言表达能力．加强对公式本质的理解．

练习Ⅰ：

下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。

(1)  m2 －81               (2)  1 －16b2

(3)  4m2+9                 (4)  a2x2 －25y 2

(5) －x2 －25y2

 【设计意图】使学生学会把一个代数式写成（   ）2形式的平方数，为平方差公式因式分解的应用变形做铺垫。

练习2：

套用公式填空：

① 4 - 9m2=(      )2- (      )2=(         ) (         )

② 16a2 - 81b2 =(     )2-(     )2=(         )(          )

③36x2 - y2 =(    )2-(     )2 = (      +7y)(     -7y)  

【设计意图】通过练习，进一步使学生理解平方差公式因式分解时多项式的特点，并学会熟练掌握应用平方差公式进行分解因式的规范书写格式，从而达到培养学生符号运用能力，使学生养成勤于观察和规范书写的习惯，体现本节课的重点。

三.  合作探究，达成目标

1、议一议，下列各式可以运用平方差公式进行因式分解？

(1) x2-2x-1        (2) x2+y2        (3) 2a2-1

(4) –x2+y2        (5) m2-n         (6) 64-a2

2、思考：能运用平方差公式分解因式的多项式特点？

二项式，系数能平方，指数要成双，两项的符号不一样.

四.  变式训练，强化目标

你能将多项式 x2-25分解因式吗？

例1：把下列各式分解因式：

(1)  (3m-1)2-9

(2)  4x2-9y2

在使用平方差公式分解因式时，要注意：先把要计算的式子与平方差公式对照，明确哪个相当于 a ， 哪个相当于 b.

【设计意图】进一步加深对公式本质的认识，体会整体的数学思想并用换元的方法将问题转化为公式的基本形式加以解决．

例2  把下列各式因式分解

(3)2ab3-2ab  

      (4)a3-16a

温馨提示：（1）因式分解时，通常先考虑提取公因式法，然后再考虑其他法。（2）因式分解要彻底，直到不能分解为止。

【设计意图】引导学生经历探究、猜想和验证，直至解决问题的过程．归纳出因式分解的步骤 “一提二套三查”的方法，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用，以及分解要彻底地思想．

五.  课堂小结

（1）说说本节课中你学习的收获、体会；

（2）你还有什么困惑吗？

1、如果一个二项式，能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式（式子中的a、b可以是单项式，也可以是多项式）。

2、因式分解的一般步骤是：一提二套三查.

 一提先看是否有公因式，若有，先提取公因式.

 二套：看能否用平方差公式因式分解.

 三查：检查因式分解是不是彻底，要分解到每一个因式不能再分解为止.

六.课堂检测

1．判断：下列各式能不能用平方差公式分解因式(能画“√”，不能的画“×”。)

（1）x2＋64         （   ）

（2）－x2－4y2      （   ）   

（3）9x2－16y4      （   ）

（4）－x2＋9n2      （   ）

2.下列分解因式是否正确： 

（1）－x2－y2=(x＋y)(x－y)             （    ）   

（2）9－25a2=(9+25a)(9－25a)          （    ）

（3）－4a2+9b2=(－2a＋3b)(－2a－3b)   （    ）    

3、利用因式分解计算

（1）2.882-1.882

（2）782-222

4.(x＋1)2－y2分解因式是   （    ）

  A. (x＋1－y)(x＋1＋y)     

  B. (x＋1＋y)(x－1＋y)                                                                           

  C. (x＋1－y)(x－1－y)    

  D. (x＋1＋y)(x－1－y)

【设计意图】使学生体验发现问题，解决问题的猜想和验证，直至解决问题的过程．从中体验成功地感受，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用以及分解因式应进行到每一个多项式因式不能再分解为止的原则。

 【课后反思】

平方差公式这一内容属于数学再创造活动的结果，它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，因此，它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，它是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材。

本节课我的设计理念是：恰当地创设情境、激发学生对数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断发现和提出问题，分析并创造性地解决问题，教师为学生构建开放的学习环境引导学生体验探索、研究的过程，通过学生的再发现、再创造活动，体验“数学化”的过程，使学生在领悟数学对象本质的同时，真正经历知识的“生成过程”。

本节课上下来我整体感觉完成了我课前设定的目标，学生能够很快地掌握利用平方差公式来进行因式分解，而且对一般形式的能使用平方差公式的多项式能够进行因式分解。学生在课堂上和老师的互动也比较好，自我感觉这节课上得比较成功。总的来说，我完成了本节课的教学目标。成功之处主要体现在引入轻松、恰当，思路清晰，教学层次分明，及时总结到位，学生活动恰到好处，问题设置能引起学生思考，切实起到了教师引导作用的发挥。不足之处主要有以下几个方面：引入时例子的数量稍多，占用了时间，讲解过程中过于匆忙，没有大量化归到公式形式变形，导致部分学生感到学习的困难，另外题型有些欠缺，没有加入分数系数的例子，而这种形式又是学生最容易出错的地方。最后一点，对于学生的活动放手不够，如果能让学生自己出题、自己讲题可能效果会更好。