江苏省无锡市锡山区（锡北片）2019届九年级下学期期中考试数学试题

锡山区2019春学期期中考试试卷

初三数学

（考试时间：120分钟     试卷分值：130分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答卷相应的位置．）

1．的倒数是（ ▲ ）

A．      B．   C．   D．

2．函数中自变量x的取值范围是（ ▲ ）

A．x≠1   B．x＞1   C．x≠3   D．x≥3

3．下列计算正确的是（ ▲ ）

A．a6÷a2＝a3      B．a2+a3＝a5       C．    D．

4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ▲ ）

A． B．  C．  D． 

5．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ▲ ）

A．6 B．5 C．4 D．7

6．选拔一名选手参加区中学生男子百米比赛，我校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：

要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学，最合适的是 （ ▲ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

7．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0必有实数解”是真命题，则在下列选项中，b的值可以是（ ▲ ）

A．b＝﹣1 B．b＝0 C．b＝-3 D．b＝1

8．如图是圆锥的三视图（单位：cm），则这个圆锥的侧面积等于（ ▲ ）

A．12πcm2     B．15πcm2    C．24πcm2   D．30πcm2

9．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（ ▲ ）

A．   B．   C．   D．

10．二次函数，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ▲ ）

A． B．2 C． D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答卷相应的横线上．）

11．作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快，成效显著，两年来，已有18个项目在建或建成，总投资额达18500000000美元，将“18500000000”用科学记数法可表示为    ▲     ．

12．计算：＝     ▲      ．

13．因式分解：a3﹣9a＝      ▲     ．

14．袋中装有6个黑球和4个白球，经过若干次试验，若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为      ▲     ．

15．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.4m，请你帮她算一下，树高是     ▲      ．

第15题图        第16题图            第17题图             第18题图

16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B的切线交AC的延长线于点D．若∠A＝2∠D，BD＝4，则图中阴影部分的面积为     ▲     ．

17．如图，一次函数y＝3x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣3，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为2，则k的值为     ▲      ．

18．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为    ▲      ．

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19．（本题满分8分）

计算：（1）；       （2）化简：．

20．（本题满分8分）

（1）解方程：；           （2）求不等式组：

21．（本题满分8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AC＝8，BD＝12，且AC⊥BD，求□ABCD的面积．

22．（本题满分6分）实验中学学生会倡议同学们将用不着的课外书籍捐赠给希望小学．学生会对全校的捐赠情况进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示统计图（图中信息不完整）．已知A组和B组的人数比为1：5．

捐书人数分组统计表

请结合以上信息解答下列问题：

（1）a＝　▲　，本次参加捐书的总人数是　 ▲  　；

（2）先求出C组的人数，再补全“捐书人数分组统计图1”；

（3）扇形统计图中，B组所对应的圆心角的度数是　 ▲  　．

23．（本题满分8分）在地铁入口处检票进闸时，3个进闸通道 A、B、C中，可随机选择其中的一个通过．

（1）如果你经过此进闸口时，选择A通道通过的概率是　 ▲ 　；

（2）求两个人经过此进闸口时，选择不同通道通过的概率.(请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程.)

24．（本题满分8分）如图，四边形ABCD是菱形，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．

（1）在图1中，画出∠A的平分线；

（2）在图2中，AE⊥CD，过点C画出AD边上的高CF；

（3）在图3中，AE⊥CD，过点C画出AB边上的高CG．

25．（本题满分8分）某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少4000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪1000元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬20元，加工1件B型服装计酬15元．在工作中发现一名熟练工加工2件A型服装和3件B型服装需7小时，加工1件A型服装和2件B型服装需4小时．（工人月工资＝底薪+计件工资）

（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？

（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？

26．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”．

（1）已知⊙O的半径为2．

①在点E（2，2），F（，），M（﹣1，﹣1）中，⊙O的“梦之点”

为　 ▲ 　；

②若点P位于⊙O内部，且为双曲线y＝（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围．

（2）已知点C的坐标为（2，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，求出t的取值范围．

27．（本题满分10分）已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＜0)的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB＝1：3．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若△COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；

（3）在（2）的条件下，Q（m，0）是x轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M′，是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（本题满分10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α＝0°时，＝　 ▲ 　；②当α＝180°时，＝　 ▲ 　．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．

锡山区2019春学期期中考试初三数学答案

一、选择题

二、填空题

11．1.85×1010

12．

13．a（a+3）（a﹣3）．

14．

15．4.2

16．7﹣π

17．

18．或15

三、解答题

19．（本题满分8分）

计算：

（1）原式=......（3分）   （2）原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1．....（3分）

==；        ...（4分）            ＝a.                  ...（4分）

20．（本题满分8分）

（1）（x+1）(x-2)+x=x(x+2)   ..（1分）                  （2）  解得（1） x≥﹣1

x＝1；               .. （3分）                              (2)  x＜1      (3分）

检验：x=1是原方程的实数根（4分）           ∴原不等式组的解集是 ﹣1≤x＜1  （4分）

21．（本题满分8分）

解：（1）证明：证得△AOB≌△COD，…………（2分）

∴AB＝CD，…………（3分）

又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．…………（4分）

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形，…………（6分）

∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝×8×12＝48．…………（8分）

22．（本题满分6分）

解：解：（1）a＝20，500．....（2分）

（2）C组的人数是：500×40%＝200（人），补图如下：....（4分）

（3）B组所对应的圆心角的度数是：360°×＝72°；....（6分）

23．（本题满分8分）

（1）....（2分）

（2）列出树状图等（5分），写出等可能结果数及符合题意结果数（7分）  答出 = （8分）

24．（本题满分8分）

      （2分）       连接BD(2分)画出CF(1分)     画出点O(1分) 画出EG(1分)  画出CG(1分)

25．（本题满分8分）

【解答】解：（1）   ..........（3分）.        

（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．

∴W＝20a+15（25×8﹣2a）+1000，

∴W＝﹣10a+4000，             （5分）

又∵a≥，      

解得：a≥50，                 （6分）   

∵﹣10＜0，

∴W随着a的增大则减小，

∴当a＝50时，W有最大值3500．（7分）

∵3500＜4000，

∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．（8分）

26．（本题满分10分）

解：（1）F点；..................（2分）

②∵⊙O的半径为2．

∴⊙O的“梦之点”坐标为（，）和（，）

又∵双曲线y＝（k≠0）与直线y＝x的交点均为双曲线的“梦之点”，

∴将（，）代入双曲线表达式中，得k＝2，

∵点P位于⊙O内部．

∴0＜k＜2；       ............................（6分）

（2）0≤t≤4；  ...............................（10分）

27．（本题满分10分）

（1）B（4，0），…………………………2分

A（－2，0）…………………………3分

（2）内心I（1，1）…………………………4分

，c=3…………………………6分

…………………………8分

（3）Q（，0），Q（，0）…………………………10分

28．（本题满分10分）

解：（1）①当α＝0°时，

②如图1，，

当α＝180°时，......................（2分）

（2）如图2，，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．  ........................（5分）

（3）①如图3，，

∵AC＝6，CD＝6，CD⊥AD，

∴AD＝==12

∵AD＝BC，AB＝DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠B＝90°，

∴□ABCD是矩形，

∴BD=AC＝6．.................（7分）

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，

∵AC＝6，CD＝6，CD⊥AD，

∴AD＝==12

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE＝=3，

∴AE＝AD﹣DE＝12﹣3＝9，

由（2），可得

，

∴BD=  =

综上所述，BD=6或．……………（10分）  其余解法可相应给分