2023年辽宁省朝阳市中考数学一模试卷（含解析）

2023年辽宁省朝阳市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图的几何体，从上向下看，看到的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，已知直线，把三角尺的直角顶点放在直线上．若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  对于一组数据，，，，下列结论不正确的是(    )

A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是

7.  分式方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点刚好落在边上．则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是圆的直径，、是上的两点，连接、相交于点，若，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，点为▱对角线的交点，点在轴正半轴上，在轴上，点为的中点．双曲线过点，，连接已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色外都相同若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是______ ．

12.  关于的方程没有实数根，则的取值范围是______ ．

13.  因式分解：______．

14.  如图，在某校的年新年晚会中，舞台的长为米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为          米．

 

15.  如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集是______ ．

16.  如图，是▱的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点连接，，，与交于点，则下列结论：四边形是菱形；；：：；：：，其中正确结论的序号为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值，其中．

18.  本小题分
近年来随着“绿色能源”“碳中和”“清洁能源”等概念的深入人心，新能源汽车越来越被人们所接受，这也给这一行业的商家带来了商机．某新能源汽车行年月份型号新能源车的销售总额为万元，月份该型号新能源车每辆售价比上月降低了万元．若月份该型号车的销售数量比上月增加，则销售总额将比上月增加请问月份该汽车行销售型号新能源车多少辆？

19.  本小题分
自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种我市某小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：类接种了只需要注射一针的疫苗；类接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；类接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；类还没有接种图与图是根据此次调查得到的统计图不完整．

请根据统计图回答下列问题：
此次抽样调查的人数是______ 人；
接种类疫苗的人数在扇形统计图中所占圆心角______ ；接种类疫苗的人数是______ 人；
请估计该小区所居住的名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．

20.  本小题分
如图，一个圆环被条线段分成个区域，现有年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内：
求：吉祥物“冰墩墩”放在区域的概率______；
求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．用树状图或列表法表示
 

21.  本小题分
在课堂上，同学们已经学习了一些测量距离的方法．小刚想尝试利用无人机测量新都的母亲河毗河某一处的宽度．如图所示，小刚站在河岸一侧的点操控无人机，操纵器距地面距离米，在河对岸安放了一标志物点，无人机在点正上方的点，距离地面的飞行高度是米，匀速水平飞行秒到达点，此时，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为，然后无人机又继续以同样的速度水平飞行秒到达点，测得点的俯角为点，，，，，在同一平面内．
求无人机飞行的速度是多少米秒；
求河宽的距离．
参考数据：，，
 

22.  本小题分
如图，在中，，点在上，，点在上，以点为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，交于点，．
求证：为的切线；
若的半径为，，求的长．

23.  本小题分
某水果店销售一种水果，该水果的进价为元千克，经市场调查发现：该商品的周销售量千克是售价元千克的一次函数，部分数据如表：

求出与之间的函数表达式；
当售价定为多少元千克时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？
由于某种原因，该商店进价提高了元千克通过销售记录发现，当售价大于元千克时，每周的利润随售价的增大而减小，请求出的取值范围．

24.  本小题分
综合与探究
问题情境：
数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点重合，且，连接，．
操作发现：
如图当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系；
探究发现：
如图将菱形绕点按逆时针方向旋转，使点落在边上，连接和你认为中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
探究拓广：
如图，在的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系．

 

25.  本小题分
综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点，的坐标分别为，，点与点关于轴对称，是直线上方抛物线上一动点，连接、交于点．
求抛物线的函数表达式及点的坐标；
在点运动的过程中，求：的最大值；
在轴上是不存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看易得左边有个正方形，右边有个正方形，并且左边的正方形在上层．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．

故选：．
由直角三角板的性质可知，再根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了方差、平均数、众数和中位数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】
解：这组数据的平均数是：；
出现了次，出现的次数最多，则众数是；
把这组数据从小到大排列为：，，，，则中位数是；
这组数据的方差是：；
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：两边同乘，
得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故选：．
根据解分式方程的步骤求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
把绕着点顺时针方向旋转，得到，点刚好落在边上，
，
．
故选：．
利用旋转的性质得出，以及的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．
此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

【解答】本题主要考查了圆周角定理及其推论，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．连接，利用直径所对的圆周角是直角，可得，易得，利用圆周角定理可得结果．
解：连接，

是圆的直径，
，
，
，
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：点为▱对角线的交点，
，，
，
点为的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质和三角形中线的性质求得，即，得出，根据反比例函数系数的几何意义即可求得．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，求得平行四边形的面积是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：共球在盒子中，其中个白球，
从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为．
故答案为：．
先求出球的所有个数与白球的个数，再根据概率公式解答即可．
本题考查了概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率，难度适中．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
观察代数式的特点，先提取公因式，然后再用公式法．
本题考查因式分解的定义以及因式分解的方法，需注意的是因式分解需将代数式分解彻底．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可．
【解答】
解：点是线段上靠近点的黄金分割点，米，
米，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：把代入得：，
则，
根据图象可得不等式的解集是，
故答案为：．
首先把代入可得的值，进而得到点坐标，然后再利用图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是能根据函数图象得到正确信息．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，，
，
，故正确，
，
，
，故错误，
设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，
四边形的面积为，的面积为，
：：故正确，
故答案为：．
根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的加法，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
 

18.【答案】解：设月份该汽车行销售型号新能源车辆，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：月份该汽车行销售型号新能源车辆． 

【解析】设月份该汽车行销售型号新能源车辆，根据月份该型号新能源车每辆售价比上月降低了万元可得：，即可解得答案．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
 

19.【答案】     

【解析】解：此次抽样调查的人数为：人，
故答案为：．
接种类疫苗的人数的百分比为：，
，
人，
故答案为：，；
，
答：该小区所居住的名居民中有人进行了新冠疫苗接种，
由类的人数除以所占百分比即可求解；
由接种类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数再乘，即可求出，用总人数减去接种、、的人数即可求出；
总数乘百分比即可得答案．
此题考查的是条形统计图和扇形统计图．解题时要注意两图结合使用．
 

20.【答案】 

【解析】解：吉祥物“冰墩墩”放在区域的概率是；
故答案为：；

根据题意画图如下：

关于种等可能的情况数，其中吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的种，
则吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率是．
直接根据概率公式求解即可；
画出树状图，共有个等可能的结果，其中吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：由题意得：
，
米，米，
米，
在中，米，
米秒，
无人机飞行的速度约为米秒；
过点作，垂足为，

则，米，
在中，，
米，
米，米，
米，
米，
河宽的距离为米． 

【解析】根据题意可得：，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再的结论求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
解：，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，，
，
． 

【解析】由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
由勾股定理求出，设，则，得出，求出，由勾股定理可得出答案．
本题考查了切线的判定，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．
 

23.【答案】解：设与之间的函数表达式为，
根据题意，得，
解得：，
与的函数表达式为；
故答案为：；
设每周可获得利润为元，
由题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为，
当每件售价为元时，周销售利润最大，最大利润为元；
根据题意得，，
，对称轴为，
时，随的增大而减小，
当销售价格大于元件时，每周的利润随售价的增大而减小，
，
解得，
的取值范围为，
故答案为：． 

【解析】根据表中数据可以求出每件进价；设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
根据总利润单件利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
列出函数关系式，由二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，列出函数关系式．
 

24.【答案】解：菱形∽菱形，
，
四边形是菱形，四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
；
仍然成立，理由如下：
由得：，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
如图，

数量关系是：，位置关系是：，理由如下：
延长，，交于点，
由得：≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
即． 

【解析】证明≌，从而得出；
由得出，进而证明≌，从而得出；
由得≌，从而得出，，进一步求得位置关系．
本题考查了菱形和正方形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．
 

25.【答案】解：由题意得，
，
，
，
由得，
，舍去，
；
如图，

作于，交于，
，
，
∽，
，
，，
直线的关系式是：，
设，，
，
，点与点关于轴对称，
，
，
当时，；
如图，

以为底作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作圆，交轴于，
设点，
，
，
，，，
，
，舍去，
，
由对称性可得：，
综上所述：或． 

【解析】将，两点坐标代入抛物线的函数表达式求得，，进而抛物线函数表达式，根据抛物线对称性或令，进而求得结果；
作于，交于，设出点和点坐标，表示出的长，根据∽列出比例式，进而配方，进一步求得结果；
可先求在轴正半轴时：以为底作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作圆，交轴于，设点，由列出方程求得的值，从而求得坐标，根据对称性求得再轴负半轴的情形．
本题考查了二次函数及其图象性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，等腰直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”模型．