2021届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末考试数学试题 PDF版

2020－2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题答案

数   学

一、选择题：

AABD   CDCC 

二、多选题：

ABD     CD    BC   AC

二、填空题：

13. 3       14.  16     15.         16.  ①②③

三、解答题：

 17．（本小题满分10分）

【解析】

（Ⅰ）∵向量，，

由此可得函数，…………………………3分

又∵，得

，即的取值范围是；         …………………………5分

（Ⅱ）∵函数，（B），

又∵，，可得．              …………………………6分

∵，

根据正弦定理，可得，

由得，所以，                               …………………………8分

因此，

可得是以为直角顶点的直角三角形，

的面积．                    …………………………10分

18．（本小题满分12分）

【解析】

 （Ⅰ）当时，，解得．                  …………………………2分

因为，①

所以当时，，②

①-②得，，所以．             …………………………4分

故数列是首项为1，公比为2的等比数列，

其通项公式为                                     …………………………6分

（Ⅱ）由题知，，                              …………………………7分

所以，③

，④

③-④得，

．                    …………………………10分

所以．                                         …………………………12分

19．（本小题满分12分）

【解析】

（Ⅰ）在图①中，连接，如图所示：

因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.

因为为的中点，所以，.

又，所以.

在图②中，，所以，即.    …………………………3分

因为，所以，.

又，，平面.所以平面.   …………………………5分

又平面，所以平面平面.                …………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

因为，，平面.

所以平面.

以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，.

因为为的中点，所以.

所以，.

设平面的一个法向量为，

由得.

令，得，，所以.      …………………………8分

设平面的一个法向量为.

因为，

由得

令，得                                 …………………………10分

则，           …………………………11分

又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ……………………12分

20．（本小题满分12分）

【解析】

（Ⅰ）由题意知，解得，……2分

样本平均数为元.

……………………………4分

（Ⅱ）由题意，从，中抽取7人，从，中抽取3人，

随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.

，1，2，3）                      ……………………………6分

所以随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望          ……………………8分

（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下列联表：

……………………………10分

，

所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与性别有关.    ……………………………12分

21．（本小题满分12分）

【解析】

（Ⅰ）由题意可知，，∴，

又，，∴，∴椭圆的方程为.   ……………………4分

（Ⅱ）∵，∴四边形为平行四边形，

假设存在使得，则四边形为矩形，

∴，                                   ………………………………………6分

若的斜率不存在，直线的方程为，由得，，

∴，不合题意，故的斜率存在.

设的方程是，，，

由得.

∴，，①               ………………………………………8分

∴.②

由，得，

把①，②代入得.                            ………………………………………10分

∴存在直线或使得.……………………………………12分

22．（本小题满分12分）

【解析】

（Ⅰ）由，得，∴.

由已知可得：，即，∴，.          …………………2分

（Ⅱ），

∴.                        ……………3分

当，即时，，在上为增函数，无极值点. ……………4分

当，即时，则有：当时，，当时，，

∴在为减函数，在上为增函数，

∴是极小值点，无极大值点；

综上可知：当时，函数无极值点，

当时，函数的极小值点是，无极大值点.          …………………………5分

（Ⅲ），

由题意知：当时，恒成立，

又不等式等价于：，即，

即①，①式等价于，                    ………………………7分

由知，，.

令，则原不等式即为：，

又在上为增函数，所以，原不等式等价于：②，

又②式等价于，即：.     ……………………………………………9分

设，，∴在上为增函数，在上为减函数，

又，∴当时，在上为增函数，在上为减函数，

∴.要使原不等式恒成立，须使，        …………………………10分

当时，则在上为减函数，，

要使原不等式恒成立，须使，∴时，原不等式恒成立    …………………………11分

综上可知：a的取值范围是，a的最小值为.            …………………………12分

答案说明：以上解答题答案不唯一，正解同样得分。