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2022年九年级中考二轮总复习·数学 专题五 阅读理解型问题 课件
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这是一份2022年九年级中考二轮总复习·数学 专题五 阅读理解型问题 课件，共60页。PPT课件主要包含了题型呈现，解题策略，对应训练，没考虑a2－b20，分式的基本性质用错，-1＜x＜3，logaMN，∴CFPD+PE，∵ABAC，∴CGPE等内容，欢迎下载使用。
阅读理解型问题是近几年新出现的一种新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识. 此类题目能帮助考生实现从模仿到创造 的思维过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一.
这类问题是以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等. 解答这类问题时，要善于挖掘定义的内涵和本质，要能够用旧知识对新定义进行合理解释，进而将陌生的定义转化为熟悉的旧知识去理解和解答.注意要与范例进行比较，防止出错.
考点1 新定义型
【例】 先阅读一段文字，再回答下列问题：已知平面内两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2），其两点间的距离公式为 同时当两点所在直线在坐标轴上或平行于坐标轴，两点间的距离公式可化简成
（1）已知A（3,5）、B（-2，-1），求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，求A、B两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0,6）、B（3，0）、C（3,12），你能确定此三角形的形状吗？ 说明理由.
该三角形为等腰三角形.
∴该三角形为等腰三角形.
2．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A＋B . 若A＝{－2，0，1，5，7}，B＝{－3，0，1，3，5}，则A＋B＝ ．
{ －3，-2，0，1，3，5，7 }
3．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1．例如序列S0：(4，2，3，4，2)，通过变换可生成新序列S1：(2，2，1，2，2)，若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是( )A．(1，2，1，2，2) B．(2，2，2，3，3) C．(1，1，2，2，3) D．(1，2，1，1，2)
A． ∵2有3个 ∴不可以作为S1 故A选项错误
B． ∵2有3个 ∴不可以作为S1 故B选项错误
C． ∵3只有1个 ∴不可以作为S1 故C选项错误
D. 符合定义的一种变换 故D选项错误
4．我们规定：当k、b为常数，k ≠ 0，b ≠ 0，k ≠ b时，一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数， 例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4，一次函数y=kx+2图象与它的交换函数图象的交点横坐标 为 .
一次函数y=kx+2的交换函数为y=2x+k
∵ k ≠ b , b=2
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
过点B作BD⊥AC于点 D，
探究提高 本题先给出一组算式，要求在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后研究得出结论并应用.
当x ≠ 0时，y=2 ⊕ x
由题意得2x－(3－x)＞0
去括号得2x－3＋x＞0
移项合并同类项，得3x＞3
把x的系数化为1，得x＞1
8. 阅读理解： 如图①，在平面内选定一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用： 在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）
如图，设正六边形的中心为P，连接PA
∵∠APO=360°÷6=60°，OP=AP
∴△AOP是等边三角形
∴OP=OA=2，∠AOP=60°
∴OC=2OP=2×2=4
9.请先阅读下列文字，然后解答： 初中数学课本有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零，”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑他们的差就可以了．
问题： 甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单位不相同)，甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮食用去100元．
（1）设第一、第二次购买粮食单价分别为x元/千克和y元/千克，用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 千克粮食．
（100x+100y）
若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q1元，乙两次购买粮食的平均单价为千克Q2元，则Q1＝ ，Q2＝ ．
（2）若规定：谁两次购买粮食的平均单价低，谁购买粮食的方式就更合算，请你判断甲、乙两人购买 粮食的方式哪一个更合算，并说明理由．
又∵x＞0，y＞0，且x≠y
∴乙的购粮方式更合算.
又∵a＞b＞0，c＞0
10.你会挑西瓜吗?通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱就越多。因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形(其半径为R)，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为 ，（其中R为球的半径）。
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？
（3）你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？为什么？
∵西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是
11．定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.
① 求证：△BCE是等边三角形；
② 求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
解： （1）正方形、矩形、直角梯形均可.（答案不唯一）
由旋转可知△ABC≌△DBE
∴△BCE是等边三角形
∴∠BCE＝60°， BC＝CE
∵ △BCE是等边三角形
在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2
∴DC2＋BC2＝AC2
12. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对多项式x4-y4，因式分解的结果是（x-y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x-y）=0，（x+y）=18，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： .（写出一个即可）
=x［（ 2x）2 -y2］
=x(2x+y)(2x-y)
取x=10，y=10时，
这类问题是以学生学习过程中容易出现的错误认识以及解题误区为内容的数学情景,“刻意”地制造迷惑，使得解答过程似是而非.要求考生辨别正误,找出错因,做出正确解答的纠错型试题.在近两年中考数学试卷中已频频出现. 解答时必须要认真读题，仔细审题，在“细”字上下功夫，通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握，运用其进行是非辨别．
考点2 正误辨析型
已知a为实数，化简 .
1. 阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4 ，试判断△ABC的 形状. 解： ∵ a2c2－b2c2=a4－b4 ① ∴c2 （a2－b2）=（ a2+b2 ）（ a2－b2 ） ② ∴c2 =a2+b2 ③ ∴ △ABC 是直角三角形 ④ 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号： ； （2）错误的原因为： ； （3）本题正确的结论为： .
△ABC 是直角三角形 或等腰三角形
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程.
3.下面是数学课堂的一个学习片段.阅读后，请回答下面的问题： 学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰△ABC中， ∠A=30°. 请你求出其余两角的度数 .”同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余 两个角是30°和120°”；王华同学说：“其余两个角是75°和75°”，还有一些同学也提出了不同的看法.
（1）假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
（1）上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两个角是75°和75°或30°和120°.
当∠A为顶角时，∠B、∠C均为底角
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=30°
∴ ∠B=∠C=75°
∴其余两个角是75°和75°
当∠A为底角时，∠B、∠C一个为底角，一个为顶角.
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴其余两个角是30°和120°
不妨假设∠B为底角，则∠B=∠A=30°
综上所述，其余两个角是75°和75°或30°和120°.
（2）答案不唯一. 如“考虑问题要全面”或“等腰三角形遇角需分类”等能体现分类讨论思想的语句就可以.
考点3 解题示范、新知模仿型
这类问题以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧，再以思路技巧为载体设置类似的问题。 解决这类问题的常用方法是从范例中理解和把握例题解法的思想策略，“模拟”此方法和规律解答类似相关问题.即类比、模仿和转化。
【例】先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)；也可以mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋my)＋(nx＋ny)＝m(x＋y)＋n(x＋y)＝(m＋n)(x＋y)．以上分解因式的方法称为分组分解法，请用分组分解法分解因式：a3－b3＋a2b－ab2.
原式＝a3＋a2b－(b3＋ab2)
＝a2(a＋b)－b2(a＋b)
＝(a＋b)(a2－b2)
＝(a＋b)2(a－b)
原式＝(a3-ab2) ＋（a2b－b3）
＝a（a2－b2 ）+b（a2－b2 ）
＝(a2－b2) (a＋b)
原式=（a3－b3）＋（a2b－ab2）
=（a-b）(a2 ＋ab+b2 ) ＋ab(a－b)
=（a-b）(a2 ＋ab+b2 ＋ab)
＝(a－b)(a＋b)2
【点悟】 本题考查了多项式的分解因式，阅读材料之后弄清题中的分组分解法是解本题的关键．
3. 阅读理解： “解方程x4－6x2+5=0” . 这是一个一元四次方程 ，根据该方程的特点，它的解法通常是： 解：设 x2=y，那么 x4=y2 ，于是原方程可变为y2 -6y+5=0 ······ ①， 解这个方程得 y1=1， y2=5. 当y=1时， x2=1， ∴x= ± 1； 当y=5时， x2=5， 所以原方程有四个根：x1=1，x2=-1， 问：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了转化 的数学思想. （2）解方程（x2-x）2 – 4( x2-x )-12=0时，若设y= x2-x ， 则原方程可化为： .
y2 -4y-12=0
4. 先阅读下面一段文字，然后解答各题． 通过本节课的学习，我们已经会对某些形如x2＋px＋q型二次三项式进行因式分解， 此类多项式的特点是二次项的系数为1，如二次项的系数不为1，比如 多项式3x2＋11x＋10又如何分解呢? 我们知道(x＋2)(3x＋5)＝3x2＋11x＋10．反过来，就得到3x2＋11x＋10的因式分解的形式， 即3x2＋11x＋10＝(x＋2)(3x＋5)．
请用十字相乘法将下列各式分解因式：（1）2x2－7x＋3； （2）3a2－8a＋4； （3）6y2－11y－10； (4)5a2b2＋23ab－10．
原式=（2x-1）（x-3）
原式=（3a-2）（a-2）
原式=（3y+2）（2y-5）
原式=（ab+5）（5ab-2）
5. 根据有理数乘法（除法）法则可知：
根据上述知识，求不等式（x-2）(x+3) ＞0的解集.
由（1）得，x ＞2；由（2）得，x ＜ -3.
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式（x-3）(x+1)＜0的解集为 .
由①得，无解；由②得，-1＜x ＜ 3.
∴原不等式的解集为x ＞2或x ＜ -3.
∴原不等式的解集为-1＜ x ＜ 3.
∴原不等式的解集为x ＞1或x ＜ - 4 .
由①得，x ＞1；由②得，x ＜ - 4.
（1）请你写出方程2x+y=5的一组正整数解： ；
x-2=1或2或3或6
相应地，x=3或4或5或8
答：有两种购买方案：①购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支； ②购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支。
（3）九年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品， 共花费35元，问有几种购买方案，试确定。
设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支
则根据题意得：3m+5n=35（其中m、n均为正整数）
∵ m、n均为正整数
∴当m=5时，n=4；当m=10时，n=1.
7.探究问题：（1）方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF. 求证：DE+BF=EF.感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得AG＝AE，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°， ∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，∴点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°. ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°，即∠GAF＝∠ ．又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌ ， ∴ ____＝EF，故DE＋BF＝EF.
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
△ABC ≌ △ADC
∴ ∠ABC＝∠D＝90°且AB=AD
由旋转可得AG＝AE，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，
∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°
∴点G，B，F在同一条直线上
∴ ∠GAF＝∠EAF
又∵AG＝AE，AF＝AF
∴△GAF≌ △EAF(SAS)
猜想当∠ABC+∠D=180°时，DE+BF=EF.
考点4 迁移探索与拓展应用型
这类问题就是阅读新问题，并运用新知识探究问题和解决问题. 解这类问题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决.
（1）计算以下各对数的值：lg24＝________，lg216＝________，lg264＝________；
（2）观察（1）中的三个数4、16、64之间满足怎样的关系式？ lg24、lg216、lg264之间又满足怎样的关系式？
① 4 ×16=64
② lg24 + lg216 = lg264
（3）由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ lgaM＋lgaN＝ (a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．根据幂的运算法则：an·am＝an+m以及对数的含义，说明上述结论成立的理由．
设lgaM＝m, lgaN＝n
则am＝M， an＝N
∴ am·an ＝M · N
∵ am·an＝am+n
∴根据对数的含义得lgaMN=m+n
故 lgaM＋lgaN＝ lgaMN
【问题情境】 张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题： 如图① ，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别为 D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F． 求证：PD+PE=CF．
小军的证明思路是：如图② ，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②
∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC
∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°
∴四边形PDFG是矩形
∵四边形PDFG是矩形
∴△PGC≌△CEP（AAS）
∴CF=CG+FG=PE+PD
【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE＝CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题：
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB
且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP
过点C作CG⊥DP，垂足为G
∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP
∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°
∴四边形GDFC是矩形
∵PE⊥AC，CG⊥DP
∴∠CEP =∠CGP =90°
∵四边形GDFC是矩形
∴△PGC≌△PEC（AAS）
∴CF=DG=PD-PG=PD-PE
【结论运用】 如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点， 过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
过点E作EQ⊥BC，垂足为Q
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°
∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5
由折叠可得：BE=DE，∠BEF=∠DEF
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°
∴四边形EQCD是矩形
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ
∵AD∥BC且ED=BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形
延长AD、BC交于点F
∵AD•CE=DE•BC
∵ED⊥AD，EC⊥CB
∴∠ADE=∠BCE=90°
由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH
则AH=AD+DH=（3+x）dm
∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2
∴BH2=BD2﹣DH2=37﹣1=36
∵∠ADE=∠BCE=90°
且M、N分别为AE、BE的中点
过点B作BH⊥AF，垂足为H．
阅读理解题要仔细阅读信息，然后将信息转化为数学问题，感悟数学思想和方法，形成科学的思维方式和思维策略，进而解决问题.
题型一：应用型（阅读—理解—建模—应用）
要灵活转化内容，用自己的语言来理解定义或定理等.
如图是分式 方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程
根据以上信息，解答下列问题．（1）冰冰同学所列方程中的x表示 ， 庆庆同学所列方程中的y表示 ；
15.3 分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米.求甲队每天修路的长度.
∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程
∴x表示甲队每天修路的长度
∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间
甲队修路400米所需时间
（2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；
庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米．
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
答：甲队每天修路的长度为40米．
去分母，得：400x+8000=600x
移项，x的系数化为1，得：x=40
检验：当x=40时，x、x+20均不为零，∴x=40．
去分母，得：600﹣400=20y
将y的系数化为1，得：y=10
检验：当y=10时，分母y不为0，∴y=10
探究提高 在看懂过程的同时注重其蕴含的数学思想方法，并应用材料所提供的方法去解决相关的问题.
题型二：猜想型（阅读—理解—归纳—验证）
要理解所提供的材料，通过操作、观察、猜想、发现等探究过程，遵循“特殊—一般—特殊”的认识规律.
1. 阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20012002和20022001的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n≥1且为整数）.然后，从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.
（1）通过计算，比较下列①～ ④各组两个数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）
① 12 21 ；
② 23 32 ；
③ 34 43 ；
④ 45 54 .
（2）从第（1）小题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是 .
∴ n ≤ 2时，nn+1 ＜ （n+1）n；
n ＞ 2时，nn+1 ＞ （n+1）n.
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20012002 20022001. （在横线上填“＞”“＜”或“=”）
探究提高 在仔细阅读之后，正确理解题意，理解其中的内容、方法和思想，阅读特殊范例，推出一般结论.
2. 如图，在矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在 NP、PQ、QM、MN上，若∠1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ 的反射四边形.
（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射 四边形EFGH．（图2、图3、图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8.）
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？
综上，猜想矩形ABCD的反射四边形的周长为定值.
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的 启发证明（2）中的猜想．
（1）作图如下：（2分）
延长GH交CB的延长线于点N．
∵∠1=∠2，∠1=∠5
∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）
∵矩形ABCD中，∠BCD=90°
∴ ∠DCM=180°-∠BCD=90°
∴ ∠FCE=∠FCM=90°
∴EF=MF，EC=MC
同理：NH=EH，NB=EB
∵∠M=90°-∠5=90°-∠1，∠N=90°-∠3
过点G作GK⊥BC于K，
题型三：概括型（阅读—理解—概括—表达）
要充分挖掘材料的内涵和实质，整体获得知识，提高认识水平，同时要注重对信息的加工和提炼.
阅读理解：如图①，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？______（填“是”或“不是”）．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
故∠BAC是△ABC的好角.
由折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1
∵∠AA1B1＝∠A1B1C＋∠C， ∠AA1B1＝∠B＝2∠C，
即第二次折叠后，点B1与点C重合.
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C；
如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．因此，经过三次折叠，若∠BAC是△ABC的好角，则∠B=3∠C.
∵由折叠的性质知∠B=∠AA1B1，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∠C=∠A2B2C
∴根据三角形的外角定理知 ∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C
∠AA1B1=∠C+∠A1B1C= ∠C+ 2∠C= 3∠C
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C） 之间的等量关系为 ．
由小丽展示的情形可知：
当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
∴ 如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4 ° 、172 ° ；8 ° 、168 ° ；16 ° 、160 ° ；44 ° 、132 ° ；88°、88°．
设这个三角形为△ABC，且∠A=4°，∠B＜∠C
∴∠C=m∠B=4mn°
（其中m、n均为正整数）
∴4+4n+4mn=180
化简得n（1+m）=44
而1 × 44=2 × 22=4 × 11=44
【点悟】在阅读理解后，需要总结解题思路和方法，应用所得的结论解答新的问题．
题型四：探究型（阅读—理解—尝试—探究）
此类问题，常常是事先给出一个试验背景，但在试验背景中却蕴含某种变化规律或不变性的结论或数学思想等等，答题者通过对试验的阅读与操作要归纳、猜想出背景所蕴含的规律或结论.
1. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
②作线段AB的中点O；
③以点O为圆心，AB为半径画圆；
④在圆O上任取一点C（点D、E除外），连接AC、BC.
∴△ABC是所求作的三角形 .
如图，取AC的中点D，连接BD
如图，取BC的中点D，连接AD
在 Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ．
①如图，AD是BC边上的中线，AD=BC．
考点：1.解直角三角形；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理；4.分类思想的应用．
设BD=DC=x，则AD=BC=2x．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°
②如图，BD是AC边上的中线，BD=AC．
设AD=DC=x，则BD=AC=2x．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°
如图，Rt△ABC中，BC＜AC＜AB，∠C=90°，当△ABC是“好玩三角形”时，求BC：AC：AB的值；
由题意可知，只能是AC边上的中线BD=AC．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P、Q从点A同时出发，以相同速度分别 沿折线AB—BC和AD—DC向终点C运动，记点P经过的路程为s.
∵当β=45°时，∠ABC=2β=90°
∴菱形ABCD是正方形
当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”.
当点P在BC上时，连接AC交PQ于点E.
易知，△PCQ、 △PCE、 △QCE均为等腰直角三角形.
（Ⅰ）当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，
设PE=QE=CE=x，
则AE=PQ=2x , AC=AE+EC=2x+x=3x
（ Ⅱ ）当腰AP与它的中线QM相等，即AP=AQ=QM时，作QN ⊥ AP于N，
如图3，则点N为AM的中点
②当tanβ的取值在什么范围内，点P、Q在运动过程中有且只有一个△APQ能成为 “好玩三角形”， 请直接写出tanβ的取值范围；
由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”
（4）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P、Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩 三角形’的个数 关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）.
2. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念 .
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的准外心 .
举例：如图 ①，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心 .
∴有三种情况：PA=PB或PA=PC或PB=PC
∵ CD为等边三角形ABC的高
∴ △ADP、 △BDP均为等腰直角三角形
∴ ∠APD=∠BPD=45°
∴ ∠ACB=60°，且CD平分∠ACB
∴ ∠ACD=∠BCD=30°
∴ ∠PAC=∠ACP=30°
∴ ∠APD=∠PAC+∠ACP=60°
又∵在Rt△ADP中， ∠ADP=90°
综上所述，∠APB=90°.
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长 .
则 PB=PC=4-x
∴ PA=PB这种情况不可能.
∵在Rt△ABP中， ∠A=90°
∵在Rt△ABC中， ∠A=90°
∴PA2+AB2=PB2
∴x2+32=(4-x)2
【点悟】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，读懂题意，在仔细阅读之后弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．
3. 若抛物线L：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，abc≠0)与直线 l 都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时，直线 l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线 l 的“路线”.
（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系，求m、n的值；
∴ 抛物线y=x2-2x+1
其顶点坐标为（1,0）
将（1,0）代入 y=mx+1，
∴ m=-1 , n=1
若抛物线L：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，abc≠0)与直线 l 都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时，直线 l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线 l 的“路线”.
（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y=2x-4， 求此“路线”L 的解析式；
∴ y=a（x+1）2-6或y=a（x-3）2+2
由题意知设“路线”L 的解析式为y=a（x-h）2+k（a≠0）
又∵ “路线”L 过点（0,-4）
（3）当常数k满足 时，求抛物线L：y=ax2 +（3k2-2k+1）x+k的“带线”l 与x轴、y 轴所围成的三角形面积的取值范围 .
设它的“带线”l 的解析式为y=mx+k（m ≠ 0）
将点Q的坐标代入 ，可得
设b=3k2-2k+1，
则抛物线 L 为y=ax2 +bx+k
设它与x轴的交点为点M，
∴“带线”l 与x轴、y 轴所围成的三角形面积为
阅读理解型问题是近几年新出现的一种新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识. 此类题目能帮助考生实现从模仿到创造 的思维过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一.
这类问题是以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等. 解答这类问题时，要善于挖掘定义的内涵和本质，要能够用旧知识对新定义进行合理解释，进而将陌生的定义转化为熟悉的旧知识去理解和解答.注意要与范例进行比较，防止出错.
考点1 新定义型
【例】 先阅读一段文字，再回答下列问题：已知平面内两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2），其两点间的距离公式为 同时当两点所在直线在坐标轴上或平行于坐标轴，两点间的距离公式可化简成
（1）已知A（3,5）、B（-2，-1），求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，求A、B两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0,6）、B（3，0）、C（3,12），你能确定此三角形的形状吗？ 说明理由.
该三角形为等腰三角形.
∴该三角形为等腰三角形.
2．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A＝{1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A＋B . 若A＝{－2，0，1，5，7}，B＝{－3，0，1，3，5}，则A＋B＝ ．
{ －3，-2，0，1，3，5，7 }
3．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1．例如序列S0：(4，2，3，4，2)，通过变换可生成新序列S1：(2，2，1，2，2)，若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是( )A．(1，2，1，2，2) B．(2，2，2，3，3) C．(1，1，2，2，3) D．(1，2，1，1，2)
A． ∵2有3个 ∴不可以作为S1 故A选项错误
B． ∵2有3个 ∴不可以作为S1 故B选项错误
C． ∵3只有1个 ∴不可以作为S1 故C选项错误
D. 符合定义的一种变换 故D选项错误
4．我们规定：当k、b为常数，k ≠ 0，b ≠ 0，k ≠ b时，一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数， 例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4，一次函数y=kx+2图象与它的交换函数图象的交点横坐标 为 .
一次函数y=kx+2的交换函数为y=2x+k
∵ k ≠ b , b=2
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
过点B作BD⊥AC于点 D，
探究提高 本题先给出一组算式，要求在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后研究得出结论并应用.
当x ≠ 0时，y=2 ⊕ x
由题意得2x－(3－x)＞0
去括号得2x－3＋x＞0
移项合并同类项，得3x＞3
把x的系数化为1，得x＞1
8. 阅读理解： 如图①，在平面内选定一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用： 在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）
如图，设正六边形的中心为P，连接PA
∵∠APO=360°÷6=60°，OP=AP
∴△AOP是等边三角形
∴OP=OA=2，∠AOP=60°
∴OC=2OP=2×2=4
9.请先阅读下列文字，然后解答： 初中数学课本有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零，”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑他们的差就可以了．
问题： 甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单位不相同)，甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮食用去100元．
（1）设第一、第二次购买粮食单价分别为x元/千克和y元/千克，用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 千克粮食．
（100x+100y）
若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q1元，乙两次购买粮食的平均单价为千克Q2元，则Q1＝ ，Q2＝ ．
（2）若规定：谁两次购买粮食的平均单价低，谁购买粮食的方式就更合算，请你判断甲、乙两人购买 粮食的方式哪一个更合算，并说明理由．
又∵x＞0，y＞0，且x≠y
∴乙的购粮方式更合算.
又∵a＞b＞0，c＞0
10.你会挑西瓜吗?通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱就越多。因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形(其半径为R)，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为 ，（其中R为球的半径）。
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？
（3）你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？为什么？
∵西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是
11．定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.
① 求证：△BCE是等边三角形；
② 求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
解： （1）正方形、矩形、直角梯形均可.（答案不唯一）
由旋转可知△ABC≌△DBE
∴△BCE是等边三角形
∴∠BCE＝60°， BC＝CE
∵ △BCE是等边三角形
在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2
∴DC2＋BC2＝AC2
12. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对多项式x4-y4，因式分解的结果是（x-y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x-y）=0，（x+y）=18，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： .（写出一个即可）
=x［（ 2x）2 -y2］
=x(2x+y)(2x-y)
取x=10，y=10时，
这类问题是以学生学习过程中容易出现的错误认识以及解题误区为内容的数学情景,“刻意”地制造迷惑，使得解答过程似是而非.要求考生辨别正误,找出错因,做出正确解答的纠错型试题.在近两年中考数学试卷中已频频出现. 解答时必须要认真读题，仔细审题，在“细”字上下功夫，通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握，运用其进行是非辨别．
考点2 正误辨析型
已知a为实数，化简 .
1. 阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4 ，试判断△ABC的 形状. 解： ∵ a2c2－b2c2=a4－b4 ① ∴c2 （a2－b2）=（ a2+b2 ）（ a2－b2 ） ② ∴c2 =a2+b2 ③ ∴ △ABC 是直角三角形 ④ 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号： ； （2）错误的原因为： ； （3）本题正确的结论为： .
△ABC 是直角三角形 或等腰三角形
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程.
3.下面是数学课堂的一个学习片段.阅读后，请回答下面的问题： 学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰△ABC中， ∠A=30°. 请你求出其余两角的度数 .”同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余 两个角是30°和120°”；王华同学说：“其余两个角是75°和75°”，还有一些同学也提出了不同的看法.
（1）假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
（1）上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两个角是75°和75°或30°和120°.
当∠A为顶角时，∠B、∠C均为底角
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=30°
∴ ∠B=∠C=75°
∴其余两个角是75°和75°
当∠A为底角时，∠B、∠C一个为底角，一个为顶角.
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴其余两个角是30°和120°
不妨假设∠B为底角，则∠B=∠A=30°
综上所述，其余两个角是75°和75°或30°和120°.
（2）答案不唯一. 如“考虑问题要全面”或“等腰三角形遇角需分类”等能体现分类讨论思想的语句就可以.
考点3 解题示范、新知模仿型
这类问题以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧，再以思路技巧为载体设置类似的问题。 解决这类问题的常用方法是从范例中理解和把握例题解法的思想策略，“模拟”此方法和规律解答类似相关问题.即类比、模仿和转化。
【例】先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)；也可以mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋my)＋(nx＋ny)＝m(x＋y)＋n(x＋y)＝(m＋n)(x＋y)．以上分解因式的方法称为分组分解法，请用分组分解法分解因式：a3－b3＋a2b－ab2.
原式＝a3＋a2b－(b3＋ab2)
＝a2(a＋b)－b2(a＋b)
＝(a＋b)(a2－b2)
＝(a＋b)2(a－b)
原式＝(a3-ab2) ＋（a2b－b3）
＝a（a2－b2 ）+b（a2－b2 ）
＝(a2－b2) (a＋b)
原式=（a3－b3）＋（a2b－ab2）
=（a-b）(a2 ＋ab+b2 ) ＋ab(a－b)
=（a-b）(a2 ＋ab+b2 ＋ab)
＝(a－b)(a＋b)2
【点悟】 本题考查了多项式的分解因式，阅读材料之后弄清题中的分组分解法是解本题的关键．
3. 阅读理解： “解方程x4－6x2+5=0” . 这是一个一元四次方程 ，根据该方程的特点，它的解法通常是： 解：设 x2=y，那么 x4=y2 ，于是原方程可变为y2 -6y+5=0 ······ ①， 解这个方程得 y1=1， y2=5. 当y=1时， x2=1， ∴x= ± 1； 当y=5时， x2=5， 所以原方程有四个根：x1=1，x2=-1， 问：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了转化 的数学思想. （2）解方程（x2-x）2 – 4( x2-x )-12=0时，若设y= x2-x ， 则原方程可化为： .
y2 -4y-12=0
4. 先阅读下面一段文字，然后解答各题． 通过本节课的学习，我们已经会对某些形如x2＋px＋q型二次三项式进行因式分解， 此类多项式的特点是二次项的系数为1，如二次项的系数不为1，比如 多项式3x2＋11x＋10又如何分解呢? 我们知道(x＋2)(3x＋5)＝3x2＋11x＋10．反过来，就得到3x2＋11x＋10的因式分解的形式， 即3x2＋11x＋10＝(x＋2)(3x＋5)．
请用十字相乘法将下列各式分解因式：（1）2x2－7x＋3； （2）3a2－8a＋4； （3）6y2－11y－10； (4)5a2b2＋23ab－10．
原式=（2x-1）（x-3）
原式=（3a-2）（a-2）
原式=（3y+2）（2y-5）
原式=（ab+5）（5ab-2）
5. 根据有理数乘法（除法）法则可知：
根据上述知识，求不等式（x-2）(x+3) ＞0的解集.
由（1）得，x ＞2；由（2）得，x ＜ -3.
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式（x-3）(x+1)＜0的解集为 .
由①得，无解；由②得，-1＜x ＜ 3.
∴原不等式的解集为x ＞2或x ＜ -3.
∴原不等式的解集为-1＜ x ＜ 3.
∴原不等式的解集为x ＞1或x ＜ - 4 .
由①得，x ＞1；由②得，x ＜ - 4.
（1）请你写出方程2x+y=5的一组正整数解： ；
x-2=1或2或3或6
相应地，x=3或4或5或8
答：有两种购买方案：①购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支； ②购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支。
（3）九年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品， 共花费35元，问有几种购买方案，试确定。
设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支
则根据题意得：3m+5n=35（其中m、n均为正整数）
∵ m、n均为正整数
∴当m=5时，n=4；当m=10时，n=1.
7.探究问题：（1）方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF. 求证：DE+BF=EF.感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得AG＝AE，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°， ∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，∴点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°. ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°，即∠GAF＝∠ ．又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌ ， ∴ ____＝EF，故DE＋BF＝EF.
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
△ABC ≌ △ADC
∴ ∠ABC＝∠D＝90°且AB=AD
由旋转可得AG＝AE，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，
∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°
∴点G，B，F在同一条直线上
∴ ∠GAF＝∠EAF
又∵AG＝AE，AF＝AF
∴△GAF≌ △EAF(SAS)
猜想当∠ABC+∠D=180°时，DE+BF=EF.
考点4 迁移探索与拓展应用型
这类问题就是阅读新问题，并运用新知识探究问题和解决问题. 解这类问题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决.
（1）计算以下各对数的值：lg24＝________，lg216＝________，lg264＝________；
（2）观察（1）中的三个数4、16、64之间满足怎样的关系式？ lg24、lg216、lg264之间又满足怎样的关系式？
① 4 ×16=64
② lg24 + lg216 = lg264
（3）由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ lgaM＋lgaN＝ (a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．根据幂的运算法则：an·am＝an+m以及对数的含义，说明上述结论成立的理由．
设lgaM＝m, lgaN＝n
则am＝M， an＝N
∴ am·an ＝M · N
∵ am·an＝am+n
∴根据对数的含义得lgaMN=m+n
故 lgaM＋lgaN＝ lgaMN
【问题情境】 张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题： 如图① ，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别为 D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F． 求证：PD+PE=CF．
小军的证明思路是：如图② ，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②
∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC
∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°
∴四边形PDFG是矩形
∵四边形PDFG是矩形
∴△PGC≌△CEP（AAS）
∴CF=CG+FG=PE+PD
【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE＝CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题：
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB
且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP
过点C作CG⊥DP，垂足为G
∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP
∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°
∴四边形GDFC是矩形
∵PE⊥AC，CG⊥DP
∴∠CEP =∠CGP =90°
∵四边形GDFC是矩形
∴△PGC≌△PEC（AAS）
∴CF=DG=PD-PG=PD-PE
【结论运用】 如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点， 过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
过点E作EQ⊥BC，垂足为Q
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°
∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5
由折叠可得：BE=DE，∠BEF=∠DEF
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°
∴四边形EQCD是矩形
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ
∵AD∥BC且ED=BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形
延长AD、BC交于点F
∵AD•CE=DE•BC
∵ED⊥AD，EC⊥CB
∴∠ADE=∠BCE=90°
由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH
则AH=AD+DH=（3+x）dm
∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2
∴BH2=BD2﹣DH2=37﹣1=36
∵∠ADE=∠BCE=90°
且M、N分别为AE、BE的中点
过点B作BH⊥AF，垂足为H．
阅读理解题要仔细阅读信息，然后将信息转化为数学问题，感悟数学思想和方法，形成科学的思维方式和思维策略，进而解决问题.
题型一：应用型（阅读—理解—建模—应用）
要灵活转化内容，用自己的语言来理解定义或定理等.
如图是分式 方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程
根据以上信息，解答下列问题．（1）冰冰同学所列方程中的x表示 ， 庆庆同学所列方程中的y表示 ；
15.3 分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米.求甲队每天修路的长度.
∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程
∴x表示甲队每天修路的长度
∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间
甲队修路400米所需时间
（2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；
庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米．
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
答：甲队每天修路的长度为40米．
去分母，得：400x+8000=600x
移项，x的系数化为1，得：x=40
检验：当x=40时，x、x+20均不为零，∴x=40．
去分母，得：600﹣400=20y
将y的系数化为1，得：y=10
检验：当y=10时，分母y不为0，∴y=10
探究提高 在看懂过程的同时注重其蕴含的数学思想方法，并应用材料所提供的方法去解决相关的问题.
题型二：猜想型（阅读—理解—归纳—验证）
要理解所提供的材料，通过操作、观察、猜想、发现等探究过程，遵循“特殊—一般—特殊”的认识规律.
1. 阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20012002和20022001的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n≥1且为整数）.然后，从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.
（1）通过计算，比较下列①～ ④各组两个数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）
① 12 21 ；
② 23 32 ；
③ 34 43 ；
④ 45 54 .
（2）从第（1）小题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是 .
∴ n ≤ 2时，nn+1 ＜ （n+1）n；
n ＞ 2时，nn+1 ＞ （n+1）n.
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20012002 20022001. （在横线上填“＞”“＜”或“=”）
探究提高 在仔细阅读之后，正确理解题意，理解其中的内容、方法和思想，阅读特殊范例，推出一般结论.
2. 如图，在矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在 NP、PQ、QM、MN上，若∠1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ 的反射四边形.
（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射 四边形EFGH．（图2、图3、图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8.）
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？
综上，猜想矩形ABCD的反射四边形的周长为定值.
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的 启发证明（2）中的猜想．
（1）作图如下：（2分）
延长GH交CB的延长线于点N．
∵∠1=∠2，∠1=∠5
∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）
∵矩形ABCD中，∠BCD=90°
∴ ∠DCM=180°-∠BCD=90°
∴ ∠FCE=∠FCM=90°
∴EF=MF，EC=MC
同理：NH=EH，NB=EB
∵∠M=90°-∠5=90°-∠1，∠N=90°-∠3
过点G作GK⊥BC于K，
题型三：概括型（阅读—理解—概括—表达）
要充分挖掘材料的内涵和实质，整体获得知识，提高认识水平，同时要注重对信息的加工和提炼.
阅读理解：如图①，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？______（填“是”或“不是”）．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
故∠BAC是△ABC的好角.
由折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1
∵∠AA1B1＝∠A1B1C＋∠C， ∠AA1B1＝∠B＝2∠C，
即第二次折叠后，点B1与点C重合.
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C；
如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．因此，经过三次折叠，若∠BAC是△ABC的好角，则∠B=3∠C.
∵由折叠的性质知∠B=∠AA1B1，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∠C=∠A2B2C
∴根据三角形的外角定理知 ∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C
∠AA1B1=∠C+∠A1B1C= ∠C+ 2∠C= 3∠C
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C） 之间的等量关系为 ．
由小丽展示的情形可知：
当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
∴ 如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4 ° 、172 ° ；8 ° 、168 ° ；16 ° 、160 ° ；44 ° 、132 ° ；88°、88°．
设这个三角形为△ABC，且∠A=4°，∠B＜∠C
∴∠C=m∠B=4mn°
（其中m、n均为正整数）
∴4+4n+4mn=180
化简得n（1+m）=44
而1 × 44=2 × 22=4 × 11=44
【点悟】在阅读理解后，需要总结解题思路和方法，应用所得的结论解答新的问题．
题型四：探究型（阅读—理解—尝试—探究）
此类问题，常常是事先给出一个试验背景，但在试验背景中却蕴含某种变化规律或不变性的结论或数学思想等等，答题者通过对试验的阅读与操作要归纳、猜想出背景所蕴含的规律或结论.
1. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
②作线段AB的中点O；
③以点O为圆心，AB为半径画圆；
④在圆O上任取一点C（点D、E除外），连接AC、BC.
∴△ABC是所求作的三角形 .
如图，取AC的中点D，连接BD
如图，取BC的中点D，连接AD
在 Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ．
①如图，AD是BC边上的中线，AD=BC．
考点：1.解直角三角形；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理；4.分类思想的应用．
设BD=DC=x，则AD=BC=2x．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°
②如图，BD是AC边上的中线，BD=AC．
设AD=DC=x，则BD=AC=2x．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°
如图，Rt△ABC中，BC＜AC＜AB，∠C=90°，当△ABC是“好玩三角形”时，求BC：AC：AB的值；
由题意可知，只能是AC边上的中线BD=AC．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P、Q从点A同时出发，以相同速度分别 沿折线AB—BC和AD—DC向终点C运动，记点P经过的路程为s.
∵当β=45°时，∠ABC=2β=90°
∴菱形ABCD是正方形
当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”.
当点P在BC上时，连接AC交PQ于点E.
易知，△PCQ、 △PCE、 △QCE均为等腰直角三角形.
（Ⅰ）当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，
设PE=QE=CE=x，
则AE=PQ=2x , AC=AE+EC=2x+x=3x
（ Ⅱ ）当腰AP与它的中线QM相等，即AP=AQ=QM时，作QN ⊥ AP于N，
如图3，则点N为AM的中点
②当tanβ的取值在什么范围内，点P、Q在运动过程中有且只有一个△APQ能成为 “好玩三角形”， 请直接写出tanβ的取值范围；
由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”
（4）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P、Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩 三角形’的个数 关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）.
2. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念 .
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的准外心 .
举例：如图 ①，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心 .
∴有三种情况：PA=PB或PA=PC或PB=PC
∵ CD为等边三角形ABC的高
∴ △ADP、 △BDP均为等腰直角三角形
∴ ∠APD=∠BPD=45°
∴ ∠ACB=60°，且CD平分∠ACB
∴ ∠ACD=∠BCD=30°
∴ ∠PAC=∠ACP=30°
∴ ∠APD=∠PAC+∠ACP=60°
又∵在Rt△ADP中， ∠ADP=90°
综上所述，∠APB=90°.
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长 .
则 PB=PC=4-x
∴ PA=PB这种情况不可能.
∵在Rt△ABP中， ∠A=90°
∵在Rt△ABC中， ∠A=90°
∴PA2+AB2=PB2
∴x2+32=(4-x)2
【点悟】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，读懂题意，在仔细阅读之后弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．
3. 若抛物线L：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，abc≠0)与直线 l 都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时，直线 l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线 l 的“路线”.
（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系，求m、n的值；
∴ 抛物线y=x2-2x+1
其顶点坐标为（1,0）
将（1,0）代入 y=mx+1，
∴ m=-1 , n=1
若抛物线L：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，abc≠0)与直线 l 都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时，直线 l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线 l 的“路线”.
（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y=2x-4， 求此“路线”L 的解析式；
∴ y=a（x+1）2-6或y=a（x-3）2+2
由题意知设“路线”L 的解析式为y=a（x-h）2+k（a≠0）
又∵ “路线”L 过点（0,-4）
（3）当常数k满足 时，求抛物线L：y=ax2 +（3k2-2k+1）x+k的“带线”l 与x轴、y 轴所围成的三角形面积的取值范围 .
设它的“带线”l 的解析式为y=mx+k（m ≠ 0）
将点Q的坐标代入 ，可得
设b=3k2-2k+1，
则抛物线 L 为y=ax2 +bx+k
设它与x轴的交点为点M，
∴“带线”l 与x轴、y 轴所围成的三角形面积为
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