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2022年九年级中考二轮总复习·数学 专题四 动手操作型问题课件
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这是一份2022年九年级中考二轮总复习·数学 专题四 动手操作型问题课件，共33页。PPT课件主要包含了题型呈现，解题策略，对应训练，学一法，通一片，学有道行天下，行有恒天不负等内容，欢迎下载使用。
《数学课程标准》中明确指出:有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式.所以对学生动手操作能力的考查在近两年中考中已成热点问题。 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作，动手就有希望！
运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决
运用全等、轴对称、勾股定理或相似等几何知识去解决
遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程
此类操作题常与轴对称、平移、旋转、相似或位似等变换有关，掌握图形变换的性质是解决这类题目的关键.
考点1 作图类（格点作图居多）
认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1： ；特征2： ．
（2）请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
（2）MN是AB的垂直平分线.
1. 如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线， 请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹． （1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边； （2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
（1） ∠BAC=45º ；
2. 如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．（1）画出一个面积最小的▱PAQB；（2）画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形.
3. 如图，在边长为单位1的正方形网格中，有一个格点△ABC（各个顶点都是正方形网格的格点） （1）画出△ABC关于直线 l 对称的格点△A1B1C1； （2）画出以O点为位似中心，把△ABC放大到2倍的△A2B2C2．
（1）分别找到点A，B，C各点关于直线 l 的对称点， 顺次连接即可；
（2）连接AO并延长到A2，使A20=2AO，得到点A的对应点A2， 同法得到点B、C的对应点，顺次连接即为所求图形．
点评：两图形关于某条直线对称，对应点的连线被这条直线垂直平分；位似变换的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．
（1）如图△A1B1C1即为所求.
（2）如图△A2B2C2即为所求.
4. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的 顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90° 后所得到的△A2B1C2；（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
（2）点C1所经过的路径长为：
（1）如图△A1B1C1和△A2B1C2即为所求.
考点2 剪拼类
此类操作题就是解决有关图形的裁剪和剪拼问题，关键是要分清裁剪和剪拼的区别，裁剪只包含“剪”的过程，而剪拼既包含“剪”的过程，又包含“拼”的过程，两者有着本质的区别，正确区分二者的意义是正确解决问题的关键.解决剪拼问题的突破口是剪拼前后的图形的面积不变.
如图①，BD是矩形ABCD的对角线， ∠ABD=30°，AD=1，将△ BCD沿射线BD方向平移到△ B’C’D’的位置，使B’为BD的中点，连接AB’，C’D，AD’，BC’，如图②.（1）求证：四边形AB’C’D是菱形；
∵四边形ABCD为矩形
∴ ∠BAD=90°，AD=BC且AD ∥ BC
∵ △ABD中， ∠BAD=90°， ∠ABD=30°
由平移可得B’C’ ∥ BC，B’C’=BC
∴ AD=B’C’且AD ∥ B’C’
∴ 四边形AB’C’D为平行四边形
∵ Rt△ABD中， B’为BD的中点
∴四边形AB’C’D是菱形
（2）四边形ABC’D’的周长为 ；
同（1）可得AB=C’D’且AB ∥C’D’
∴ 四边形ABC’D’为平行四边形
∵ △ABD中， ∠BAD=90°，∠ABD=30°，AD=1
由（1）可知四边形AB’C’D是菱形
∴ AB’=C’B’ 且B’D平分∠AB’C’
∴ ∠AB’D= ∠ C’B’D
∴ ∠AB’B= ∠ C’B’B
∴ △ AB’B ≌ △ C’B’B（SAS）
∴ 四边形ABC’D’为菱形
（3）将四边形ABC’D’沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形， 直接写出所有可能拼成的矩形的周长.
∵四边形ABC’D’为菱形
连接AC’，交BD’于点O
∵ ∠ADB=60°
∴ ∠DAO=30°
∴将四边形ABC’D’沿它的两条对角线剪开，得到四个含30°角的全等直角三角形
所有可能拼成的矩形的周长为
1. 如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后， 各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A． 甲、乙都可以 B． 甲、乙都不可以 C． 甲不可以、乙可以 D． 甲可以、乙不可以
2. 将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角， 展开铺平后的图形是（ ）
观察求解：由于得到的图形的中间是正方形，且顶点在原来的正方形的对角线上.
动手求解：对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
3. 如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形 （顶点在方格顶点处），请按要求将图甲，图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为 ①②③的三个三角形分别对应全等. （1）图甲中的格点正方形ABCD； （2）图乙中的格点平行四边形ABCD.
解：（1）如图甲所示. （2）如图乙所示.
4. 请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等 的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）．
沿AB的中点D和BC的中点E剪开，然后将得到的△BDE在原位置绕点D顺时针或逆时针旋转180°就可以和剩下的四边形DECA拼接成平行四边形．
5. 如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形． ( 要求：在图中画出裁剪线即可)
6. 在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1， a(a＞1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形， 又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图， 并求出a的值．
考点3 折叠类
此类操作题多以翻折类为主的，属于全等变换.即操作前后的两个图形是全等的。这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件.另外，折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质.翻折类有关线段长度的计算又多用到勾股定理.
动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5, 如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在 BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .
如图1，当P点与B点重合时，此时A’点离B点最远.
由折叠的性质得BA’=BA=3
如图2，当Q点与D点重合时，此时A’点离B点最近.
由折叠的性质得AD=A’D=5
∵∠C=90°，CD=AB=3
∴由勾股定理得A’C=4
∴A’B=BC-A’C=5-4=1
综上所述，点A’在BC边上可移动的最大距离为3-1=2.
如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
（1）四边形CEGF为菱形.
∵四边形ABCD是矩形
∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线
∵图形翻折后EC与EG完全重合
∴四边形CEGF为平行四边形
∴四边形CEGF为菱形
※易错点：证明四边形CEGF为平行四边形时用到GE∥FC.
（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．
如图1，当F与D重合时，CE取最小值.
由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°
∴∠DEC=90°-45°=45°
∴四边形CEGD是平行四边形
∴CE=CD=AB=3
∵∠ECD=90°且CE=CD
∴四边形CEGD是正方形
如图2，当G与A重合时，CE取最大值.
由折叠的性质得AE=CE
∴AE2=AB2+BE2
即CE2=32+（9﹣CE）2
综上所述，线段CE的取值范围3≤CE≤5．
本题考查了翻折变换——折叠，以及菱形的判定，线段的最值，矩形的性质，勾股定理等问题.正确的作出图形是解题的关键．
考点4 学具类
此类操作题是以三角板、直尺、量角器为载体的操作性试题.主要是从数的方面用分析的方法进行抽象思维,从形的方面进行形象思维，为学生创设了动手实践及操作设计的广阔空间,是近几年中考命题的一个热点.
（1）过A，B两点的直线解析式是 ；
设y=kx+b(k ≠ 0)
（2）当t=4时，点P的坐标为 ；当t= ，点P与点E重合；
速度：1， ，2（长度单位/s）
动点P：AO-OB-BA运动
速度： （长度单位/s）
（3）①作点P关于直线EF的对称点P′，在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
当点P在线段 AO上时，
过F作FG ⊥x 轴，G为垂足
若四边形PEP′F为菱形，则EP=FP
又∵ ∠EOP=∠FGP=90°
∴ Rt△ EOP ≌ Rt△ FGP（HL）
∴ PG=PO=3-t
∵ ∠AOB=90°，∠ABO=30°
∵ OP+PG+GA=OA
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段 BA上时，
过P作PH⊥ EF，PM⊥OB，垂足分别为H、G
∵ BP=2（t-6）
若形成的四边形PEP′F为菱形，则
综上所述，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是
②当t=2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
过Q作QH⊥ EF，垂足为H
若△FEQ∽△BEP，则
∴∠BEF=∠BOA=90°
∴ ∠OEP=∠HEQ
又∵ ∠POE=∠QHE=90°
∴ △POE∽△QHE
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q’也符合条件.
1. 将两个斜边长相等的一副三角板型纸片如图1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°， 把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D’CE’。如图2，连接D’B，则∠E’D’B的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 7.5° D .15°
∵ ∠CED=90°，∠D=30°
∴ ∠BCE’=15°
∴ ∠BCD’=45°
∴ ∠BCD’= ∠A
∵ ∠ACB=90°，∠A=45°
又∵△ACB 、△DCE斜边长相等
∴ △ CAB ≌ △ BCD’（SAS）
∴ ∠BD’ C= ∠ABC=45°
而 ∠CD’E’=∠CDE=30°
∴ ∠E’D’B=45°-30°=15°
2. 如图量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是 度.
∵ 旋转角∠ACP=3 × 24=72°
又∵ ⊙ O中∠AOE=2∠ACP
∴ ∠AOE=2 ×72°=144°
《数学课程标准》中明确指出:有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式.所以对学生动手操作能力的考查在近两年中考中已成热点问题。 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作，动手就有希望！
运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决
运用全等、轴对称、勾股定理或相似等几何知识去解决
遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程
此类操作题常与轴对称、平移、旋转、相似或位似等变换有关，掌握图形变换的性质是解决这类题目的关键.
考点1 作图类（格点作图居多）
认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1： ；特征2： ．
（2）请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
（2）MN是AB的垂直平分线.
1. 如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线， 请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹． （1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边； （2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
（1） ∠BAC=45º ；
2. 如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．（1）画出一个面积最小的▱PAQB；（2）画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形.
3. 如图，在边长为单位1的正方形网格中，有一个格点△ABC（各个顶点都是正方形网格的格点） （1）画出△ABC关于直线 l 对称的格点△A1B1C1； （2）画出以O点为位似中心，把△ABC放大到2倍的△A2B2C2．
（1）分别找到点A，B，C各点关于直线 l 的对称点， 顺次连接即可；
（2）连接AO并延长到A2，使A20=2AO，得到点A的对应点A2， 同法得到点B、C的对应点，顺次连接即为所求图形．
点评：两图形关于某条直线对称，对应点的连线被这条直线垂直平分；位似变换的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．
（1）如图△A1B1C1即为所求.
（2）如图△A2B2C2即为所求.
4. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的 顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90° 后所得到的△A2B1C2；（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
（2）点C1所经过的路径长为：
（1）如图△A1B1C1和△A2B1C2即为所求.
考点2 剪拼类
此类操作题就是解决有关图形的裁剪和剪拼问题，关键是要分清裁剪和剪拼的区别，裁剪只包含“剪”的过程，而剪拼既包含“剪”的过程，又包含“拼”的过程，两者有着本质的区别，正确区分二者的意义是正确解决问题的关键.解决剪拼问题的突破口是剪拼前后的图形的面积不变.
如图①，BD是矩形ABCD的对角线， ∠ABD=30°，AD=1，将△ BCD沿射线BD方向平移到△ B’C’D’的位置，使B’为BD的中点，连接AB’，C’D，AD’，BC’，如图②.（1）求证：四边形AB’C’D是菱形；
∵四边形ABCD为矩形
∴ ∠BAD=90°，AD=BC且AD ∥ BC
∵ △ABD中， ∠BAD=90°， ∠ABD=30°
由平移可得B’C’ ∥ BC，B’C’=BC
∴ AD=B’C’且AD ∥ B’C’
∴ 四边形AB’C’D为平行四边形
∵ Rt△ABD中， B’为BD的中点
∴四边形AB’C’D是菱形
（2）四边形ABC’D’的周长为 ；
同（1）可得AB=C’D’且AB ∥C’D’
∴ 四边形ABC’D’为平行四边形
∵ △ABD中， ∠BAD=90°，∠ABD=30°，AD=1
由（1）可知四边形AB’C’D是菱形
∴ AB’=C’B’ 且B’D平分∠AB’C’
∴ ∠AB’D= ∠ C’B’D
∴ ∠AB’B= ∠ C’B’B
∴ △ AB’B ≌ △ C’B’B（SAS）
∴ 四边形ABC’D’为菱形
（3）将四边形ABC’D’沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形， 直接写出所有可能拼成的矩形的周长.
∵四边形ABC’D’为菱形
连接AC’，交BD’于点O
∵ ∠ADB=60°
∴ ∠DAO=30°
∴将四边形ABC’D’沿它的两条对角线剪开，得到四个含30°角的全等直角三角形
所有可能拼成的矩形的周长为
1. 如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后， 各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A． 甲、乙都可以 B． 甲、乙都不可以 C． 甲不可以、乙可以 D． 甲可以、乙不可以
2. 将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角， 展开铺平后的图形是（ ）
观察求解：由于得到的图形的中间是正方形，且顶点在原来的正方形的对角线上.
动手求解：对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
3. 如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形 （顶点在方格顶点处），请按要求将图甲，图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为 ①②③的三个三角形分别对应全等. （1）图甲中的格点正方形ABCD； （2）图乙中的格点平行四边形ABCD.
解：（1）如图甲所示. （2）如图乙所示.
4. 请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等 的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）．
沿AB的中点D和BC的中点E剪开，然后将得到的△BDE在原位置绕点D顺时针或逆时针旋转180°就可以和剩下的四边形DECA拼接成平行四边形．
5. 如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形． ( 要求：在图中画出裁剪线即可)
6. 在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1， a(a＞1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形， 又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图， 并求出a的值．
考点3 折叠类
此类操作题多以翻折类为主的，属于全等变换.即操作前后的两个图形是全等的。这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件.另外，折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质.翻折类有关线段长度的计算又多用到勾股定理.
动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5, 如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在 BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .
如图1，当P点与B点重合时，此时A’点离B点最远.
由折叠的性质得BA’=BA=3
如图2，当Q点与D点重合时，此时A’点离B点最近.
由折叠的性质得AD=A’D=5
∵∠C=90°，CD=AB=3
∴由勾股定理得A’C=4
∴A’B=BC-A’C=5-4=1
综上所述，点A’在BC边上可移动的最大距离为3-1=2.
如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
（1）四边形CEGF为菱形.
∵四边形ABCD是矩形
∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线
∵图形翻折后EC与EG完全重合
∴四边形CEGF为平行四边形
∴四边形CEGF为菱形
※易错点：证明四边形CEGF为平行四边形时用到GE∥FC.
（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．
如图1，当F与D重合时，CE取最小值.
由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°
∴∠DEC=90°-45°=45°
∴四边形CEGD是平行四边形
∴CE=CD=AB=3
∵∠ECD=90°且CE=CD
∴四边形CEGD是正方形
如图2，当G与A重合时，CE取最大值.
由折叠的性质得AE=CE
∴AE2=AB2+BE2
即CE2=32+（9﹣CE）2
综上所述，线段CE的取值范围3≤CE≤5．
本题考查了翻折变换——折叠，以及菱形的判定，线段的最值，矩形的性质，勾股定理等问题.正确的作出图形是解题的关键．
考点4 学具类
此类操作题是以三角板、直尺、量角器为载体的操作性试题.主要是从数的方面用分析的方法进行抽象思维,从形的方面进行形象思维，为学生创设了动手实践及操作设计的广阔空间,是近几年中考命题的一个热点.
（1）过A，B两点的直线解析式是 ；
设y=kx+b(k ≠ 0)
（2）当t=4时，点P的坐标为 ；当t= ，点P与点E重合；
速度：1， ，2（长度单位/s）
动点P：AO-OB-BA运动
速度： （长度单位/s）
（3）①作点P关于直线EF的对称点P′，在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
当点P在线段 AO上时，
过F作FG ⊥x 轴，G为垂足
若四边形PEP′F为菱形，则EP=FP
又∵ ∠EOP=∠FGP=90°
∴ Rt△ EOP ≌ Rt△ FGP（HL）
∴ PG=PO=3-t
∵ ∠AOB=90°，∠ABO=30°
∵ OP+PG+GA=OA
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段 BA上时，
过P作PH⊥ EF，PM⊥OB，垂足分别为H、G
∵ BP=2（t-6）
若形成的四边形PEP′F为菱形，则
综上所述，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是
②当t=2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
过Q作QH⊥ EF，垂足为H
若△FEQ∽△BEP，则
∴∠BEF=∠BOA=90°
∴ ∠OEP=∠HEQ
又∵ ∠POE=∠QHE=90°
∴ △POE∽△QHE
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q’也符合条件.
1. 将两个斜边长相等的一副三角板型纸片如图1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°， 把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D’CE’。如图2，连接D’B，则∠E’D’B的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 7.5° D .15°
∵ ∠CED=90°，∠D=30°
∴ ∠BCE’=15°
∴ ∠BCD’=45°
∴ ∠BCD’= ∠A
∵ ∠ACB=90°，∠A=45°
又∵△ACB 、△DCE斜边长相等
∴ △ CAB ≌ △ BCD’（SAS）
∴ ∠BD’ C= ∠ABC=45°
而 ∠CD’E’=∠CDE=30°
∴ ∠E’D’B=45°-30°=15°
2. 如图量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是 度.
∵ 旋转角∠ACP=3 × 24=72°
又∵ ⊙ O中∠AOE=2∠ACP
∴ ∠AOE=2 ×72°=144°
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