直角三角形的边角关系（习题及答案）
展开直角三角形的边角关系（习题）例题示范B 37° 67.5° C例：如图，在△ABC 中，∠B=37°，∠C=67.5°，AB=10，求 BC A的长．（结果精确到 0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan67.5°≈2.41）如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，由题意 AB=10，∠B=37°，∠C=67.5°在 Rt△ABD 中，AB=10，∠B=37°，sin B AD ，cos B BDAB AB∴AD=6，BD=8在 Rt△ADC 中，AD=6，∠C=67.5°，tan C ADCD∴CD=2.49∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5即 BC 的长约为 10.5． A37°67.5° B D C从下面书写板块的名称中选取合适的内容，写到对应的横线上．①得出结论；②解直角三角形；③准备条件． 巩固练习在 Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的 2 倍，那么锐角 A 的正弦值（ ）扩大 2 倍 B．缩小 2 倍 C．没有变化 D．不确定4.若∠A 为锐角，且 cosA 的值大于 1 ，则∠A（ ）2A．大于 30° B．小于 30°3大于 60° D．小于 60° 5.已知 β 为锐角，且3A． 30 ≤ ≤ 60C． 30 ≤ 60≤ tan ，则 β 的取值范围是（ ）3B． 30 ≤ 60 30 6.如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC，垂足为 E，设∠ADE= ，若cos 3 ，AB=4，则 AD 的长为（ ）5 如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，若cos A 3 ，BE=2，则5tan∠DBE= ． 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 AB=6，BC=2，则 cosA= ．9. 在△ABC 中，∠A=120°，若 AB=4，AC=2，则 sinB= ．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=45°，AC 的垂直平分线分别交 AB，AC 于 D，E 两点，连接 CD．如果 AD=1，那么tan∠BCD= ．ADCEDB C A B第 10 题图 第 11 题图如图，在△ABC 中，若∠C=90°， sin B 3 ，AD 平分∠CAB，5则 sin∠CAD= ．12. 如图，在△ABC 中，∠C=75°，∠BAC=60°，AC=2，AD 是BC 边上的高，则△ABC 的面积为 ，AD 的长为 ．ABCAD C第 12 题图 第 13 题图 （3） (12 sin 60 1 2 3 1)0 ；tan 45 3 1 2 tan 60 tan2 60（4） tan 60 ．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若sin C 12 ，BC=12，求 AD 的长．13 AB D C 16. 如图，在△ABC 中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC= 2的长．（参考数据：tan26.6°≈0.50）5 ，求 AB CA 26.6° 45° B 思考小结1. 30°，45°，60°，120°，135°，150°都属于我们常用的特殊角， 在解直角三角形中经常用到．120°120°，135°，150°经常使用它们的补角构造直角三角形，如右图 1．解直角三角形的常考形式 图 1mβα直角三角形：“一角一边”求其余元素 A非直角三角形：“两角一边”求其余元素，往往通过构造直角三角形，把已知角度信息放到直角三角形求解，如右图 2（ ， ，m 已知）． B D C我们已经知道 30°，45°所在的直角三角形的三边关系之比，图 2借助这个内容，可以推导 15°和 22.5°所在的直角三角形的三边关系之比，如何推导呢？如图 1，通过延长 CB 到 D，使得 BD=AB，可以构造 15°角，4 2 3( 3 1)23根据三边关系填空．（已知 1 ）1 15° C3B2D230°A 图 1tan15 AC CDsin15 AC AD； tan 75 CD ；AC． 类比上述内容，请你画出研究 22.5°角所在的直角三角形所需图形并填空．ABtan22.5°= ；tan67.5°= ． 探索思考下面的结论，尝试在下面两个图形中证明结论：若tan 1 ，tan 1 ，则 45 ．（标注信息，简要写2 3出思路）αβαβ
