备战中考初中数学导练学案50讲—第05讲 二元一次方程（组）及其应用（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第05讲 二元一次方程（组）及其应用
【疑难点拨】
1. 代入法与加减法是解二元一次方程组的基本方法.在解方程组时若能仔细观察方程组的结构特征，根据它的特征选择合适的方法，不仅能使问题化繁为简，还有助于培养同学们的创新思维和探索精神.（1）整体代入法；（2）整体加减法：仔细观察方程组未知数的系数，发现具有对称轮换的特征，可采用整体相加减，使系数绝对值减小，从而可以得到一个同解的简易方程组，新颖别致，简捷明快.（3）参数消元法：在方程组中，当某个方程是比例式时，一般采用设比值法，达到消元求解的目的.
2.列方程组解应用题的常见类型主要有：　
（1）行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；；　
（2工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.
　基本等量关系为：工作量＝工作效率× 工作时间；
（3和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；
（4航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：　顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速；逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速；
（5几何问题、年龄问题和商品销售问题等.
3 .常见的思维误区有：（1）增长率问题中，这个增长率是针对谁说的有时间易弄错。（2）零件配套问题对零件的配套关系容易弄错。
4. 二元一次方程组的实际应用：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.
【基础篇】
一、选择题：
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．3x﹣2y=4z B．6xy+9=0 C． +4y=6 D．4x=
2. （2018•北京•2分） 方程组的解为
A． B． C． D．
3. （2018•桂林）若|3x﹣2y﹣1|+=0，则x，y的值为（　　）
A． B． C． D．
4. （2018•深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x个，小房间有y个．下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
5. （2018·台湾·分）若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？（　　）
A．24 B．0 C．﹣4 D ．﹣8
二、填空题：
6. （2018•淮安）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=　 　．
7. （2018•德州）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=　 　．
8. （2018·四川自贡·4分）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为　 　、　 　个．
三、解答与计算题：
9.（1） （2018年江苏省宿迁）解方程组：  




（2）（2018·湖北省武汉·8分）解方程组：




10. （2018•湖南省永州市•10分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．





【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·台湾·分）某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（　　）
A．360 B．480 C．600 D．720
12. （2018·山东泰安·3分）夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（　　）
A． B． C． D．
13. （2018•常德）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定： =a×d﹣b×c，例如： =3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：；其中D=，Dx=，Dy=．
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　）
A．D==﹣7 B．Dx=﹣14 C．Dy=27 D．方程组的解为
二、填空题：
14. （2018•山东滨州•5分）若关于x、y的二元一次方程组，的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是　　．
15. （2018•湖北黄石•3分）小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得3分，负者得﹣1分，平局两人都得0分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都不知道对方的策略．
小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……
小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指2石头、剪子、布中任意一个）
例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表
局数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
小光实际策略
石头
剪子
布
石头
剪子
布
石头
剪子
布
小王实际策略
剪子
布
剪子
石头
剪子
剪子
剪子
石头
剪子
小光得分
3
3
﹣1
0
0
﹣1
3
﹣1
﹣1
小王得分
﹣1
﹣1
3
0
0
3
﹣1
3
3
已知在另一次游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为　 　分．
三、解答与计算题：
16. （2018•江苏扬州•8分）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a+b．例如3⊗4=2×3+4=10．
（1）求2⊗（﹣5）的值；
（2）若x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=﹣1，求x+y的值．


17. （2018·浙江舟山·6分）用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”。
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答。


18. 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵．若购进1棵A种树苗与2棵B种树苗共需200元；购进2棵A种树苗与1棵B种树苗共需220元．
（1）求购进A种树苗和B种树苗每棵各多少元？
（2）若小区购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（3）若购进B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请设计一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用？





【探究篇】
19. （开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？



20. （2018•咸宁）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　8　辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
















第05讲 二元一次方程（组）及其应用
【疑难点拨】
1. 代入法与加减法是解二元一次方程组的基本方法.在解方程组时若能仔细观察方程组的结构特征，根据它的特征选择合适的方法，不仅能使问题化繁为简，还有助于培养同学们的创新思维和探索精神.（1）整体代入法；（2）整体加减法：仔细观察方程组未知数的系数，发现具有对称轮换的特征，可采用整体相加减，使系数绝对值减小，从而可以得到一个同解的简易方程组，新颖别致，简捷明快.（3）参数消元法：在方程组中，当某个方程是比例式时，一般采用设比值法，达到消元求解的目的.
2.列方程组解应用题的常见类型主要有：　
（1）行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；；　
（2工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.
　基本等量关系为：工作量＝工作效率× 工作时间；
（3和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；
（4航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：　顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速；逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速；
（5几何问题、年龄问题和商品销售问题等.
3 .常见的思维误区有：（1）增长率问题中，这个增长率是针对谁说的有时间易弄错。（2）零件配套问题对零件的配套关系容易弄错。
4. 二元一次方程组的实际应用：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.
【基础篇】
一、选择题：
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．3x﹣2y=4z B．6xy+9=0 C． +4y=6 D．4x=
【考点】二元一次方程的定义．
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】解：
A、3x﹣2y=4z，不是二元一次方程，因为含有3个未知数；
B、6xy+9=0，不是二元一次方程，因为其最高次数为2；
C、+4y=6，不是二元一次方程，因为不是整式方程；
D、4x=，是二元一次方程．
故本题选D．
【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
2. （2018•北京•2分） 方程组的解为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D．
【考点】二元一次方程组的解
3. （2018•桂林）若|3x﹣2y﹣1|+=0，则x，y的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：
解得：
故选：D．
4. （2018•深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x个，小房间有y个．下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①大房间数+小房间数=70；②大房间住的学生数+小房间住的学生数=480，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设大房间有x个，小房间有y个，由题意得：
，
故选：A．
5. （2018·台湾·分）若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？（　　）
A．24 B．0 C．﹣4 D ．﹣8
【分析】利用加减法解二元一次方程组，求得a、b的值，再代入计算可得答案．
【解答】解：，
①﹣②×3，得：﹣2x=﹣16，
解得：x=8，
将x=8代入②，得：24﹣y=8，
解得：y=16，
即a=8、b=16，
则a+b=24，
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的能力．
二、填空题：
6. （2018•淮安）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=　 　．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把代入方程得：9﹣2a=1，
解得：a=4，
故答案为：4．
7. （2018•德州）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=　 　．
【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
解得：
∵x＜y，
∴原式=5×12=60
故答案为：60
8. （2018·四川自贡·4分）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为　 　、　 　个．
【分析】根据二元一次方程组，可得答案．
【解答】解：设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得
，
解得，
甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，
故答案为：10，20．
【点评】本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．
三、解答与计算题：
9.（1） （2018年江苏省宿迁）解方程组：  
【答案】解：   ,由①得：x=-2y   ③
将③代入②得：3（-2y）+4y=6，
解得：y=-3,
将y=-3代入③得：x=6，
∴原方程组的解为：
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】根据二元一次方程组代入消元解方程即可.
（2）（2018·湖北省武汉·8分）解方程组：
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①得：x=6，
把x=6代入①得：y=4，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

10. （2018•湖南省永州市•10分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
【分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，根据“男生人数+女生人数=55、男生人数=1.5×女生人数+5”列出方程组并解答．
【解答】解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，
依题意得：，
解得，
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．
【点评】考查了二元一次方程组的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·台湾·分）某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（　　）
A．360 B．480 C．600 D．720
【分析】设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，根据阿郁身上的钱数不变得出方程3x+7y﹣240=7x+3y+240，化简整理得y﹣x=120．那么阿郁最后购买10盒方形礼盒后他身上的钱会剩下（7x+3y+240）﹣10x，化简得3（y﹣x）+240，将y﹣x=120计算即可．
【解答】解：设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，则阿郁身上的钱有（3x+7y﹣240）元或（7x+3y+240）元．
由题意，可得3x+7y﹣240=7x+3y+240，
化简整理，得y﹣x=120．
若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下：
（7x+3y+240）﹣10x=3（y﹣x）+240
=3×120+240
=600（元）．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键
12. （2018·山东泰安·3分）夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用两周内共销售30台，销售收入5300元，分别得出等式进而得出答案．
【解答】解：设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，
则根据题意列出方程组为：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
13. （2018•常德）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定： =a×d﹣b×c，例如： =3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：；其中D=，Dx=，Dy=．
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　）
A．D==﹣7 B．Dx=﹣14 C．Dy=27 D．方程组的解为
【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论．
【解答】解：A、D==﹣7，正确；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，正确；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，不正确；
D、方程组的解：x===2，y===﹣3，正确；
故选：C．
二、填空题：
14. （2018•山东滨州•5分）若关于x、y的二元一次方程组，的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是　　．
【分析】利用关于x、y的二元一次方程组，的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好．
【解答】解：方法一：
∵关于x、y的二元一次方程组，的解是，
∴将解代入方程组
可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组可整理为：
解得：

方法二：
关于x、y的二元一次方程组，的解是，
由关于a、b的二元一次方程组可知
解得：
故答案为：
【点评】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．
15. （2018•湖北黄石•3分）小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得3分，负者得﹣1分，平局两人都得0分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都不知道对方的策略．
小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……
小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指2石头、剪子、布中任意一个）
例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表
局数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
小光实际策略
石头
剪子
布
石头
剪子
布
石头
剪子
布
小王实际策略
剪子
布
剪子
石头
剪子
剪子
剪子
石头
剪子
小光得分
3
3
﹣1
0
0
﹣1
3
﹣1
﹣1
小王得分
﹣1
﹣1
3
0
0
3
﹣1
3
3
已知在另一次游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为　 　分．
【分析】观察二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小光拿﹣1分，第五局小光拿0分，进而可得出五十局中可预知的小光胜9局、平8局、负8局，设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25﹣x﹣y）局，根据50局比赛后小光总得分为﹣6分，即可得出关于x、y的二元一次方程，由x、y、（25﹣x﹣y）均非负，可得出x=0、y=25，再由胜一局得3分、负一局得﹣1分、平不得分，可求出小王的总得分．
【解答】解：由二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小光拿﹣1分，第五局小光拿0分．
∵50÷6=8（组）……2（局），
∴（3﹣1+0）×8+3=19（分）．
设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25﹣x﹣y）局，
根据题意得：19+3x﹣y=﹣6，
∴y=3x+25．
∵x、y、（25﹣x﹣y）均非负，
∴x=0，y=25，
∴小王的总得分=（﹣1+3+0）×8﹣1+25×3=90（分）．
故答案为：90．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三、解答与计算题：
16. （2018•江苏扬州•8分）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a+b．例如3⊗4=2×3+4=10．
（1）求2⊗（﹣5）的值；
（2）若x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=﹣1，求x+y的值．
【分析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，即可得到2⊗（﹣5）的值；
（2）依据x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y的值．
【解答】解：（1）∵a⊗b=2a+b，
∴2⊗（﹣5）=2×2+（﹣5）=4﹣5=﹣1；
（2）∵x⊗（﹣y）=2，且2y⊗x=﹣1，
∴，
解得，
∴x+y=﹣=．
【点评】本题主要考查解一元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据题意列出方程组是解题的关键．
17. （2018·浙江舟山·6分）用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”。
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答。
【考点】解二元一次方程组
【分析】（1）解法一运用的是加减消元法，要注意用①-②，即用方程①左边和右边的式子分别减去方程②左边和右边的式子；
（2）解法二运用整体代入的方法达到消元的目的
【解答】（1）解法一中的计算有误（标记略）
（2）由①-②，得-3x=3，解得x=-1，
把x=-1代入①，得-1-3y=5，解得y=-2，
所以原方程组的解是
【点评】本题考查了二元一次方程，的解法，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的两种解法.
18. 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵．若购进1棵A种树苗与2棵B种树苗共需200元；购进2棵A种树苗与1棵B种树苗共需220元．
（1）求购进A种树苗和B种树苗每棵各多少元？
（2）若小区购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（3）若购进B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请设计一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用？
【解答】解：（1）设购进A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种树苗每棵需要80元，B种树苗每棵需要60元．
（2）设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗（17﹣a）棵，
根据题意得：80a+60（17﹣a）=1220，
解得：a=10，
∴17﹣a=7．
答：购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵．
（3）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（17﹣m）棵，
根据题意得：17﹣m＜m，
解得：m＞8，
∵m为整数，
∴m≥9．
∵购进A种树苗每棵需要80元，B种树苗每棵需要60元，
∴当m=9时，总费用最少，最少费用为80×9+60×（17﹣9）=1200元．
答：当购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时，总费用最少，最少费用为1200元．
【探究篇】
19. （开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？
【考点】解二元一次方程．
【专题】开放型．
【分析】要求关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，首先要解这个方程，其解x=，根据题意的要求让其为整数，故m的值只能为±1，±7．
【解答】解：存在，四组．
∵原方程可变形为﹣mx=7，
∴当m=1时，x=﹣7；
m=﹣1时，x=7；
m=7时，x=﹣1；
m=﹣7时，x=1．
【点评】此题只需把m当成字母已知数求解，然后根据条件的限制进行分析求解．
20. （2018•咸宁）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　8　辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【分析】（1）设出老师有x名，学生有y名，得出二元一次方程组，解出即可；
（2）根据汽车总数不能小于=（取整为8）辆，即可求出；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，得出x取值范围，分析得出即可．
【解答】解：（1）设老师有x名，学生有y名．
依题意，列方程组为，
解之得：，
答：老师有16名，学生有284名；

（2）∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能大于8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于=（取整为8）辆，
综合起来可知汽车总数为8辆；
故答案为：8；

（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，
∵车总费用不超过3100元，
∴400x+300（8﹣x）≤3100，
解得：x≤7，
为使300名师生都有座，
∴42x+30（8﹣x）≥300，
解得：x≥5，
∴5≤x≤7（x为整数），
∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；
方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．