高考复习《极坐标方程》课时作业14.1 第一课时

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1．(2020·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cs θ＋sin θ和直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
解 (1)圆O：ρ＝cs θ＋sin θ，
即ρ2＝ρcs θ＋ρsin θ，
圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，
即ρsin θ－ρcs θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).
2．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq \r(3)，求P的极坐标．
解 (1)由题设可得，弧AB，BC，CD所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cs θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cs θ，
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,4)))，
M2的极坐标方程为ρ＝2sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤θ≤\f(3π,4)))，
M3的极坐标方程为ρ＝－2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)≤θ≤π)).
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：
若0≤θ≤eq \f(π,4)，则2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,6)；
若eq \f(π,4)≤θ≤eq \f(3π,4)，则2sin θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(2π,3)；
若eq \f(3π,4)≤θ≤π，则－2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(5π,6).
综上，P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,6)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,3)))或eq \r(3)，eq \f(2π,3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(5π,6))).
3．(2020·贵阳调研)在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝eq \f(2,1－sin θ).
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．
解 (1)∵ρ＝eq \r(x2＋y2)，ρsin θ＝y，
∴ρ＝eq \f(2,1－sin θ)化为ρ－ρsin θ＝2，
∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，
根据题意eq \f(2,1－sin θ0)＝3·eq \f(2,1－sin（θ0＋π）)，
解得θ0＝eq \f(π,6)或θ0＝eq \f(5π,6)，
∴直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)或θ＝eq \f(5π,6)(ρ∈R)．
4．(2020·东北三校模拟)已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．
(1)用x，y，θ0表示m，n；
(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝eq \f(π,4)，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．
解 (1)由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝ρcs（θ＋θ0），,n＝ρsin（θ＋θ0），))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝ρcs θcs θ0－ρsin θsin θ0，,n＝ρsin θcs θ0＋ρcs θsin θ0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝xcs θ0－ysin θ0，,n＝xsin θ0＋ycs θ0.))
(2)由(1)可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(\r(2),2)x－\f(\r(2),2)y，,n＝\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y，))又mn＝1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)x－\f(\r(2),2)y))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y))＝1.
整理得eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
所以eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1即为所求方程．
5．(2019·江苏卷)在极坐标系中，已知两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,2)))，直线l的方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3.
(1)求A，B两点间的距离；
(2)求点B到直线l的距离．
解 (1)设极点为O.在△OAB中，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,2)))，
由余弦定理，得
AB＝ eq \r(32＋（\r(2)）2－2×3×\r(2)×cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,4))))＝eq \r(5).
(2)因为直线l的方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3，
所以直线l过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(2)，\f(π,2)))，倾斜角为eq \f(3π,4).
又Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,2)))，所以点B到直线l的距离为(3eq \r(2)－eq \r(2))×sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－\f(π,2)))＝2.
6．(2020·贵阳质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝eq \f(3,1＋2sin2θ)，点Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
解 (1)∵x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2，2)．
(2)设P(eq \r(3)cs θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－eq \r(3)cs θ，|QR|＝2－sin θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))，
当θ＝eq \f(π,6)时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))).
[技能过关提升]
7．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcs θ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C2：ρ＝eq \f(3,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ)))，θ∈[0，2π]．
(1)求曲线C1的一个参数方程；
(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．
解 (1)由ρ2－4ρcs θ＋3＝0，
可得x2＋y2－4x＋3＝0.
∴(x－2)2＋y2＝1.
令x－2＝cs α，y＝sin α，
∴C1的一个参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs α，,y＝sin α))(α为参数，α∈R)．
(2)C2：4ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,6)cs θ－cs \f(π,6)sin θ))＝3，
∴4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(\r(3),2)y))＝3，即2x－2eq \r(3)y－3＝0.
∵直线2x－2eq \r(3)y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，且圆心到直线的距离d＝eq \f(1,4)，
∴|AB|＝2× eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))\s\up12(2))＝2×eq \f(\r(15),4)＝eq \f(\r(15),2).
8．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解 (1)因为x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcs θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝eq \f(π,4)代入ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3eq \r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq \r(2)，ρ2＝eq \r(2).
故ρ1－ρ2＝eq \r(2)，即|MN|＝eq \r(2).
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为eq \f(1,2).
9．(2020·哈尔滨二模)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝sin φ))(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝eq \f(π,3)与曲线C2交于点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ0＋\f(π,2)))，若A，B都在曲线C1上，求eq \f(1,ρeq \\al(2,1))＋eq \f(1,ρeq \\al(2,2))的值．
解 (1)∵C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝sin φ，))
∴C1的普通方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acs θ(a为半径)，
将Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))代入，得2＝2a×eq \f(1,2)，∴a＝2，
∴圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，
∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)曲线C1的极坐标方程为eq \f(ρ2cs2θ,4)＋ρ2sin2θ＝1，
即ρ2＝eq \f(4,4sin2θ＋cs2θ).∴ρeq \\al(2,1)＝eq \f(4,4sin2θ0＋cs2θ0)，
ρeq \\al(2,2)＝eq \f(4,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ0＋\f(π,2)))＋cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ0＋\f(π,2))))＝eq \f(4,sin2θ0＋4cs2θ0).
∴eq \f(1,ρeq \\al(2,1))＋eq \f(1,ρeq \\al(2,2))＝eq \f(4sin2θ0＋cs2θ0,4)＋eq \f(4cs2θ0＋sin2θ0,4)＝eq \f(5,4).
10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解 (1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1，
得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs θ＋\f(\r(3),2)sin θ))＝1.
从而C的直角坐标方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1，
即x＋eq \r(3)y－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．
当θ＝eq \f(π,2)时，ρ＝eq \f(2\r(3),3)，所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).
(2)M点的直角坐标为(2，0)，
N点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))，
所以P点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
则P点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．