数学选择性必修第一册3.3 抛物线多媒体教学课件ppt

这是一份数学选择性必修第一册3.3 抛物线多媒体教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，抛物线定义的应用，抛物线的实际应用，内容索引，x＝－1，x2＝10y，和x2＝－10y，∴x0＝1等内容，欢迎下载使用。

1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.3.了解抛物线定义的实际应用.
通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当01时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
一、抛物线的定义与标准方程
问题1　利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
提示　点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离 的点的轨迹叫作抛物线(parabla)，定点F叫作抛物线的 ，定直线l叫作抛物线的_____(directrix).
问题2　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
提示　过F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，
又设P(x，y)为抛物线上任意一点.过点P作PH⊥l，垂足为H，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0).
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
注意点：(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.
例1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为2y＋4＝0；
解　准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0).
∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)过点(3，－4)；
解　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
(3)焦点为直线x＋3y＋15＝0与坐标轴的交点.
解　令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
反思感悟　求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程.
跟踪训练1　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝____，准线方程为________.
解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_____________________.
解析　设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
例2　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝ x0，则x0等于A.1 B.2 C.4 D.8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由题图可知，点P，
延伸探究1.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求PA＋PF的最小值.
解　将x＝3代入y2＝2x，
所以点A在抛物线内部.
则PA＋PF＝PA＋d.
2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋ ＝0，求点P到直线3x－4y＋ ＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
PA1＋PQ＝PA1＋PF≥A1Fmin.
反思感悟　 抛物线定义的应用实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
跟踪训练2　(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________.
解析　把点A(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0).故点A到焦点的距离为4.
(2)设点A的坐标为(1， )，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋PA的最小值为A.1 B.2 C.3 D.4
解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3.
例3　(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是 cm cmC.20 cm D.10 cm
解析　如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0).∵A(40,30)在抛物线上，∴302＝2p×40，
(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为______米.
解析　如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一.
反思感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练3　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解　如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航.
1.知识清单：(1)抛物线的定义.(2)抛物线的标准方程.(3)抛物线的实际应用.2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归.3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
1.准线与x轴垂直，且经过点(1，－ )的抛物线的标准方程是A.y2＝－2x B.y2＝2xC.x2＝2y D.x2＝－2y
解析　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，
因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
2.抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为
解析　根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，
3.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是____.
再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
4.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽______米.
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.
1.已知抛物线的焦点坐标是(－1,0)，则抛物线的标准方程为A.x2＝4y B.x2＝－4yC.y2＝4x D.y2＝－4x
解析　∵抛物线的焦点坐标是(－1,0)，
∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
2.已知抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为
A.y＝－1 B.y＝－2C.x＝－1 D.x＝－2
所以抛物线的准线方程是y＝－1.
4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为A.(－1,0) B.(1,0)C.(0，－1) D.(0,1)
5.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为A.y2＝x B.x2＝8yC.x2＝－8y D.y2＝－8x
解析　若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.
6.点M(5,3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是A.y＝12x2B.y＝12x2或y＝－36x2C.y＝－36x2
解析　因为交点在第一象限，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
准线方程为x＝－1，由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，
8.在抛物线y2＝－12x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是_________________________.
解析　由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3,0)，准线为l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF＝3－x，又PF＝9，∴3－x＝9，x＝－6，
9.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程.
解　不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn，AB⊥y轴，且OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m＝n，由△AOB的面积为16，
解得m＝n＝4，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
10.抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标.
M点到准线的距离为d，则d＝MF＝10，
∴抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6).
11.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点A.0.5 m B.1 mC.1.5 m D.2 m
解析　若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25) ，代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
解析　过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图.
∴PQ∶PF＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，∴QF＝QQ′＝3.
13.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为A.y2＝4x或y2＝8xB.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x
又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，
解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.
14.对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y2＝10x的是_____.(要求填写适合条件的序号)
解析　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，
若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足.
即x2＝8y的焦点为F(0,2).所以a2＝22－12＝3，
设P(x，y)，因为点P在x轴上方，
16.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍.若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
解　以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).∵AB是OD的4倍，
∴抛物线方程为x2＝－ay.