高考专题6 第3讲 母题突破3 定值问题（学生版）

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(2)设O为原点，eq \(QM,\s\up6(→))＝λeq \(QO,\s\up6(→))，eq \(QN,\s\up6(→))＝μeq \(QO,\s\up6(→))，求证：eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)为定值．
[子题1] 设直线l：y＝kx＋t(t≠0)与椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值．
[子题2] (2020·福州质检)直线l与椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1有且只有一个公共点P，l与圆x2＋y2＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，求证：k1·k2为定值．
【拓展训练】
1．在平面直角坐标系xOy中，过点M(4,0)且斜率为k的直线交椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)当k≠0时，若点A关于x轴为对称点为P，直线BP交x轴于点N，求证：|ON|为定值．
2．(2020·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，且过点A(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
专题强化练
1．过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，0))的直线交椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1于E，F两点，求证：eq \f(1,|EP|2)＋eq \f(1,|FP|2)为定值．
2．(2020·泰安模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为eq \f(2\r(5),5)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l∥直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值．