2022年湖北省黄冈咸宁孝感三市中考数学模拟试题（四）(word版含答案)

这是一份2022年湖北省黄冈咸宁孝感三市中考数学模拟试题（四）(word版含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2022年黄冈咸宁孝感三市中考数学模拟试题（四）
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．（﹣a2）3＝﹣a5 C．a5÷a2＝a3 D．y2•y2＝2y2
2．计算|﹣3|﹣（﹣2）的最后结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
3．一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（　　）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．是中心对称图形，但不是轴对称图形
4．为了解某校2000名师生对我市“三创”工作（创国家园林城市、国家卫生城市、全国文明城市）的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本是（　　）
A．2000名师生对“三创”工作的知晓情况 B．从中抽取的100名师生
C．从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况 D．100
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）





第7题图
第6题图
第5题图


6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．65°
7．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（　　）
A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
8．抛物线y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a为常数）与x轴交于A、B两点，若AB＝2，则a的值是（ ）
A． B．－ C．－或 D．－或
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 　 　．
10．关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
11．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　 　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）






第15题图
第14题图
第11题图


12．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 　 　，众数是 　 　．
13．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，且每个小正方形的边长是1，则第7个图形的周长是　 　．
第16题图

14．如图，在平面直角坐标系，直线y＝﹣3x+3与坐标轴分别交于A、B两点，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在直线y＝3x﹣2上，则a的值为　 　．
15．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
16．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：； （2）化简并求值：，其中．





18．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．






19．（8分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？











20．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于
点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．








21．（8分）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；

















22．（10分）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
　日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 　 　；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．









23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　 　；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．














24．（12分）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．（﹣a2）3＝﹣a5 C．a5÷a2＝a3 D．y2•y2＝2y2
【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方及积的乘方运算法则，结合各选项即可作出判断．
【解答】解：A、a3+不是同类项a2＝不能直接合并，故本选项错误：
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项错误；
C、a5÷a2＝a3，故本选项正确：
D、y2•y2＝y4，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查整式的加减及同底数幂的乘法，属于计算题，难度不大，注意掌握每种运算的运算法则．
2．计算|﹣3|﹣（﹣2）的最后结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】根据绝对值的性质以及有理数的减法法则计算即可；有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解：|﹣3|﹣（﹣2）＝3+2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的减法以及绝对值，掌握有理数减法法则是解答本题的关键．
3．一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（　　）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．是中心对称图形，但不是轴对称图形
【分析】圆柱体的左视图是长方形，再根据长方形的对称性进行判断即可．
【解答】解：圆柱体的左视图是长方形，而长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的左视图以及轴对称图形和中心对称图形，掌握圆柱体左视图的形状，理解轴对称图形和中心对称图形的意义是正确判断的前提．
4．为了解某校2000名师生对我市“三创”工作（创国家园林城市、国家卫生城市、全国文明城市）的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本是（　　）
A．2000名师生对“三创”工作的知晓情况
B．从中抽取的100名师生
C．从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况
D．100
【分析】根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本确定出样本，然后即可选择答案．
【解答】解：根据样本的定义，这项调查中的样本是：从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况．
故选：C．
【点评】本题考查了总体、个体、样本，是概念题，需要注意，不论总体还是样本都要指明“考察的对象”，这也是此类题目最容易出错的地方．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）
【分析】根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．
【解答】解：由A（﹣3，5），A1（3，3）可知四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1，
∵B（﹣4，3），
∴B1的坐标为（2，1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．65°
【分析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
7．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（　　）

A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
解：由图2可知，AB＝acm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，
∴•AB•BC＝6，即•a•4＝6，
解得a＝3 cm．
即AB的长为3cm．
答案：B．
8．抛物线y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a为常数）与x轴交于A、B两点，若AB＝2，则a的值是（ ）
A． B．－ C．－或 D．－或
【答案】D
【分析】
根据题意，设，则，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可
【详解】

则，
AB＝2，
即

则
解得－或．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴交点的距离，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 　1.41178×109　．
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，进行求解即可出得出答案．
【解答】解：1411780000＝1.41178×109．
故答案为：1.41178×109．
【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练应用科学记数法进行求解是解决本题的关键．
10．关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 　﹣3　．
【分析】利用根与系数之间的关系求解．
【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2＝﹣1，
∴m＝﹣3，
故答案为﹣3，
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
11．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　120　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）

【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．
【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，
∴∠FAB＝∠BOE＝37°，
在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，
∴h＝AF＝AB•cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，
故答案为：120
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．
12．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 　4h　，众数是 　3h　．
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为3，3，3，4，5，5，6，
所以这组数据的中位数为4h，众数为3h，
故答案为：4h，3h．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（3分）（2019•牡丹江）下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，且每个小正方形的边长是1，则第7个图形的周长是　46　．

【分析】观察可得前几个图形的周长，发现第n个图形的周长是（6n+4），进而可得结果．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第1个图形的周长是6×1+4＝10，
第2个图形的周长6×2+4＝16，
第3个图形的周长是6×3+4＝22
…，
所以第n个图形的周长是（6n+4），
所以第7个图形的周长是6×7+4＝46．
故答案为：46．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出每个图形的周长是一组规律数是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系，直线y＝﹣3x+3与坐标轴分别交于A、B两点，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在直线y＝3x﹣2上，则a的值为（　　）
解：如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，
∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于B、A两点，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠CBN＝90°，
∴∠BAO＝∠CBN，
在△BAO和△CBN中，
，
∴△BAO≌△CBN，
∴BN＝AO＝3，CN＝BO＝1，
同理可以得到：DF＝AM＝BO＝1，CF＝DM＝AO＝3，
∴点F（4，4），D（3，4），
∵将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在直线y＝3x﹣2上，
∴把y＝4代入y＝3x﹣2得，x＝2，
∴a＝3﹣2＝1，
∴正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点D恰好落在直线y＝3x﹣2上时，a＝1，

15．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．






【答案】17
【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，
∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．故答案为：17．
【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有　①②③⑤　．

【分析】①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE＝∠MAE＝45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；
②根据全等三角形对应边相等可得PE＝EM＝PM，同理，FP＝FN＝NP，证出四边形PEOF是矩形，得出PF＝OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE＝PE，PE+PF＝OA，即可得到PM+PN＝AC；
③根据矩形的性质可得PF＝OE，再利用勾股定理即可得到PE2+PF2＝PO2；
④判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；
⑤证出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，从而得出结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP＝∠AEM＝90°，
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），
故①正确；
②∵△APE≌△AME，
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
∵在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE＝PE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM+PN＝AC，
故②正确；
③∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，
故③正确；
④∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF与△BNF不一定相似，
故④错误；
⑤∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM，
∴△AMP是等腰直角三角形，
同理，△BPN是等腰直角三角形，
当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM＝PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP＝BP，即P是AB的中点，
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点评】此题主要考查了正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（1）计算：2﹣1+﹣sin30°；
（2）化简并求值：1﹣，其中a＝﹣．
【分析】（1）根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）先通分，然后根据分式的减法法则即可化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）2﹣1+﹣sin30°＝+2﹣＝2；
（2）1﹣＝＝＝，
当a＝﹣时，原式＝＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和实数运算的计算方法．
18．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝　1　，b＝　4　，c＝　92.5　，d＝　95　；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【分析】（1）利用唱票的形式得到a、b的值，根据中位数的定义确定c的值，根据众数的定义确定d的值；
（2）用200乘以样本中八年级测试成绩大于95分所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两同学为同年级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝1，b＝4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数c＝＝92.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；
故答案为1，4，92.5，95；
（2）200×＝80，
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．
19．（8分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
【分析】设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．
【解答】解：设原先每天生产x万剂疫苗，
由题意可得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
∴原先每天生产40万剂疫苗．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．
20．（8分）（2021•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于
点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，即可求解；
（3）如图，设y2与y3的图象交于C，D两点，求出C（﹣1，﹣2），D（2，1），再观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
即反比例函数：，
当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），
∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1），
则，解得，
∴y1＝x+1；

（2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），
∵S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，
∴MN＝6，
∴N（0，7）或（0，﹣5）；

（3）如图，设y2与y3的图象交于C，D两点，

∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x+1，
∴y3＝x﹣1，
联立，解得或，
∴C（﹣1，﹣2），D（2，1），
∵y1＞y2＞y3，
∴﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度不大．
21．（10分）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
【分析】（1）根据黄金分割的定义直接求出AC的长度即可；
（2）设⊙O的半径为r，则PQ＝AP＝r，MQ＝2r﹣r﹣r＝r，OQ＝r﹣＝r，得出＝，即可得证点Q是线段OM的黄金分割点；
【解答】解：（1）根据黄金分割点的意义，
得＝，
∵AB＝100，
∴AC＝50﹣50；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为r，则OP＝r，
∴PQ＝AP＝＝r，
∴OQ＝QP﹣OP＝r﹣r＝r，MQ＝OM﹣OQ＝r﹣r＝r，
∴＝＝＝＝，
即Q是线段OM的黄金分割点；
【点评】本题主要考查黄金分割点的几何意义，正多边形内角和，解直角三角形等知识点，正确理解并熟练应用黄金分割点的比例关系是解题的关键．
22．（10分）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
　日销量m（kg）
142
138
132
124
…
（1）填空：m与x的函数关系为 　m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）　；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【分析】（1）根据题意建立一次函数模型，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意找到等量关系式：日销售利润＝（销售单价﹣单件成本）×销售量，列出方程，再分情况进行讨论总结即可；
（3）根据题意列出方程，根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），
将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：
当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，
当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），
综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：
P＝﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5
∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，
又∵n＜4，
∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范围是1.75＜n＜4．
【点评】本题考查二次函数的应用，解此类型题目首先要根据题意找到等量关系式，列出方程，再结合实际和二次函数的图象与性质进行逐步的分析．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　AF＝AE　；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．

【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（ASA），由全等三角形的性质得出AF＝AE；
（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）①如图1，当点F在线段DC上时，证得△GDF∽△GBA，得出，求出AG＝．由△ABE∽△ADF可得出＝，求出AE＝．则可得出答案；
②如图2，当点F在线段DC的延长线上时，同理可求出EG的长．
【解答】解：（1）AE＝AF．
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（ASA），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE．
（2）AF＝kAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∵AD＝kAB，
∴，
∴，
∴AF＝kAE．
（3）解：①如图1，当点F在线段DC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴，
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝．
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴AE＝＝．
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝，
②如图2，当点F在线段DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝5．
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴＝，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴，
∴AE＝，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝．
综上所述，EG的长为或．
【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分））如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．

【分析】（1）用待定系数法可求出答案；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），由A点及B点坐标可求出直线AB的解析式，由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，则可求出答案；
②由题意可得点N的坐标是（2，m2﹣9），P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），分三种情况，（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方，即0＜m＜时，（Ⅱ）如图2，当点N在点M的上方，点Q在点P及右侧，（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，由平移的性质求出PE及MN的长，根据PE+MN＝10列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5）和点B（5，0），
∴，
解得：，
∴b，c的值分别为﹣4，﹣5．
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），
把A（0，﹣5），B（5，0）的坐标分别代入表达式，得，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5．
由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，
当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣3，
∴点M的坐标是（2，﹣3）；
②设抛物线L1的表达式为y＝（x﹣2+m）2﹣9，
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是（2，m2﹣9），
∵点P的横坐标为﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），
设PE交抛物线L1于另一点Q，
∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2﹣m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（5﹣2m，m2﹣6m），
（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方，即0＜m＜时，
∴PQ＝5﹣2m﹣（﹣1）＝6﹣2m，MN＝﹣3﹣（m2﹣9）＝6﹣m2，
由平移的性质得，QE＝m，
∴PE＝6﹣2m+m＝6﹣m，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+6﹣m2＝10，
解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
（Ⅱ）如图2，当点N在点M及上方，点Q在点P及右侧，
即＜m＜3时，
PE＝6﹣m，MN＝m2﹣6，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+m2﹣6＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝（舍去）．
（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，

即m＞3时，PE＝m，MN＝m2﹣6，
∵PE+MN＝10，
∴m+m2﹣6＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝，
综合以上可得m的值是1或．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点，待定系数法，两点的距离，平移的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
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