2023届高考一轮复习加练必刷题第56练　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第56练　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【解析版】，共9页。试卷主要包含了给出下列命题正确的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考点一 基本立体图形
1．(多选)给出下列命题正确的是( )
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
答案 BD
解析 只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，所以A错；由圆锥的性质可知B正确；直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以C错；
由圆柱的定义可知D正确．
2．(多选)已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为( )
A．16 B．64
C．32 D．无法确定
答案 AB
解析 根据题意，正方形的直观图如图所示，
若直观图中平行四边形的边A′B′＝4，
则原正方形的边长为AB＝A′B′＝4，
所以该正方形的面积S＝4×4＝16；
若直观图中平行四边形的边A′D′＝4，
则原正方形的边长为AD＝2A′D′＝8，
所以该正方形的面积S＝8×8＝64.
3．(2022·上海市徐汇区模拟)在四面体ABCD中，AB＝BC＝CA＝1，DA与直线AB，CA均垂直，且DA＝eq \r(3)，一只蚂蚁从△ABC的中心沿表面爬至点D，则其爬过的路程最小值为( )
A.eq \f(\r(39),3) B.eq \f(\r(15),2)＋eq \f(\r(3),6)
C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(\r(37),3)
答案 A
解析 因为DA⊥AB，DA⊥AC，
AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，
所以DA⊥平面ABC，又DA⊂平面DAC，所以平面DAC⊥平面ABC，
将底面ABC以AC为轴旋转，旋转至平面DAC与平面ABC共面，且平面DAC与平面ABC位于AC的异侧，如图，点O为△ABC的中心，此时OD的直线距离即为最短距离，
设O到直线AC的距离为d，
则d＝eq \f(1,3)×eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),6)，
所以OD＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋\f(\r(3),6)))2)＝eq \f(\r(39),3).
考点二 表面积与体积
4．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2eq \r(5)，则它的表面积为( )
A．4(3eq \r(3)＋4) B．12(eq \r(3)＋2)
C．12(2eq \r(3)＋1) D．3(eq \r(3)＋8)
答案 B
解析 正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2eq \r(5)，
则高为BB1＝eq \r(2\r(5)2－2×22)＝2，它的表面积为S底＋6S矩形＝2×6×eq \f(1,2)×2×2×sin eq \f(π,3)＋6×2×2＝12eq \r(3)＋24＝12(eq \r(3)＋2)．
5.(2022·苏州模拟)陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一．传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺．如图，一个正放的陀螺，下半部分为圆锥，上半部分为同底圆柱．其总高度为8 cm，圆柱部分高度为6 cm，已知该陀螺由密度为0.7 g/cm3的木质材料做成，其总质量为70 g，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为( )
A．2.0 cm B．2.2 cm
C．2.4 cm D．2.6 cm
答案 B
解析 由题意知该陀螺由密度为0.7 g/cm3的木质材料做成，其总质量为70 g，
可得该陀螺的总体积为eq \f(70,0.7)＝100(cm3)，
设底面半径为r，则πr2×6＋eq \f(1,3)πr2×(8－6)＝100，
解得r＝eq \r(\f(15,π))≈2.2(cm)．
6．某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体ABCD－A1B1C1D1的体积的比值为( )
A．4π B.eq \f(9\r(3),8)π C．4eq \r(3)π D．24eq \r(3)π
答案 B
解析 根据题意，设圆锥的底面半径为r，
则2πr＝4π，得r＝2，
∴圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，
其内切圆半径为4×eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2\r(3),3)，
设正方体的棱长为a，则eq \f(2\r(3),3)×2＝eq \r(3)a，得a＝eq \f(4,3)，
∴正方体的体积为eq \f(64,27)，
又圆锥的高h＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)，则体积为eq \f(8\r(3)π,3)，
∴圆锥的体积与正方体ABCD－A1B1C1D1的体积的比值为eq \f(9\r(3),8)π.
7．(多选)(2022·济南一中模拟)下列说法正确的是( )
A．若球的表面积为36π cm2，则其体积为36π cm3
B．正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，则其表面积为18
C．正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则其表面积为(60eq \r(3)＋24eq \r(21)) cm2
D．正四棱锥的底面边长为3eq \r(2)，侧棱长为5，则其体积为24
答案 ACD
解析 对于A，设球的半径为R，
因为球的表面积为36π cm2，
可得4πR2＝36π，解得R＝3 cm，
所以球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×33＝36π(cm3)，
所以A正确；
对于B，因为正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，
可得其表面积S＝S底＋S侧＝2×eq \f(\r(3),4)×22＋3×2×3＝2eq \r(3)＋18，所以B不正确；
对于C，正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，
可得正六棱台的斜高h′＝eq \r(21) cm，
则上底面面积为S1＝6×eq \f(\r(3),4)×22＝6eq \r(3) (cm2)，下底面面积为S2＝6×eq \f(\r(3),4)×62＝54eq \r(3) (cm2)，
侧面积为S3＝6×eq \f(1,2)×(2＋6)×eq \r(21)＝24eq \r(21) (cm2)，
所以六棱台的表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60eq \r(3)＋24eq \r(21)) cm2，所以C正确；
对于D，由正四棱锥的底面边长为3eq \r(2)，可得对角线长为6，又由侧棱长为5，所以正四棱锥的高h＝eq \r(52－32)＝4，
所以体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×3eq \r(2)×3eq \r(2)×4＝24，所以D正确．
8．已知正四棱台两底面边长分别为4 cm,8 cm，侧棱长为8 cm，则它的侧面积为______ cm2.
答案 48eq \r(15)
解析 作出正四棱台的一个侧面，如图，
设E，F分别为AD，BC的中点，
过D作DG⊥BC于点G.
由题知AD＝4 cm，BC＝8 cm，CD＝8 cm，
得DE＝2 cm，FC＝4 cm，解得GC＝2 cm，
在Rt△DGC中，DG＝eq \r(82－22)＝2eq \r(15)(cm)，
即斜高为2eq \r(15) cm，
所以所求侧面积为4×eq \f(1,2)×(4＋8)×2eq \r(15)＝
48eq \r(15)(cm2)．
9．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1和V2的两部分，那么V1∶V2＝________.
答案 7∶5
解析 设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h，底面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh，
因为E，F分别为AB，AC的中点，
所以S△AEF＝eq \f(1,4)S，
所以V1＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(S＋\f(1,4)S＋\r(S×\f(1,4)S)))h＝eq \f(7,12)Sh，
V2＝V－V1＝eq \f(5,12)Sh，
所以V1∶V2＝7∶5.
10．(2022·连云港模拟)市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥组成的组合图形，经过测量，圆台上底面的半径为4 cm，下底半径为
2 cm，深为6 cm，上方的圆锥高为9 cm，则此冰激凌的体积为________ cm3.
答案 104π
解析 设圆台上底面半径r1＝4 cm，下底面半径r2＝2 cm，圆台的体积V1＝eq \f(1,3)π(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋r1r2)×h1＝eq \f(1,3)π(16＋4＋8)×6＝56π(cm3)，
圆锥的体积V2＝eq \f(1,3)π×req \\al(2,1)×h2＝eq \f(1,3)π×16×9＝48π(cm3)，
所以冰激凌的体积V＝56π＋48π＝104π(cm3)．
11．(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有( )
A．该圆台轴截面ABCD的面积为3eq \r(3) cm2
B．该圆台的体积为eq \f(7\r(3)π,3) cm3
C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm
答案 ABD
解析 由AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，
可得CD＝4 cm，高O1O2＝eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－2,2)))2)＝eq \r(3) cm，则圆台轴截面ABCD的面积为eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(3)＝3eq \r(3)(cm2)，故A正确；
圆台的体积V＝eq \f(1,3)π(1＋4＋2)×eq \r(3)＝eq \f(7\r(3),3)π(cm3)，故B正确；
圆台的母线AD与下底面所成的角为∠ADO1，其正弦值为eq \f(\r(3),2)，
所以∠ADO1＝60°，故C错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4 cm，底面半径为2 cm，侧面展开图的圆心角为θ＝eq \f(2π·2,4)＝π，
设AD的中点为P，连接CP，
可得∠COP＝90°，OC＝4 cm，OP＝2＋1＝3(cm)，
则CP＝eq \r(42＋32)＝5(cm)，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确．
12.(多选)(2022·济南模拟)如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于点M，N，以下四个命题中正确的是( )
A.eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0
B．|eq \(ME,\s\up6(→))|＝|eq \(NE,\s\up6(→))|
C．四边形MENF的面积的最小值与最大值之比为2∶3
D．四棱锥A－MENF与多面体ABCD－EMFN的体积之比为1∶3
答案 ABD
解析 对于A选项，如图，连接BD，B′D′，MN.由题意得EF⊥BD，EF⊥BB′，BD∩BB′＝B，
所以EF⊥平面BDD′B′，又MN⊂平面BDD′B′，所以EF⊥MN，
因此eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0，故A正确；
对于B选项，由正方体性质得，平面BCC′B′∥平面ADD′A′，
平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN, 所以MF∥EN，
同理得ME∥NF，又EF⊥MN，所以四边形MENF为菱形，
因此|eq \(ME,\s\up6(→))|＝|eq \(NE,\s\up6(→))|，故B正确；
对于C选项，由选项B易得四边形MENF的面积S＝eq \f(1,2)MN·EF，
所以当点M，N分别为BB′，DD′的中点时，四边形MENF的面积S最小，
此时MN＝EF＝eq \r(2)，即面积S的最小值为1；
当点M，N分别与点B(或点B′)，D′(或D)重合时，四边形MENF的面积S最大，
此时MN＝eq \r(3)，即面积S的最大值为eq \f(\r(6),2)，
所以四边形MENF的面积最小值与最大值之比为2∶eq \r(6)，故C不正确；
对于D选项，四棱锥A－MENF的体积为
V1＝VM－AEF＋VN－AEF＝eq \f(1,3)DB·S△AEF＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(1,6)；
因为E，F分别是AA′，CC′的中点，所以BM＝D′N，DN＝B′M，于是被截面MENF平分的两个多面体是完全相同的，
则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD－EMFN的体积V2＝eq \f(1,2)V正方体ABCD－A′B′C′D′＝eq \f(1,2)，
所以四棱锥A－MENF与多面体ABCD－EMFN的体积之比为1∶3，故D正确．
13.(2022·衡水中学模拟)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为________．
答案 eq \f(4 000π,27)
解析 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等且为5，下部分深入底部半球内．
设小圆柱下部分的高为h(0即r2＋h2＝52，
所以小圆柱体积V＝πr2(h＋5)＝π(25－h2)(h＋5)(0V′＝－π(3h－5)(h＋5)．
当00，体积V单调递增；
当eq \f(5,3)所以当h＝eq \f(5,3)时，小圆柱的体积取得最大值，
即Vmax＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(25－\f(25,9)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)＋5))＝eq \f(4 000π,27).
14．一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要________立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)?
答案 13.39
解析 将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．
S底＝0.6×1.1－eq \f(1,2)×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)，
V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米)．
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土．