2023届高考一轮复习加练必刷题第33练　简单的三角恒等变换【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第33练　简单的三角恒等变换【解析版】，共7页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。

考点一 三角函数式的化简
1．计算：eq \f(sin180°＋2α,1＋cs 2α)·eq \f(cs2α,cs90°＋α)等于( )
A．－sin α B．－cs α
C．sin α D．cs α
答案 D
解析 原式＝eq \f(－sin 2α·cs2α,2cs2α·－sin α)
＝eq \f(－2sin αcs α·cs2α,2cs2α－sin α)＝cs α.
2．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α－1＝cs 2α，则cs α等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 D
解析 ∵2sin 2α－1＝cs 2α，
∴4sin αcs α＝1＋cs 2α＝2cs2α，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴cs α>0，
∴2sin α＝cs α.又sin2α＋cs2α＝1，
∴cs α＝eq \f(2\r(5),5).
3．(多选)下列各式的值等于eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 67.5°cs 67.5° B．2cs2eq \f(π,12)－1
C．1－2sin215° D.eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)
答案 BC
解析 2sin 67.5°cs 67.5°＝sin 135°＝eq \f(\r(2),2)，故A不符合；
2cs2eq \f(π,12)－1＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，故B符合；
1－2sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，故C符合；
eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)＝tan 45°＝1，故D不符合．
考点二 三角函数的求值
4．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝eq \f(2,5)，则eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))等于( )
A.eq \f(17,10) B.eq \f(10,17) C．－eq \f(17,10) D．－eq \f(10,17)
答案 A
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝－cs α＝eq \f(2,5)，
∴cs α＝－eq \f(2,5)，
∴cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)))2－1＝－eq \f(17,25)，
∴eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))＝eq \f(cs 2α,cs α)＝eq \f(－\f(17,25),－\f(2,5))＝eq \f(17,10).
5．(2022·哈尔滨模拟)已知tan α＝2，则sin 2α＋cs2α等于( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C．－eq \f(3,5)或1 D．1
答案 D
解析 ∵sin 2α＋cs2α＝2sin αcs α＋cs2α＝eq \f(2sin αcs α＋cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α＋1,tan2α＋1)＝1.
6．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈(0，π)，若eq \f(1＋sin α,1－sin α)＝eq \f(1－cs β,1＋cs β)，则( )
A．α＋β＝eq \f(π,2) B．α＋β＝π
C．α－β＝eq \f(π,2) D．β－α＝eq \f(π,2)
答案 D
解析 由eq \f(1＋sin α,1－sin α)＝eq \f(1－cs β,1＋cs β)，得(1＋sin α)(1＋cs β)＝(1－cs β)(1－sin α)，
化简得sin α＋cs β＝0，
∴sin α＝－cs β＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,2)))，
∵0<β<π，
∴－eq \f(π,2)<β－eq \f(π,2)∴β－α＝eq \f(π,2).
考点三 三角恒等变换的综合应用
7．已知sin θ－cs θ＝eq \f(1,2)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(7,16) B.eq \f(7,8) C.eq \f(\r(5),4) D.eq \f(\r(7),4)
答案 B
解析 由sin θ－cs θ＝eq \f(1,2)两边平方得，
sin2θ－2sin θcs θ＋cs2θ＝eq \f(1,4)，
所以2sin θcs θ＝eq \f(3,4)，即sin 2θ＝eq \f(3,4)，
所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,2))),2)＝eq \f(1＋sin 2θ,2)＝eq \f(7,8).
8．已知角α，β满足eq \f(π,2)<α－βA．－eq \f(\r(2),9) B.eq \f(\r(2),9)
C．－eq \f(4\r(2),9) D.eq \f(4\r(2),9)
答案 D
解析 ∵eq \f(π,2)<α－β∴cs(α－β)＝－eq \f(2\r(2),3)，
∵0<α＋β<π，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，∴sin(α＋β)＝eq \f(2\r(2),3)，
cs 2β＝cs [(α＋β)－(α－β)]
＝cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4\r(2),9).
9．(2022·商丘模拟)已知A，B均为钝角，sin2eq \f(A,2)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＝eq \f(5－\r(15),10)，且sin B＝eq \f(\r(10),10)，则A＋B等于( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(7π,6)
答案 C
解析 因为sin2eq \f(A,2)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＝eq \f(5－\r(15),10)，
所以eq \f(1－cs A,2)＋eq \f(1,2)cs A－eq \f(\r(3),2)sin A＝eq \f(5－\r(15),10)，
即eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)sin A＝eq \f(5－\r(15),10)，解得sin A＝eq \f(\r(5),5)，
因为A为钝角，
所以cs A＝－eq \r(1－sin2A)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq \f(2\r(5),5).
由sin B＝eq \f(\r(10),10)，且B为钝角，可得cs B＝－eq \r(1－sin2B)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),10)))2)＝－eq \f(3\r(10),10).
所以cs(A＋B)＝cs Acs B－sin Asin B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又A，B都为钝角，即A，B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
所以A＋B∈(π，2π)，
故A＋B＝eq \f(7π,4).
10．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin 2C＝tan Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin2C＋cs C－2))，则下列结论中错误的是( )
A．△ABC可能是直角三角形
B．角B可能是钝角
C．必有A＝2B
D．可能有a＝2b
答案 BC
解析 依题意得
2sin Ccs C＝eq \f(sin A,cs A)(2－eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2C＋cs C－2))
＝eq \f(sin A,cs A)·cs C·(1－2cs C)，
整理得cs C·[2(sin Acs C＋cs Asin C)－sin A]＝0，即cs C·(2sin B－sin A)＝0，所以cs C＝0或sin A＝2sin B．因此当cs C＝0时，△ABC是直角三角形，故A选项正确；
而当sin A＝2sin B时，由正弦定理可得a＝2b，因此选项D正确；选项C错误；
无论是cs C＝0还是sin A＝2sin B，均可得角B为锐角，故B错误．
11．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中m>0；若tan 2α＝－eq \f(12,5)，则cs(2α＋mπ)等于( )
A．－eq \f(6,13) B．－eq \f(12,13) C.eq \f(6,13) D.eq \f(12,13)
答案 D
解析 依题意，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(12,5)，
解得tan α＝－eq \f(2,3)或tan α＝eq \f(3,2).
因为m>0，由三角函数的定义，可得tan α＝m＝eq \f(3,2)，
则sin α＝eq \f(m,\r(1＋m2))＝eq \f(3,\r(13))，cs α＝eq \f(1,\r(1＋m2))＝eq \f(2,\r(13))，
故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋mπ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(3,2)π))＝sin 2α
＝2sin αcs α＝eq \f(12,13).
12．已知tan2θ－4tan θ＋1＝0，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)
答案 C
解析 由tan2θ－4tan θ＋1＝0，易知tan θ≠0，可得tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝4，
所以eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝4，
则eq \f(sin2θ＋cs2θ,cs θ·sin θ)＝4，
即cs θ·sin θ＝eq \f(1,4)，
所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2θ,2)＝eq \f(1－2sin θcs θ,2)＝eq \f(1－2×\f(1,4),2)＝eq \f(1,4).
13．曲线y＝f(x)＝ln x－eq \f(2,x)在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))等于( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
答案 B
解析 ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x－eq \f(2,x)，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,x2)，
∵y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝1处的切线的倾斜角为α，
f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝3，
∴tan α＝3,0<α又sin2α＋cs2α＝1，
解得sin α＝eq \f(3\r(10),10)，cs α＝eq \f(\r(10),10)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝cs 2α＝cs2α－sin2α＝－eq \f(4,5).
14．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且cs 2α＝eq \f(\r(2),5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，则tan α等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
答案 A
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以sin α＋cs α>0.
因为cs 2α＝eq \f(\r(2),5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
所以(cs α＋sin α)(cs α－sin α)＝eq \f(1,5)(sin α＋cs α)，
所以cs α－sin α＝eq \f(1,5)，
所以cs α>sin α，则α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan α<1.
将cs α－sin α＝eq \f(1,5)两边平方可得
1－2sin αcs α＝eq \f(1,25)，
所以sin αcs α＝eq \f(12,25)，
所以eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(12,25)，分子、分母同时除以cs2α可得eq \f(tan α,tan2α＋1)＝eq \f(12,25)，
解得tan α＝eq \f(3,4)或eq \f(4,3)(舍)，即tan α＝eq \f(3,4).