2021-2022学年辽宁省铁岭市九年级（下）随堂练习数学试卷（含解析）

2021-2022学年辽宁省铁岭市九年级（下）随堂练习数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列方程是一元二次方程的是

A.  B.  C.  D.

2. 抛物线的顶点坐标为

A.  B.  C.  D.

3. 在如图的四个三角形中，不能由图示经过旋转或平移得到的是

A.
B.
C.
D.
 

4. 如图，的半径为，点为上一点，的垂直平分线分别交于点，，则的长为

A.
B.
C.
D.

5. “比赛中，郭艾伦罚篮命中”，这一事件是

A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件

6. 如图，点在反比例函数的图象上，过点的直线与轴，轴分别交于点，，且，的面积为，则的值为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，三个边长相等的正方形如图摆放，则的值为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，点，，在正方形网格的格点上，则

A.
B.
C.
D.

9. 图是图中的长方体的三视图，若用表示面积，且，，则

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形的边长为，在正方形的右侧以边为底边作等腰，连接，，交于点；则下列说法：
    ，当为直角三角形时，
    当为直角三角形时，，
    当为等边三角形时，中正确的为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 一元二次方程的解为______．
12. 从长度分别为，，，的四根木棍中随机取三根，能构成三角形的概率是______．
13. 如图，为的直径，点，点是上的两点，连接，，，若，则的度数为是______．
    
    
     

14. 如图，点是矩形的对称中心，点，，经过点的反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______．

15. 二次函数的图象如图所示，则的取值范围是______．
    
    
    
     

16. 如图，将矩形绕点逆时针旋转，连接，，当为______时．
    
    
     

17. 如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，连接，点为的中点，连接，当为直角三角形时，______．

18. 如图，和均为等腰三角形，，点为的中点，绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与的延长线相交于点，若，，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

19. 张相同的卡片上分别写有数字，，，，从中任意抽取两张卡片，卡片上的数字恰好都是一元二次方程的解的概率为多少？请用画树状图或列表的方法说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某批发商以每件元的价格购进件恤，第一个月以单价元销售，售出了件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为元，设第二个月单价降低元．
    填表不需化简：

如果批发商希望通过销售这批恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元？






 

21. 如图，直线与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是．
    求反比例函数的表达式；
    将直线向下平移个单位，求平移后的直线与反比例函数的图象的交点坐标；
    直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图象没有公共点．

22. 如图，在中，，与，分别相切于点，，平分，连接．
    求证：是的切线；
    若，的半径为，求阴影部分的面积．

23. 如图，在矩形中，点为边上的一动点点不与点，重合，连接，过点作，垂足为．
    求证：∽；
    若，，求的长．
     

24. 风力发电是指把风的动能转为电能．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到我们国家的重视．某校学生开展综合实践活动，测量风力发电扇叶轴心的高度．如图，已知测倾器的高度为，在测点处安置测倾器，测得扇叶轴心点的仰角，再与点相距的测点处安置测倾器，测得点的仰角点，与在一条直线上，求扇叶轴心离地面的高度的长．结果精确到；参考数据：，，

25. 如图，边长为的正方形中，点为边上一动点不与点，重合，连接，过点，分别作，，垂足分别为，，点为正方形的中心，连接，．
    求证：；
    请判定的形状，并说明理由；
    当的面积为时，请直接写出的长．

26. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线．
    
    求抛物线的解析式；
    如图，连接，若点是线段上一动点不与，重合，过点作轴，交抛物线于点，连接，当的长度最大时，判断四边形的形状并说明理由；
    如图，在的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，无需说明理由；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：是一元一次方程，故本选项不合题意；
B.符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
C.含有两个未知数，不是一元二次方程的定义，故本选项不合题意；
D.是分式方程，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是次，并且得是整式方程，即可判断．
本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

2.【答案】

【解析】

解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
由抛物线解析式可得顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

3.【答案】

【解析】

解：选项A，可以由旋转得到，选项B可以由平移得到，
故选：．
根据旋转变换，平移变换的性质判断即可．
本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

4.【答案】

【解析】

解：设与相交于点，连接，

是的垂直平分线，
，，
，
在中，，
．
故选：．
连接，先根据垂直平分线求出长，再根据勾股定理求出长，最后根据垂径定理即可得到长．
本题主要考查垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、勾股定理等，解题关键是熟练掌握垂径定理求相关线段长．
 

5.【答案】

【解析】

解：“比赛中，郭艾伦罚篮命中”，这一事件是随机事件，
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：设点的坐标为，
过点的直线与轴，轴分别交于点，，且，的面积为，
点，
点的坐标为，
，
解得，，
故选：．
根据题意可以设出点的坐标，从而以得到点和点的坐标，再根据的面积为，即可求得的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】

【解析】

解：如图，连接，

设正方形的边长为，则，，，
，，
，
四边形、是正方形，
，，，，
，，
即，
∽，
，
，
．
．
故选：．
设正方形的边长为，根据正方形的性质得到，，，，则，，从而可证明∽，然后由三角形外角的性质可知，据此即可得解．
本题主要考查的是正方形的性质，证得∽从而得到是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：过点作，如图，
，，
根据题意可得，
，
即，
解得：，
在中，
．
故选：．
过点作，如图，根据勾股定理即可算出，的长，根据等面积可得，即可算出的长度，在中，根据正弦函数的定义计算即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造直角三角形进行求解是解决本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：由图可知，主视图与左视图的长对应俯视图的长和宽，
俯视图的长为，
俯视图的宽为，
俯视图的面积为，
故选：．
由图可知，主视图与左视图的长对应俯视图的长和宽分别为，，再利用面积公式求解即可．
本题主要考查几何体三视图之间的关系，因式分解，矩形的面积，整式的乘法等知识，根据三视图准确找出俯视图的长和宽是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：如图，过点作于点，作延长线于点，

是等腰三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，故正确；
当为直角三角形时，，如图，
是等腰直角三角形，
，，
是正方形的对角线，
，，
，
，故正确；

当为直角三角形时，，，，
，
，故正确；
如图，过点作于点，

当为等边三角形时，
，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
解得，
，故正确．
综上所述：正确的为．
故选：．
过点作于点，作延长线于点，可得四边形是矩形，所以，进而可以进行判断；
当为直角三角形时，，可得是等腰直角三角形，所以，进而可以进行判断；
当为直角三角形时，，，，然后利用锐角三角函数即可进行判断；
根据正方形和等边三角形的性质证明，设，则，所以，根据，列式计算的值，进而可以进行判断．
本题属于正方形的综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

11.【答案】

【解析】

解：，
，
，
．
先把式子移项，变成，从而把问题转化为求的平方根．
主要考查直接开平方法解方程．
用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．
用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
 

12.【答案】

【解析】

解：随机从袋内取出三根细木棒，所有等可能的结果为：，，；，，；，，；，，；共种情况，
又三根细木棒能构成三角形的有：，，；，，；共种情况，
三根细木棒能构成三角形的概率是：．
故答案为：．
根据题意可得随机从袋内取出三根细木棒，所有等可能的结果为：，，；，，；，，；，，；共种情况，又由三角形三边关系，可得三根细木棒能构成三角形的有种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列举法求概率．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】

【解析】

解：连接，

四边形内接于，
，
，
，
为的直径，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的两锐角互余求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：点是矩形的对称中心，
点是矩形的对角线的中点，
又，，
点的坐标为．
反比例函数的图象经过点，
，
，
把代入得，，
点的坐标为．
故答案为：．
先求得点的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把代入解析式即可求得点的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：抛物线的开口向下，，
对称轴在轴的左侧，，
二次函数与轴交于负半轴，，
抛物线与轴无交点，，
联立解之得：，
的取值范围是．
故答案为：．
由抛物线的开口向上知；由对称轴在轴的左侧可与得到；由二次函数与轴交于负半轴可以推出；又抛物线与轴无交点，可以得到，然后利用前面的结论即可确定的取值范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
 

16.【答案】

【解析】

解：连接，过作于，交于，如下图，
要使，则，，
，
，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
垂直平分，
，
由旋转性质知，，
，
是等边三角形，
，
故当为时，．

另一解法，
当时，则，
由旋转性质知，
为等边三角形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
≌，
，
故当为时，．
故答案为：．
连接，过作于，交于，根据等腰三角形的性质与判定得，，进而得到垂直平分，证得为等边三角形便可．
本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，关键是证明垂直平分．
 

17.【答案】

或
 

【解析】

解：当时．

，为中点．
．
，点是线段的中点．
．
即向左平移．
．
当时．

．
．
．
为中点，．
．
在中，，．
．
．
点是线段的中点．

即向右平移．
综上所述，或，
故答案为：或．
本题先根据为直角三角形进行分类讨论：当时，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，即可求出，进而求出，长度就解决了．当时，根据直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出，进而求出，长度就解决了．
本题考查直角三角形性质，平移的相关知识，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，以及直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半是解决本题的关键．
 

18.【答案】

【解析】

解：和均为等腰三角形，，
，
，
，
，
∽，
，
，点为的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先得出∽，进而求出的长，便可求出的长．
此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，得出的长是解题关键．
 

19.【答案】

解：根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中卡片上的数字恰好都是一元二次方程的解的有种，
则从中任意抽取两张卡片，卡片上的数字恰好都是一元二次方程的解的概率为．
 

【解析】

根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】

解：，，

根据题意，得

整理得，
即，
解得
当时，
答：第二个月的单价应是元．
 

【解析】

根据题意直接用含的代数式表示即可；
利用“获利元”，即销售额进价利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润售价进价．
 

21.【答案】

解：将代入，故其中一个交点的坐标为，
将代入反比例函数表达式并解得：，
故反比例函数表达式为：；
一次函数的图象向下平移个单位得到，
联立并解得：或，
平移后的直线与反比例函数的图象的交点坐标和；
设一次函数的表达式为：，
联立并整理得：，
两个函数没有公共点，故，解得：，
故可以取答案不唯一，
故一次函数表达式为：答案不唯一．
 

【解析】

将代入，故其中一个交点的坐标为，将代入反比例函数表达式，即可求解；
一次函数的图象向下平移个单位得到，联立即可求解；
设一次函数的表达式为：，联立并整理得：，则，解得：，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
 

22.【答案】

证明：连接，，过点作于点，
与相切于点，
，
是的平分线，
，是圆的一条半径，
是的切线；

解：、与圆分别相切于点、点，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
优弧所对的

．
故图中阴影部分的面积是．
 

【解析】

连接，，过点作于点，根据切线的性质得到，根据角平分线的性质和切线的判定定理即可得到结论；
根据切线的性质得到，，根据正方形的性质得到，求得，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了圆切线的判定以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系．
 

23.【答案】

证明：四边形为矩形，
．
，垂足为，
．
，，
．
∽．
解：∽，
，
．
在中，，，
，
即的长为．
 

【解析】

利用矩形的性质可得出，由可得出，利用等角的余角相等可得出，进而可证出∽；
利用相似三角形的性质可得出，进而可得出，再在中，通过解直角三角形即可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：利用两个角对应相等的三角形相似，证出∽；在中，通过解直角三角形求出的长．
 

24.【答案】

解：如图，延长交于，
则，，
设，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
，
答：扇叶轴心离地面的高度约为．
 

【解析】

延长交于，则，，设，先证，则，再由锐角三角函数定义得，得，解得，即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

25.【答案】

证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接，

点为正方形的中心，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
解：设，
在中，，根据勾股定理得：
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
当的面积为时，
，
整理得：，
解得或舍去，
．
 

【解析】

根据正方形的性质证明≌，即可解决问题；
连接，证明≌，可得，，进而可以解决问题；
设，根据勾股定理得，然后根据，可得，利用锐角三角函数可得，所以，得，当的面积为时，可得，整理得：，解方程求出的值，进而可以解决问题．
本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程，解决本题的关键是得到≌．
 

26.【答案】

解：将点代入，
得，
对称轴为直线，
，
，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，理由如下：
令，则，
，
令，则，
或，
，，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
当时，的长度最大，
，，
，，
，
四边形是平行四边形；
存在点，使得为等腰三角形，理由如下：
过点作轴的垂线，过点作轴交于点，过点作轴的垂线，

轴，
，
，
，
，是的中点，
，

，
，
设，
，
解得舍或，
，
，
设，
当时，，
，
或；
当时，，
此时无解；
当时，的中点，
，
，

综上所述：点的坐标为或或
 

【解析】

将点代入，再由对称轴可得，分别求出、的值即可求解；
求出直线的解析式设，则，则，求出，，即可判断四边形是平行四边形；
过点作轴的垂线，过点作轴交于点，过点作轴的垂线，可得，再由，设，则，求出，，设，分三种情况讨论：当时，由，求出或；当时，，此时无解；当时，的中点，由，求出
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．