2022年中考数学复习新题速递之图形认识初步（含答案）

这是一份2022年中考数学复习新题速递之图形认识初步（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年中考数学复习新题速递之图形认识初步
一、选择题（共10小题）
1．（2021秋•咸安区期末）某班数学老师在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”话动课，如图是该正方体展开图的一种，那么原正方体中，与“美”字所在的面相对面上的汉字是

A．建 B．安 C．大 D．设
2．（2021秋•武侯区期末）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（2021秋•万州区期末）如图是由9个边长为1的小正方形组成的正方形网格图，在网格图中不包含阴影部分的正方形一共可以数出有

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
4．（2021秋•梁山县期末）如图，图中射线、线段、直线的条数分别为

A．8，4，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．5，5，1
5．（2021秋•莱阳市期末）如图所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆柱的是
A． B． C． D．
6．（2021秋•开封期末）如图，开封市清明上河园的虹桥，横跨汴河，规模宏大，宛如飞虹，故名虹桥，这与建一座直的桥相比，增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风景，能正确解释这一现象的数学知识是

A．两点之间，线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
7．（2021秋•大丰区期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是
A． B． C． D．
8．（2021秋•碑林区校级期末）如图是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京2022年冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来！”，那么在正方体的表面与“！”相对的汉字是

A．一 B．起 C．向 D．来
9．（2021春•东营区校级月考）下列说法正确的是
A．直线与直线不是同一条直线
B．射线与射线是同一条射线
C．延长线段和延长线段的含义一样
D．两点确定一条直线
10．如图，在正方体中，和平行的棱有

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题（共7小题）
11．（2021秋•西青区期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“文”字一面的相对面上的字是 ．

12．（2021秋•武侯区期末）如图，每个小正方形边长都为1的方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①⑥的小正方形中，再减掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体，则需要再剪掉的小正方形可能是 ．（请填写所有可能的小正方形的编号）

13．（2021秋•双流区期末）将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为，这三个圆心角中最大的圆心角度数为 ．
14．（2021秋•莱州市期末）要锻造一个半径为，高为的圆柱形毛坯，应截取直径为的圆钢的长度为 ．
15．（2021秋•嘉祥县期末）通过画图尝试，我们发现了如下的规律：
图形
直线上点的个数
共有线段条数

2
1

3
3

4
6

5
10



若在直线上有10个不同的点，则此图中共有 条线段．




16．（2021秋•丹东期末）某厂要锻造长、宽、高分别为，，的长方体毛坯，需要截取横截面面积为的方钢多长？设截取方钢的长为，根据题意可列方程为 ．
17．（2021秋•碑林区校级期末）用一个平面分别去截圆锥、圆柱、长方体这三个几何体，截面不可能是三角形的几何体是 ．
三、解答题（共8小题）
18．（2021秋•乳山市期末）【读一读】
欧拉，是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，并研究出了著名的欧拉公式．
（1）【数一数】观察下列多面体，并把表格补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
八面体
图形




顶点数
4
　　
8
6
棱数
6
9
12
　　
面数
　　
5
6
8
（2）【想一想】分析表中的数据，你能发现，，之间有什么关系吗？请用一个等式表示出它们之间的数量关系： ．




19．（2021秋•金水区校级期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．

【问题分析】
（1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为 ，底面积为 ，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 ；
【实践探索】
（2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的边长
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
容积
324
512
　　
　　
500
384
252
128
36
0
【实践分析】
（3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？
．一直增大
．一直减小
．先增大后减小
．先减小后增大
（4）分析猜想当剪去图形的边长为 时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是 ．
【实践反思】
（5）对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
20．（2021秋•金华期末）如图，数轴上点，分别表示数，12，为中点．
（1）求点表示的数．
（2）若点为线段上一点，，求点表示的数．
（3）若点为线段上一点，在线段上有两个动点，，分别同时从点，出发，沿数轴正方向运动，点的速度为4个单位每秒，点的速度为3个单位每秒，当，时，求点表示的数．

21．（2021秋•嘉祥县期末）计算：
（1）；
（2）．
22．（2021秋•樊城区期末）将三个棱长分别为，，的正方体组合成如图所示的几何体．
（1）该几何体露在外面部分的面积是多少？（整个几何体摆放在地面上）
（2）若把整个几何体颠倒放置（最小的在最下面摆放），此时几何体露在外面部分的面积与原来相比是否有变化？若有，算出增加或减少的量；若没有，请说明理由．

23．（2021秋•船山区校级期末）如图，已知点为线段的中点，点为的中点，，求的长度．

24．（2021秋•城固县期末）小刚设计了一个正方体包装盒的展开图，由于粗心少设计了其中一个盖子，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖子的正方体盒子，并在补全的图中填入，4，，0.25，，3，使得折成正方体的相对面上的两个数互为倒数．

25．如图，一条建设中的高速公路要穿过一山体开挖一条隧道，甲、乙两工程队分别从山体两侧的，两点同时开工，现甲队从点测得道路的走向是北偏东，为了不浪费人力、物力，问：乙队在点处应该按等于多少度开挖，才能够保证隧道准确接通？


2022年中考数学复习新题速递之图形认识初步（2022年3月）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2021秋•咸安区期末）某班数学老师在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”话动课，如图是该正方体展开图的一种，那么原正方体中，与“美”字所在的面相对面上的汉字是

A．建 B．安 C．大 D．设
【答案】
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【专题】投影与视图；空间观念
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，
“美”与“设”是相对的面，
故选：．
【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征，正确判断正方体展开图中“相对的面”是正确解答的关键．
2．（2021秋•武侯区期末）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】
【考点】截一个几何体
【专题】空间观念；展开与折叠
【分析】根据三棱柱的截面形状判断即可．
【解答】解：如上图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，不可能是六边形，
故选：．
【点评】本题考查了截一个几何体，熟练掌握三棱柱的截面形状是解题的关键．
3．（2021秋•万州区期末）如图是由9个边长为1的小正方形组成的正方形网格图，在网格图中不包含阴影部分的正方形一共可以数出有

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】
【考点】认识平面图形
【专题】多边形与平行四边形；几何直观
【分析】按边长依次寻找正方形个数．
【解答】解：边长为1的正方形（阴影除外）有7（个，边长为2的正方形有：2（个．
不含阴影部分的正方形一共有：（个
故选：．
【点评】本题考查认识平面图形，按边长分类寻找正方形个数是求解本题的关键．
4．（2021秋•梁山县期末）如图，图中射线、线段、直线的条数分别为

A．8，4，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．5，5，1
【答案】
【考点】直线、射线、线段
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观
【分析】根据直线、射线、线段的意义结合具体的图形一一列举即可．
【解答】解：如图，射线有：、、、、、、、，共8条；
线段有：、、、，共4条；
直线有：直线，1条；
故选：．

【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的意义和表示方法是正确解答的关键．
5．（2021秋•莱阳市期末）如图所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆柱的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】点、线、面、体
【专题】展开与折叠；空间观念
【分析】根据每一个几何体的特征判断即可．
【解答】解：、将所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆柱，故符合题意；
、将所示图形绕直线旋转一周，可以得到球体，故不符合题意；
、将所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆锥，故不符合题意；
．将所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆台，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．
6．（2021秋•开封期末）如图，开封市清明上河园的虹桥，横跨汴河，规模宏大，宛如飞虹，故名虹桥，这与建一座直的桥相比，增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风景，能正确解释这一现象的数学知识是

A．两点之间，线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
【答案】
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短
【专题】应用意识；线段、角、相交线与平行线
【分析】利用“两点之间线段最短“分析可得出答案．
【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．
故选：．
【点评】本题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．
7．（2021秋•大丰区期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】展开图折叠成几何体
【专题】探究型；空间观念
【分析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．
【解答】解：不能围成棱柱，可以围成五棱柱，可以围成三棱柱，可以围成四棱柱．
故选：．
【点评】本题考查了立体图形的展开与折叠．熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键．
8．（2021秋•碑林区校级期末）如图是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京2022年冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来！”，那么在正方体的表面与“！”相对的汉字是

A．一 B．起 C．向 D．来
【答案】
【考点】几何体的展开图
【专题】投影与视图；空间观念
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“”字相对的字是“一”．
故选：．
【点评】本题考查生活中的立体图形与平面图形，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
9．（2021春•东营区校级月考）下列说法正确的是
A．直线与直线不是同一条直线
B．射线与射线是同一条射线
C．延长线段和延长线段的含义一样
D．两点确定一条直线
【答案】
【考点】直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】根据直线、射线、线段的意义和表示方法进行判断即可．
【解答】解：．直线与直线是同一条直线，因此不正确，故不符合题意；
．射线与射线不是同一条射线，因此不正确，故不符合题意；
．延长线段和延长线段的含义不一样，因此不正确，故不符合题意；
．两点确定一条直线是正确的，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查直线、射线、线段的意义以及直线的性质，理解直线、射线、线段的意义是正确判断的前提，掌握直线的性质是正确判断的关键．
10．如图，在正方体中，和平行的棱有

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】
【考点】认识立体图形
【专题】线段、角、相交线与平行线；空间观念
【分析】根据图形结合平行线的性质填上即可．
【解答】解：在正方体中，和平行的棱有3条，是，，，
故选：．
【点评】本题考查了对平行线的应用，主要考查学生观察图形的能力和理解能力．
二、填空题（共7小题）
11．（2021秋•西青区期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“文”字一面的相对面上的字是 弘 ．

【答案】弘．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【专题】空间观念；展开与折叠
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“”字两端是对面，判断即可．
【解答】解：有“文”字一面的相对面上的字是：弘，
故答案为：弘．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
12．（2021秋•武侯区期末）如图，每个小正方形边长都为1的方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①⑥的小正方形中，再减掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体，则需要再剪掉的小正方形可能是 ①②③ ．（请填写所有可能的小正方形的编号）

【答案】①②③．
【考点】展开图折叠成几何体
【专题】空间观念；探究型
【分析】根据正方体的11种展开图的模型即可求解．
【解答】解：把图中的①或②或③剪掉，剩下的图形能折成一个棱长为1的无盖正方体，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了正方体的展开与折叠，牢记正方体的11种展开图的模型是解决本题的关键．
13．（2021秋•双流区期末）将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为，这三个圆心角中最大的圆心角度数为 ．
【答案】．
【考点】认识平面图形
【专题】与圆有关的计算；几何直观；运算能力
【分析】根据扇形圆心角度数之间的关系，利用按比例分配进行计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查认识平面图形，掌握扇形圆心角之间的关系是解决问题的前提．
14．（2021秋•莱州市期末）要锻造一个半径为，高为的圆柱形毛坯，应截取直径为的圆钢的长度为 ．
【答案】．
【考点】认识立体图形
【专题】投影与视图；几何直观；空间观念；运算能力
【分析】根据体积相等，列方程求解即可．
【解答】解：设需要，由题意得，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体体积的计算方法是正确解答的前提．
15．（2021秋•嘉祥县期末）通过画图尝试，我们发现了如下的规律：
图形
直线上点的个数
共有线段条数

2
1

3
3

4
6

5
10



若在直线上有10个不同的点，则此图中共有 45 条线段．




【答案】45．
【考点】直线、射线、线段
【专题】规律型；运算能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】根据规律列式计算即可．
【解答】解：根据表格中“直线上点的个数”与“共有线段的条数”的变化规律可知，
直线上由10个不同点时，线段的条数为：（条，
故答案为：45．
【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握“直线上点的个数”与“共有线段的条数”的变化规律是正确解答的关键．
16．（2021秋•丹东期末）某厂要锻造长、宽、高分别为，，的长方体毛坯，需要截取横截面面积为的方钢多长？设截取方钢的长为，根据题意可列方程为 ．
【答案】．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；认识立体图形；几何体的表面积
【专题】计算题；数感
【分析】长方体的体积为，另一种求法为底面积乘高，即，根据同一个立方体的体积相等可列式．
【解答】解：长方体的体积为，
长方体的体积还可以表示为，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了立体图形的体积及如何列一元一次方程，关键在于运用所学知识求解，注意本题只需要列式，不用求解．
17．（2021秋•碑林区校级期末）用一个平面分别去截圆锥、圆柱、长方体这三个几何体，截面不可能是三角形的几何体是 圆柱 ．
【答案】圆柱．
【考点】截一个几何体
【专题】展开与折叠；空间观念
【分析】根据每一个几何体的截面形状判断即可．
【解答】解：用一个平面分别去截圆锥、圆柱、长方体这三个几何体，截面不可能是三角形的几何体是圆柱，
故答案为：圆柱．
【点评】本题考查了截一个几何体，熟练掌握每一个几何体的截面形状是解题的关键．
三、解答题（共8小题）
18．（2021秋•乳山市期末）【读一读】
欧拉，是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，并研究出了著名的欧拉公式．
（1）【数一数】观察下列多面体，并把表格补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
八面体
图形




顶点数
4
　6　
8
6
棱数
6
9
12
　　
面数
　　
5
6
8
（2）【想一想】分析表中的数据，你能发现，，之间有什么关系吗？请用一个等式表示出它们之间的数量关系： ．




【答案】（1）6，12，4；
（2）．
【考点】欧拉公式；数学常识
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】（1）直接根据图形，数出结果；
（2）针对各个几何体，分别计算，再总结一般规律．
【解答】解：（1）由图可知，三棱锥有4个面；三棱柱有6个顶点；八面体有12条棱．
故答案为：6，12，4．
（2）三棱锥：；
三棱柱：；
正方体：；
八面体：．
根据以上规律，我们发现．
故答案为：．
【点评】本题考查欧拉公式．解题的关键是能够根据题目中所给数据，从特殊到一般，找出规律．
19．（2021秋•金水区校级期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．

【问题分析】
（1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为 ，底面积为 ，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 ；
【实践探索】
（2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的边长
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
容积
324
512
　　
　　
500
384
252
128
36
0
【实践分析】
（3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？
．一直增大
．一直减小
．先增大后减小
．先减小后增大
（4）分析猜想当剪去图形的边长为 时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是 ．
【实践反思】
（5）对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
【答案】（1），；；（2）588，576；（3）；（4）3，588；（5）表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位．
【考点】展开图折叠成几何体；列代数式
【专题】推理能力；整式；展开与折叠
【分析】（1）由减去的正方形边长可得到盒子的高和盒子底面的边长，进而得到底面的面积，然后由“体积底面积高”求得盒子的容积；
（2）分别将，和，代入（1）中的容积公式求得对应的容积；
（3）通过表中容积的变化可以直接得到结果；
（4）由表中容积的最大值得到结果；
（5）为了使猜想更准确，可以取小数．
【解答】解：（1）减去的小正方形的边长为，
折成的无盖长方体盒子的高为，底面正方形的边长为，
底面积为，
无盖长方体纸盒的容积为，
故答案为：，；．
（2）当，时，，
当，时，，
故答案为：588，576．
（3）由表中数据可知，减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小，
故选：，
故答案为：．
（4）由表中数据可知，当时，容积最大为，
故答案为：3，588．
（5）表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体、列代数式，解题的关键是能够通过折叠得到折叠后长方体的长、宽、高．
20．（2021秋•金华期末）如图，数轴上点，分别表示数，12，为中点．
（1）求点表示的数．
（2）若点为线段上一点，，求点表示的数．
（3）若点为线段上一点，在线段上有两个动点，，分别同时从点，出发，沿数轴正方向运动，点的速度为4个单位每秒，点的速度为3个单位每秒，当，时，求点表示的数．

【答案】（1）3；
（2）1或5；
（3）或或或．
【考点】数轴；直线、射线、线段
【专题】运算能力；实数
【分析】（1）根据数轴上两点所表示的数与它们的中点所表示的数之间的关系进行计算即可；
（2）分两种情况进行解答，即点在点的左侧或右侧，根据两点距离的计算方法进行计算即可；
（3）设出各个点所表示的数，根据运动后线段长度的计算方法，列方程组解答即可．
【解答】解：（1）点表示的数为：；
（2）点所表示的数为3，设点所表示的数为，则，
解得或，
答：点所表示的数为1或5；
（3）设点在数轴上所表示的数为，运动的时间为，
则点所表示的数为，点所表示的数为，
①当点在点的左侧，点在点的左侧，
，
即，
，
即，
由可解得；
②当点在点的左侧，点在点的右侧，
，
即，
，
即，
由可解得；
③当点在点的右侧，点在点的左侧，
，
即，
，
即，
由可解得；
④当点在点的右侧，点在点的右侧，
，
即，
，
即，
由可解得；
综上所述，点所表示的数为或或或．
【点评】本题考查直线、射线、线段以及数轴表示数，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法是解决问题的前提，分类讨论是正确解答的关键．
21．（2021秋•嘉祥县期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】有理数的混合运算；度分秒的换算
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；实数
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，最后进行计算即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算即可解答．
【解答】解：（1）


；
（2）


，
．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（2021秋•樊城区期末）将三个棱长分别为，，的正方体组合成如图所示的几何体．
（1）该几何体露在外面部分的面积是多少？（整个几何体摆放在地面上）
（2）若把整个几何体颠倒放置（最小的在最下面摆放），此时几何体露在外面部分的面积与原来相比是否有变化？若有，算出增加或减少的量；若没有，请说明理由．

【答案】（1）；（2）．
【考点】认识立体图形
【专题】运算能力；展开与折叠
【分析】（1）熟悉视图的概念及定义即可解．上面露出的所有面的面积和是最下面正方体的上面积，其余露出的面都是侧面，求三个正方体的侧面积和即可；
（2）分别表示出各自的表面积，相减即可得到答案．
【解答】解：（1）几何体露在外面部分的面积是；
（2）与原来相比增加了，
由，
，
，
增加了．
【点评】此题考查了几何体的表面积，培养学生的观察能力和图形的组合能力，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法．
23．（2021秋•船山区校级期末）如图，已知点为线段的中点，点为的中点，，求的长度．

【答案】的长度为．
【考点】两点间的距离
【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线；计算题；运算能力
【分析】根据点为线段的中点，点为的中点，分别求出、的长，进而求的长度．
【解答】解：点是线段的中点，
，
点是线段的中点，
，
，
的长度为．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义，根据定义求出线段的长是解题关键．
24．（2021秋•城固县期末）小刚设计了一个正方体包装盒的展开图，由于粗心少设计了其中一个盖子，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖子的正方体盒子，并在补全的图中填入，4，，0.25，，3，使得折成正方体的相对面上的两个数互为倒数．

【答案】过程见解答．
【考点】倒数；专题：正方体相对两个面上的文字
【专题】投影与视图；空间观念
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“”与“”是相对面，
“”与“3”是相对面，
“4”与“0.25”是相对面．
补图如下：

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
25．如图，一条建设中的高速公路要穿过一山体开挖一条隧道，甲、乙两工程队分别从山体两侧的，两点同时开工，现甲队从点测得道路的走向是北偏东，为了不浪费人力、物力，问：乙队在点处应该按等于多少度开挖，才能够保证隧道准确接通？

【答案】．
【考点】方向角
【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】利用平行线的性质得到，然后利用互补计算的度数．
【解答】解：，
，
．
答：乙队在点处应该按等于125度开挖，才能够保证隧道准确接通．
【点评】本题考查了方向角：方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．

【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
3．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
4．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
5．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
6．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
7．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
8．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
9．欧拉公式
（1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．
（2）V+F﹣E＝X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数．
10．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长）
11．认识平面图形
（1）平面图形：
一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等．
（2）重点难点突破：
通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内．
12．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
13．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
14．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
15．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
16．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．

（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
17．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
18．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
19．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
20．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
21．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．