2022福州高一下学期期中质量抽测数学试题含答案

2021-2022学年第二学期福州市高一期中质量抽测

数学试卷

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─、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 复数的共轭复数为（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，若，则实数（）

A. 2 B.  C. -1 D. -2

3. 已知为锐角，且，则（）

A.  B.  C.  D.

4. 在四边形ABCD中，若，且，则该四边形一定是（）

A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形

5. 是复数为虚数的（）

A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件

C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件

6. 多项式在复数集中因式分解结果是（）

A.  B.

C.  D.

7. 在边长为2的正方形ABCD中，点E为边BC上的动点，点F为边CD上的动点，且，则的最小值为（）

A. 3 B. 5 C. -1 D. 0

8. 已知，则a，b，c的大小关系为（）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9. 已知函数，则函数的零点是（）

A-1 B. 0 C. 1 D. 2

10. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（）

A. 的最小值为-1

B. 在上单调递减

C. 的解集为

D. 存在实数x满足

11. 直角坐标系xOy中，已知点，则（）

A. 若，则

B. 若点P在BC上，则

C若，则

D. 若在方向上投影向量是，则

12. 在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为2，则（）

A.  B. 若，则

C. 外接圆半径 D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知a，，i是虚数单位，若，则_________．

14. 已知向量的夹角为60°，，则__________．

15. 在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则周长的最大值为__________．

16. 如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图，在中，已知，BC，AC边上的中线AM，BN相交于点P．设．

（1）用表示；

（2）求．

19. 在复平面内，已知正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别是．

（1）求点D对应的复数；

（2）若________，求对应的复数．

在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．

①点T是的垂心．

②点T是的外心．

21. 已知向量，设．

（1）求的单调递增区间；

（2）若关于x的不等式在恒成立，求m的取值范围．

23. 在锐角中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且的外接圆半径为．

（1）求角C；

（2）求AB边上的高h．

25. 函数的定义域为，且存在唯一常数，使得对于任意的x总有，成立．

（1）若，求；

（2）求证：函数符合题设条件．

27. 在中，向量等式或，沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性．

（1）如图，的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设向量为在平面的一个单位向量，记向量与的夹角为．现构造等式，据此，请你探究及时的边和角之间的等量关系；

（2）已知AD是的角平分线，请你用向量法证明：

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】B

【3题答案】

【答案】C

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】C

【9题答案】

【答案】ABC

【10题答案】

【答案】ACD

【11题答案】

【答案】AC

【12题答案】

【答案】ACD

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】2

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

【17题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

；

【小问2详解】

因为AM，BN分别为BC，AC边上的中线

所以点P为的重心，则

由于

所以，

．

【19题答案】

【小问1详解】

因为点A，B，C对应的复数分别是，

所以,,,所以.

设，则.

因为ABCD为正方形，所以，所以，解得：，

所以，即点D对应的复数.

【小问2详解】

选①：因为为直角三角形，且B为直角顶点，

所以的垂心为B,即,

所以

所以,

对应的复数为；

选②：因为为直角三角形，且B为直角顶点，

所以的外心为斜边AC的中点,即.

所以

所以,

对应的复数为.

【21题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

因为向量，且，

所以

.

要求的单调递增区间，只需,

解得：，即的单调递增区间为.

【小问2详解】

因为关于x的不等式在恒成立，所以.

由（1）可知，在上单调递增，所以在上单增，在上单减，

所以，所以.

故m的取值范围是.

【23题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

由得

则，因为，则，；

【小问2详解】

由正弦定理得，所以

由余弦定理得，又，所以；

由，得．

【25题答案】

【小问1详解】

解：因为，所以，

又，所以，又，所以，

所以

【小问2详解】

解：因为的定义域为，

假设存在常数满足，即，所以，

设，显然在上单调递增，又，，

所以存在唯一的常数使得，即存在唯一的常数使得函数符合题设条件；

【27题答案】

【小问1详解】

时，,则

即, 即

即, 即

当时，，由

则，即

则或

所以,即

【小问2详解】

设，如图，设,则

所以

设

所以