中考专题10 几何压轴题2020年中考数学一模分类汇编（山东）（解析版）

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专题10 几何压轴题
一．解答题（共16小题）
1．（2020•市中区一模）在中，，，为中点，点是线段上的一点，点与点、点不重合），连接．将绕点按顺时针方向旋转角，得到△，连接、
（1）如图①，当，在角变化过程中，请证明．
（2）如图②，直线与直线、直线分别交于点，．设，当时，在角变化过程中，是否存在与全等？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当时，点、与点重合．直线与直线相交于点，直线与相交于点．若，设，，求关于的函数关系式．

【分析】（1）先利用旋转得出两个顶角相等的两个等腰三角形，即可得出结论；
（2）假设存在，然后利用确定的出，即可求出，最后用建立方程化简即可；
（3）先判断出，得出比例式即可得出结论．
【解答】解：（1）将绕点按顺时针方向旋转角，得到△，
，，，
，，
，

（2）假设在角变化的过程中，存在与全等，
与全等，
，
，
，
，
，，
，
，
，

（3）当时，
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
2．（2020•历下区一模）如图①，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则：
（1）①的度数是　　；
②线段，，之间的数量关系是　　．
（2）如图②，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，与交于点，在（2）条件下，若，求的最小值．

【分析】（1）①先判断出，即可判断出，即可得出结论；
②由①得，，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再同（1）的方法判断出，即可得出结论；
（3）先判断出点，，，四点共圆，再由最小判断出四边形是矩形，即可得出结论．
【解答】解：（1）①是等边三角形，
，，
由旋转知，，，
，
，
，
故答案为；

②由（1）知，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为；

（2）在中，，，
，
由旋转知，，，
，
，
，
，
；

（3）由（2）知，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
点，，，在以为直径的圆上，
与交于点，
是直径上的一点到点的距离，
即：当时，最小，
，
，
，
，
四边形是矩形，
最小．
3．（2020•市中区一模）如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，点为对角线上一动点，过点作，交轴于点．
（1）　　；
（2）在点从点运动到点的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；
（3）若将沿直线折叠后，点与点重合，则的长为　　．

【分析】（1）根据矩形的性质求出，，，最后用锐角三角函数的定义即可得出结论；
（2）设出，利用锐角三角函数得出，得出，再判断出，进而得出，即可得出结论；
（3）根据折叠的性质，判断出，，再用勾股定理求出，判断出，得出，进而求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，，，
在中，，
故答案为：；

（2）的值不发生变化，其值为，
理由：如图，
过点作于，的延长线交于，
，四边形是矩形，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如备用图，
将沿直线折叠后，点与点重合，
，，
在中，，，根据勾股定理得，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．


4．（2020•新泰市校级一模）如图①，在中，，，点在上（且不与点，重合），在的外部作，使，，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接．
（1）请直接写出线段，的数量关系　　；
（2）将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，如图②，连接，请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将绕点继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

【分析】（1）如图①中，结论：，只要证明是等腰直角三角形即可．
（2）如图②中，结论：，连接，交于，先证明再证明是等腰直角三角形即可．
（3）如图③中，结论不变，，连接，延长交于，先证明，再证明是等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图①中，结论：．

理由：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为．

（2）如图②中，结论：．

理由：连接，交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．

（3）如图③中，结论不变，．

理由：连接，延长交于．
，
，
，
，，

在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
5．（2020•东营市一模）如图1，在矩形中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
（1）若．
①如图2，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值？若不存在，请说明理由．
（2）当点不与点重合时，若直线与直线相交于点，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．

【分析】（1）①利用勾股定理求出，由，推出，即可解决问题．
②分三种情形分别求解即可：如图中，当时．如图中，当时．如图中，当时．
（2）如图中，首先证明四边形是正方形，如图中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，

四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
．
．
②如图中，当时，

四边形是矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
．

如图中，当时，

在中，，

在中则有：，解得．

如图中，当时，易证四边形为正方形，易知．

综上所述，满足条件的的值为或或．

（2）如图中，


，
又翻折，
，，
又，，
，
，
即四边形是正方形，
如图，设．

，
，
易证△，
，
翻折，
，
，
，
．
6．（2020•历城区一模）如图1．在中，，，点、分别在边、上，．连接，点、、分别为、、的中点．
（1）图1中，线段与的数量关系是　　，位置关系是　　；
（2）把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【解答】解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；

（2）是等腰直角三角形．
理由：如图2，连接，，
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，


，
，
，
，
是等腰直角三角形；

（3）若，，
在中，，，
，
同理：
由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．

7．（2020•新泰市西部一模）已知正方形的对角线，相交于点．
（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；
（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，
①求证：；
②当时，求的长．

【分析】（1）欲证明，只要证明即可；
（2）①欲证明，只要证明即可；
②设，由，可得，即，由此构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
．

（2）①证明：如图2中，
，为对角线，
，
，，
，
．
②解：设，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍弃），
．

8．（2020•青州市一模）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是　　，位置关系是　 　；
（2）探究证明：
把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【解答】解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；

（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，


，
，
，
，
是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．

9．（2020•沂源县一模）和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；
（3）在（2）的条件下，，，则的长为　　．

【分析】（1）由和是两个等腰直角三角形，，得到，又由，即可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：；
（3）由，可得，可得，推出，即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
；

（2）如图2中，

和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，即，
，
，
，
；

（3），
，
，，，
，
，
．
故答案为．
10．（2020•岱岳区一模）如图，在四边形中，平分，，是的中点，．
（1）求证：；
（2）过作，并延长至点，使．
①若点是点关于的对称点，点为的中点，求证：；
②若，求证：四边形是菱形．

【分析】（1）欲证明，只需推知即可；
（2）①连接．构建直角，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：，即；
②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形的四条边都相等，则四边形是菱形．
【解答】证明：（1）平分，
．
又，，
，，
．
又是的中点，
，
，
，
，
，
；

（2）①证明：连接．
，点、关于对称，
．
，，
点是的中点，
，
．
点为的中点，
，
，
，
；
②，，
，
又，
．
又，
，
即，
四边形是菱形．

11．（2020•平邑县一模）将两个全等的和按图①方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点．
（1）求证：；
（2）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出，，之间的数量关系；
（3）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图③．你认为（2）中猜想的，，的数量关系还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出，与之间的关系，并说明理由．

【分析】（1）如图①，连接，由，可得，根据直角三角形的“”判定定理，易证，即可得出结论；
（2）同（1）得，由，可得，，即；
（3）同（1）得，由，可得，．
【解答】（1）证明：如图①，连接，

，
，
，
在和中，
，
，
；

（2）画出图形如图②所示，，

理由：连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；

（3）不成立，结论为：，
理由：如图③，连接，

，
，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
，
，
，
．
12．（2020•郯城县一模）已知是等腰三角形，．
（1）特殊情形：如图1，当时，有　　．（填“”，“ ”或“”
（2）发现探究：若将图1中的绕点顺时针旋转到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数．

【分析】（1）由，得到，结合，得到；
（2）由旋转得到的结论判断出，得到；
（3）由旋转构造出，再用勾股定理计算出，然后用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，在简单计算即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
故答案为：，
（2）成立．
证明：由①易知，
由旋转性质可知，
在和中
得
，
，
（3）如图，

将绕点旋转得，连接，
，
，，，
，
在中，由勾股定理可得，，
在中，，，，
，
是直角三角形
，
，
又
．
13．（2020•金乡县一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴正半轴上，点的坐标是，点是边上一动点（不与点、点重合），连结、，过点作射线交的延长线于点，交边于点，且，令，．
（1）当为何值时，？
（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可；
（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解；
（3）过作于点，交于点，根据题意得到的面积矩形的面积，求出的长，根据相似三角形的性质求出，由（2）的解析式计算即可．
【解答】解：（1）由题意知，，，，，
，
，
，
，
，即，
解得，（不合题意，舍去）．
当时，；
（2），
，
，
，
，
，
，即，
，的取值范围是；
（3）假设存在符合题意，
过作于点，交于点，则，
与面积之和等于的面积，
，
，，
，
，
，即，
解得，
由（2）得，，
解得（不合题意舍去），
在点的运动过程中，存在，使与面积之和等于的面积．

14．（2020•兖州区一模）综合实践
问题情境
在综合实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图（1），将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和
操作发现
（1）将图（1）中的以为旋转中心，顺时针方向旋转角得到如图（2）所示，分别延长和交于点，发现．请你证明这个结论．

（2）在问题（1）的基础上，当旋转角等于多少度时，四边形是菱形？请你利用图（3）说明理由．
拓展探究
（3）在满足问题（2）的基础上，过点作，与交于点．试判断、与的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）判断出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（3）先判断出是等边三角形，得出，，再判断出是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图2，连接，

四边形是菱形，
，，
，
，
；

（2）当时，四边形是菱形，
理由：，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；

（3）．
理由：如图4，分别延长与交于点，

，，
，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
是等边三角形，
，
．
，
．
15．（2020•嘉祥县一模）如图1，点为射线上一动点且四边形是正方形，请阅读下列内容，并解答下列问题：

（1）如果，．
①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段、之间的位置关系为　　，数量关系为　 　．
②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果，，点在在线段上运动，试探究：当满足一个什么条件时，（点、重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
【分析】（1）①结论：与位置关系是垂直、数量关系是相等； 只要证明，即可解决问题．
②当点在的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似；
（2）结论：当时，（如图．过点作交于点，理由（1）中的结论即可解决问题．
【解答】解：（1）①结论：与位置关系是垂直、数量关系是相等； 理由如下：
如图乙中，

，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
故答案为，；

②当点在的延长线上时①的结论仍成立．
理由：如图丙中，

由正方形得 ，．
，
，
，
又，
，
，．
，，
，
，
．即；

（2）结论：当时，（如图．

理由：过点作交于点，

由（1）可知：
，
．
即；
16．（2020•新泰实验中学一模）如图（1）所示：等边中，线段为其内角角平分线，过点的直线于交的延长线于．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若为任意三角形，线段为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示中，，，，交于点，试求的值．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到垂直平分，，，则，易得；由于，得，则，同理可得到，易得；
（2）过点作交的延长线于点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，则，并且根据相似三角形的判定得，得到，而，于是有，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）为的内角角平分线，由（2）的结论，根据相似三角形的判定得，利用相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）等边中，线段为其内角角平分线，所以，
因为于交的延长线于，所以，，所以，所以．这两个等式都成立；
（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：
如图所示，为任意三角形，过点作交的延长线于点，
，，又
，
又．
即对任意三角形结论仍然成立；
（3）如图（2）所示，因为中，，，，所以．
为的内角角平分线，
，
，
，