2020-2021学年福建省南平市某校高二（下）4月月考数学试卷

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这是一份2020-2021学年福建省南平市某校高二（下）4月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={x|−1A.{x|−1C.{x|1
2. 下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)=kn．
其中所正确说法的序号是( )
A.①②④B.①③C.③④D.①③④

3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有5部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）
A.79B.29C.49D.59

4. 在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P线段AB到两端点的距离都大于1m的概率等于（）
A.12B.14C.23D.13

5. 六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2∼5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有( )种.
A.27B.81C.54D.108

6. 在二项式x+124xn的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是第几项( )
A.2B.3C.4D.5

7. 将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有( )种．

A.6B.12C.18D.36

8. 已知函数fx=lnx−asinx在区间π6,π4上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A.(−∞,43π]B.(−∞,42π]C.42π,43πD.[42π,+∞)
二、多选题

下面结论正确的是（）
A.若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为35
B.1×1!+2×2!+...+n⋅n!=(n+1)!−1(n∈N*)
C.n+1Cnm=m+1 Cn+1m+1n>m,m∈N*,n∈N *
D.C2n1+C2n3+C2n5+⋯+C2n2n−1=22n−1n∈N*

下列命题中是真命题的是（）
A.∀x∈R，2x2−3x+4>0B.∀x∈1,−1,0，2x+1>0
C.∃x∈N，使x≤xD.∃x∈N*，使x为29的约数

为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则下列说法正确的( )
A.某学生从中选3门，共有30种选法
B.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D.课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

若函数fx=x3+2x2+a2x−1有两个极值点则a的值可以为( )
A.0B.1C.2D.3
三、填空题

在1−x5+1−x6+1−x7+1−x8的展开式中，含x3的项的系数是________．

曲线y=2x2−1在点1,1处的切线的斜率为________．

以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年．那么，第9行第8个数是________．
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯

已知函数fx=xex−m，则fx的单调递减区间是________；若fx有两个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
四、解答题

已知p:2x2−9x+a<0，q:x2−4x+3<0,x2−6x+8<0,且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．

已知函数fx=xlnx+aa∈R．
(1)求函数fx的极值点；

(2)设函数gx=fx−ax−1−a，求函数gx在区间1,e上的最小值．

某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：

(1)从A，B，C三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；

(2)在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列．

从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同．
(1)若抽取后又放回，抽3次．
(i)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
(ii)求抽到红球次数η的数学期望及方差；

(2)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列．

2020年6月28日上午，未成年人保护法修订草案二审稿提请十三届全国人大常委第二十次会议审议，修改草案二审稿针对监护缺失、校园欺凌研究损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校住宿经营者网络服务提供者等主体，加大对未成年人保护力度,我校为宣传未成年保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分为p1，p2．
(1)若p1=34 ，p2=23，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；

(2)若p1+p2=65，且每轮比赛互不影响，则在竞赛中甲乙同学要想获得“优秀小组”次数为9次，则理论上至少要进行多少轮竞赛才行？并求此时p1，p2的值．

已知函数fx=ex−ax2−2axa∈R.
(1)讨论fx的导数f′x的单调性；

(2)若fx有两个极值点 x1,x2 ，求实数a的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省南平市某校高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据已知条件可得A∩B={x|0≤x<1}.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
根据古典概型的基本概念及概率公式，即可得出结论
【解答】
解：②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；
根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A，利用对立事件概率计算公式能求出所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率.
【解答】
解：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A，
PA=C52C102=29，
所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为：
PA=1−PA=1−29=79.
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
点P在线段CD上，满足点P线段AB到两端点的距离都大于1 cm，利用几何概型概率计算公式求解即可.
【解答】
解：设线段AB的三等分点分别为C，D，如图所示，
因为点P到线段AB两端点的距离都大于1m，
因此点P在线段CD上（不包括两端点），
故所求概率为P=|CD||AB|=13．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
分类加法计数原理
【解析】
以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果
【解答】
解：甲在五楼有33=27种情况，
甲不在五楼且不在二楼有C31C21×32=54种情况，
由分类加法计数原理知共有54+27=81种不同的情况，
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
二项式系数的性质
【解析】
根据展开式的通项公式，再根据等差中项的性质即可求出n的值，然后再根据二项式定理问题得以解决.
【解答】
解：二项式x+124xn的展开式中前三项的系数分别为Cn0，12Cn1，14Cn2，
由题意知Cn1=Cn0+14Cn2，
∴ n=1+nn−18，
解得n=8或n=1（舍去）．
∵ n=8，
∴ 展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大，
∴ 二项式x+124xn的展开式中二项式系数最大的项是第5项.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解．
【解答】
解：先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；
再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；
最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法．
所以共有3×2×1=6种方法．
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
增函数加增函数仍为增函数.
【解答】
解：因为fx在π6,π4上是单调增函数，
所以∀x∈π6,π4，总有f′x≥0，
即1x−acsx≥0恒成立，整理得到a≤1xcsx，
令gx=xcsx，则g′x=csx−xsinx=sinx1tanx−x．
因为y=1tanx−x在π6,π4是单调减函数且1tanπ4−π4>0，
所以1tanx−x>0在π6,π4上恒成立，
故g′x>0在π6,π4上是恒成立的，
gx=xcsx在π6,π4上为增函数，
所以gxmax=2π8，故a≤82π=42π.
故选B.
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
组合及组合数公式
二项式系数的性质
【解析】
A．利用乘法原理即可得出；
B．利用n⋅n|=(n+1)|nnn≤N−)，分别相加求和即可得出；
C．利用组合数计算公式即可得出；
D．由二项式定理可得：a+b2n的展开式的奇数项与偶数项的二项式系数相等，即可判断出结论．
【解答】
解：A．若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为53，因此不正确；
B．∵n⋅n!=(n+1)!−n!(n∈N*)，
∴ 1×1!+2×2!+...+n⋅n!=(n+1)!
−n!+n!−(n−1)!+⋯+2!−1!=(n+1)!−1因此正确；
C．m+1Cn+1m+1=m+1⋅n+1!n−m!m+1!
=n+1！n！n−m！m!=n+1Cnm.(n>m，m∈N*n∈N*)，因此正确；
D．由二项式定理可得：a+b2n的展开式的奇数项与偶数项的二项式系数相等，可得：
C2n1+C2n3+C2n3+…+C2n2n−1=12×22n=22n−1，因此正确．
故选BCD．
【答案】
A,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
无
【解答】
解：选项A中，∀x∈R，2x2−3x+4=2x−342+238≥238>0，故A正确；
选项B中，x=−1时，2x+1<0，故B错误；
选项C中，x=4∈N，使x≤x，故C正确；
选项D中，∃x=29∈N*，使x为29的约数，故D正确．
故选ACD．
【答案】
C,D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，依次分析选项中计算是否正确，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，某学生从中选3门，6门中选3门共有C63=20种，故A错误；
对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排“射”“御”，共有A44A52=480种排法，故B错误；
对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，由捆绑法分析：将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有A33A44=144种排法，故C正确；
对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，若课程“乐”排在最后一周，有A55种排法，若课程“乐”不排在最后一周，
有C41C41A55种排法，则共有A55+C41C41A55=504种排法，故D正确．
故选CD.
【答案】
A,B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=x3+2x2+a2x−1，
∴f′x=3x2+4x+a2，
∵函数fx=x3+2x2+a2x−1有两个极值点，
则f′x=3x2+4x+a2与x轴有两个交点，
即Δ=42−4×3×a2>0，解得−233故满足条件的有AB.
故选AB.
三、填空题
【答案】
−121
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
无
【解答】
解：展开式中含x3的项的系数为C53−13+C63−13+C73−13+C83−13=−121．
故答案为：−121．
【答案】
4
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
无
【解答】
解：∵ y=2x2−1，
∴ y′=4x，
∴ y′|x=1=4，
即曲线在(1,1)处的切线斜率为4．
故答案为：4．
【答案】
36
【考点】
归纳推理
二项式系数的性质
杨辉三角
【解析】
根据每行的数字个数可得第9行第8个数是为右边开始第3个，再根据所有的斜行规律，即可求出答案．
【解答】
解：由题意，第0行的数为1，
第1行的数为C10，C11，
第2行的数为C20，C21，C22，
第3行的数为C30，C31，C32，C33，
第4行的数为C40，C41，C42，C43，C44，
因此，第n行第m个数为：Cnm−1，
所以第9行第8个数是C98−1=C97=C92=9×82=36．
故答案为：36．
【答案】
−∞,−1,−1e,0
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：f′x=x+1ex，
令x+1ex<0，
所以x<−1．
故fx的单调递减区间为−∞,−1；
因为函数fx有两个不同零点，
等价于函数gx=xex与y=m图像有两个交点，
g′x=x+1ex，
令g′x=x+1ex>0，
则x>−1，
令g′x=x+1ex<0，
则x<−1，
所以函数gx在−∞,−1递减，在−1,+∞递增，
所以gminx=g−1=−1e，
又当x<0时，gx<0；
当x≥0时，gx≥0，
所以m∈−1e,0.
故答案为：−∞,−1；−1e,0．
四、解答题
【答案】
解：∵ q:x2−4x+3<0,x2−6x+8<0,
∴ 解得q:2∵ ¬p是¬q的充分条件，
∴ q⇒p，
∵ p:2x2−9x+a<0，
设f(x)=2x2−9x+a，
∴ f(2)=8−18+a≤0,f(3)=18−27+a≤0,
解得a≤9．
∴ 实数a的取值范围是a≤9．
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的否定
【解析】
由q:x2−4x+3<0,x2−6x+8<0,知q:2【解答】
解：∵ q:x2−4x+3<0,x2−6x+8<0,
∴ 解得q:2∵ ¬p是¬q的充分条件，
∴ q⇒p，
∵ p:2x2−9x+a<0，
设f(x)=2x2−9x+a，
∴ f(2)=8−18+a≤0,f(3)=18−27+a≤0,
解得a≤9．
∴ 实数a的取值范围是a≤9．
【答案】
解：(1)fx=lnx+1，x>0，
由fx=0得x=1e，
所以，fx在区间0,1e上单调递减，在区间1e,+∞上单调递增，
所以，x=1e是函数fx的极小值点，极大值点不存在．
(2)gx=xlnx−ax−1，
则g′x=lnx+1−a，
由g′x=0，
得x=ea−1，
所以，在区间0,ea−1上，gx为减函数，在区间ea−1,+∞上，gx为增函数，
所以x=ea−1是极小值点，
以下对极小值点是否在1,e上作分类讨论．
当ea−1≤1，
即a≤1时，
在区间1,e上，gx为增函数，
所以gx的最小值为g1=0．
当1即1当ea−1≥e，
即a≥2时，
在区间1,e上，gx为减函数，gx的最小值为ge=a+e−ae．
综上，当a≤1时，gx的最小值为0；
当1当a≥2时，gx的最小值为ge=a+e−ae．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)fx=lnx+1，x>0，
由fx=0得x=1e，
所以，fx在区间0,1e上单调递减，在区间1e,+∞上单调递增，
所以，x=1e是函数fx的极小值点，极大值点不存在．
(2)gx=xlnx−ax−1，
则g′x=lnx+1−a，
由g′x=0，
得x=ea−1，
所以，在区间0,ea−1上，gx为减函数，在区间ea−1,+∞上，gx为增函数，
所以x=ea−1是极小值点，
以下对极小值点是否在1,e上作分类讨论．
当ea−1≤1，
即a≤1时，
在区间1,e上，gx为增函数，
所以gx的最小值为g1=0．
当1即1当ea−1≥e，
即a≥2时，
在区间1,e上，gx为减函数，gx的最小值为ge=a+e−ae．
综上，当a≤1时，gx的最小值为0；
当1当a≥2时，gx的最小值为ge=a+e−ae．
【答案】
解：(1)记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A，
PA=12×45×13+12×15×23+12×45×23=715．
(2)在B小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，
P(X=k)=C4kC163−kC203(k=0,1,2,3)，
所以X的分布列为：
【考点】
古典概型及其概率计算公式
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A，
PA=12×45×13+12×15×23+12×45×23=715．
(2)在B小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，
P(X=k)=C4kC163−kC203(k=0,1,2,3)，
所以X的分布列为：
【答案】
解：(1)抽1次得到红球的概率为25，
得白球的概率为25，
得黑球的概率为15．
①所以恰2次为红色球的概率为P1=C3225235=36125，
抽全三种颜色的概率P2=25×25×15⋅A33=24125，
②η∼B3,25，
则Eη=3×25=65，Dη=3×25×35=1825．
(2)ξ的可能取值为2，3，4，5，
Pξ=2=A22A52=110，Pξ=3=C22C31A21A22A53=15，
Pξ=4=C22C32A21A33A54=310，Pξ=5=C22C33A21A44A55=25．
即分布列为：
【考点】
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
二项分布与n次独立重复试验的模型
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)抽1次得到红球的概率为25，
得白球的概率为25，
得黑球的概率为15．
①所以恰2次为红色球的概率为P1=C3225235=36125，
抽全三种颜色的概率P2=25×25×15⋅A33=24125，
②η∼B3,25，
则Eη=3×25=65，Dη=3×25×35=1825．
(2)ξ的可能取值为2，3，4，5，
Pξ=2=A22A52=110，Pξ=3=C22C31A21A22A53=15，
Pξ=4=C22C32A21A33A54=310，Pξ=5=C22C33A21A44A55=25．
即分布列为：
【答案】
解：(1)由题可知，所以可能的情况有①同学甲答对1次，同学乙答对2次；
②同学甲答对2次，同学乙答对1次；
③同学甲答对2次，同学乙答对2次．
故所求概率P=C2134⋅14⋅C22232+C22342⋅C2123⋅13+C22342⋅C22232=23．
(2)他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为
P=C21p1(1−p1)C22(p2)2+
C22(p1)2C21p2(1−p2)+C22(p1)2C22(p2)2
=2p1p2(p1+p1)−3(p1p2)，
因为p1+p2=65，
所以P=125p1p2−3p1p22．
因为0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1+p2=65，
所以15≤p1≤1，15≤p2≤1，
又p1p2≤p1+p222=925，
所以125≤p1p2≤925．
令t=p1p2，
则P=ht=−3t2+125t=−3t−252+1225t∈125,925，
所以当t=925时，Pmax=297625，
他们小组在n竞赛中获“优秀小组”次数ξ满足ξ∼Bn,p，
由npmax=9，
则n=9297625=62533≈19，
所以理论上至少要进行19轮比赛．
此时p1+p2=65，p1p2=925，p1=p2=35．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
概率的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题可知，所以可能的情况有①同学甲答对1次，同学乙答对2次；
②同学甲答对2次，同学乙答对1次；
③同学甲答对2次，同学乙答对2次．
故所求概率P=C2134⋅14⋅C22232+C22342⋅C2123⋅13+C22342⋅C22232=23．
(2)他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为
P=C21p1(1−p1)C22(p2)2+C22(p1)2C21p2(1−p2)+C22(p1)2C22(p2)2=2p1p2(p1+p1)−3(p1p2)，
因为p1+p2=65，
所以P=125p1p2−3p1p22．
因为0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1+p2=65，
所以15≤p1≤1，15≤p2≤1，
又p1p2≤p1+p222=925，
所以125≤p1p2≤925．
令t=p1p2，
则P=ht=−3t2+125t=−3t−252+1225t∈125,925，
所以当t=925时，Pmax=297625，
他们小组在n竞赛中获“优秀小组”次数ξ满足ξ∼Bn,p，
由npmax=9，
则n=9297625=62533≈19，
所以理论上至少要进行19轮比赛．
此时p1+p2=65，p1p2=925，p1=p2=35．
【答案】
解：(1)由题意，得f′(x)=ex−2ax−2a=ex−2a(x+1)(x∈R).
设gx=f′xx∈R，则g′(x)=ex−2a.
①当a≤0时，g′x=ex−2a>0，所以f′x 在R上单调递增.
②当a>0时，由g′x=ex−2a=0，得x=ln2a.
当x当x>ln2a时，g′(x)>0，f′(x)在ln2a,+∞上单调递增.
(2)由于fx有两个极值点 x1，x2，
即f′x=0在x∈R上有两解x1，x2，
f′x=0即ex−2ax+1=0，显然x≠−1，
故等价于exx+1=2a有两解x1，x2.
设hx=exx+1，则h′x=xexx+12，
当x<−1 时，h′x<0，
所以hx在−∞,−1单调递减，
且hx<0，x→−∞时， hx→0，x→−1时，hx→−∞；
当−1所以hx在−1,0单调递减，且 x→−1时， hx→+∞；
当x>0时， h′x>0 ，
所以hx在0,+∞ 单调递增，且x→+∞时，hx→+∞，
所以h0=1 是hx的极小值，
exx+1=2a 有两解x1，x2等价于2a>1，得a>12.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，得f′(x)=ex−2ax−2a=ex−2a(x+1)(x∈R).
设gx=f′xx∈R，则g′(x)=ex−2a.
①当a≤0时，g′x=ex−2a>0，所以f′x 在R上单调递增.
②当a>0时，由g′x=ex−2a=0，得x=ln2a.
当x当x>ln2a时，g′(x)>0，f′(x)在ln2a,+∞上单调递增.
(2)由于fx有两个极值点 x1，x2，
即f′x=0在x∈R上有两解x1，x2，
f′x=0即ex−2ax+1=0，显然x≠−1，
故等价于exx+1=2a有两解x1，x2.
设hx=exx+1，则h′x=xexx+12，
当x<−1 时，h′x<0，
所以hx在−∞,−1单调递减，
且hx<0，x→−∞时， hx→0，x→−1时，hx→−∞；
当−1所以hx在−1,0单调递减，且 x→−1时， hx→+∞；
当x>0时， h′x>0 ，
所以hx在0,+∞ 单调递增，且x→+∞时，hx→+∞，
所以h0=1 是hx的极小值，
exx+1=2a 有两解x1，x2等价于2a>1，得a>12.A小区
低碳族
非低碳族
比例
12
12
B小区
低碳族
非低碳族
比例
45
15
C小区
低碳族
非低碳族
比例
23
13
X
0
1
2
3
P
2857
819
895
1285
X
0
1
2
3
P
2857
819
895
1285
ξ
2
3
4
5
P
110
15
310
25
ξ
2
3
4
5
P
110
15
310
25

2020-2021学年福建省南平市某校高二（下）4月月考数学试卷

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