北京东城区2022届高三一模数学试题 （含解析）

这是一份北京东城区2022届高三一模数学试题 （含解析），共25页。


2022北京东城高三一模
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
4. 已知数列前项和，则是（ ）
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为3的等差数列
C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正方体的棱长为1，为上一点，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知、，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）
12. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则________.

13. 已知抛物线过点，则________；若点，在上，为的焦点，且，，成等比数列，则________.
14. 已知函数若，则不等式的解集为________；若恰有两个零点，则的取值范围为________.
15. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段表示角楼的高，，，为三个可供选择的测量点，点，在同一水平面内，与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为________.
（只需写出一种方案）


①，两点间的距离；
②，两点间距离；
③由点观察点的仰角；
④由点观察点的仰角；
⑤和；
⑥和.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设，求函数在上的单调递增区间.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
18. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度
性别
未上学
小学
初中
高中
大学
专科
大学
本科
硕士
研究生
博士
研究生
男
0.00
0.03
0.14
0.11
0.07
0.11
0.03
0.01
女
0.01
0.04
0.11
0.11
0.08
0.12
0.03
0.00
合计
0.01
0.07
0.25
0.22
0.15
0.23
0.06
0.01

（1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
（2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明）
19. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
（2）若在上有最大值，求取值范围.
20. 已知椭圆离心率为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点.是否存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21. 设数列.如果，且当时，，则称数列A具有性质.对于具有性质的数列A，定义数列，其中.
（1）对，写出所有具有性质的数列A；
（2）对数列，其中，证明：存在具有性质的数列A，使得与为同一个数列；
（3）对具有性质的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个.


2022北京东城高三一模
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，因此，.
故选：D.
2. 下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.
【详解】A. 函数定义域为，值域为R；
B. 函数的定义域为R，值域为；
C. 函数的定义域为R，值域为R；
D. 函数的定义域为，值域为，
故选：C
3. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法的运算性质，结合复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】由，所以的虚部为，
故选：B
4. 已知数列的前项和，则是（ ）
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为3的等差数列
C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列
【4题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列的第项与前项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以当时，有，
，得，
当时，适合上式，
因为，
所以该数列是以2为公差的等差数列，
故选：A
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以
；
故选：C
6. 已知正方体的棱长为1，为上一点，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】由为到平面的距离， 所以根据体积法可得，代入数值即可得解.
【详解】
由为正方体，
显然为到平面的距离，
所以，
故选：D
7. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】这3个节气中含有“立春”的概率为,
故选：B
8. 已知、，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【8题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，由基本不等式可得，则，，
所以，“”“”；
若，可取，，但，
所以，“”“”.
因此，“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
9. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【9题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C
轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】由得 ，
故 由得，
由得，设 ，则 ，
即，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则，
整理得 ，代入到中，
得： ，即C轨迹的圆心在圆上，
故点（1,1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ，
故选：B
10. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
【10题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】经过天后，用户人数，根据题意可求得，由小程序发布经过10天后有2000名用户，可得，当用户达到50000名时有，根据对数运算，即可求得答案.
【详解】经过天后，用户人数
又小程序在发布时已有500名初始用户

又小程序发布经过10天后有2000名用户

即，可得
……①
当用户达到50000名时有
即，可得
……②
联立①和②可得，即
故
用户超过50000名至少经过的天数为34天
故选：D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）
【11题答案】
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为，
令，所以常数项为，
故答案为：
12. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则________.

【12题答案】
【答案】5
【解析】
【分析】设出互相垂直的两个单位向量，根据向量的加法表示出，，利用数量积的运算律求解即可.
【详解】设网格中方向向右，向上的单位向量分别为，且，
则,,
所以，
故答案为：5
13. 已知抛物线过点，则________；若点，在上，为的焦点，且，，成等比数列，则________.
【13题答案】
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据点在抛物线上，代入可得，再由抛物线定义可得，，，又，，成等比数列，代入即可得解.
【详解】由抛物线过点，
可得，所以，
根据抛物线定义可得，
，，
由，，成等比数列，
所以，
可得，
所以.
故答案为：，.
14. 已知函数若，则不等式解集为________；若恰有两个零点，则的取值范围为________.
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】当时，不等式可转化为或，解不等式即可求解；
分，和分别讨论的零点个数即可求解；
【详解】当时，
则不等式可转化为或
解得或，
所以，则不等式的解集为；
由题意可知的零点个数可转为与的零点个数之和，
当时，没有零点，没有零点，
此时没有零点；
当时，没有零点，有且仅有一个零点，
此时只有一个零点；
当时，没有零点，
由可得，令，
则，
易知在上单调递减，在单调递增，
；
此时要有两个零点则必有；
综上所述若恰有两个零点，则的取值范围为.
故答案为：；
15. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段表示角楼的高，，，为三个可供选择的测量点，点，在同一水平面内，与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为________.（只需写出一种方案）


①，两点间的距离；
②，两点间的距离；
③由点观察点的仰角；
④由点观察点的仰角；
⑤和；
⑥和.
【15题答案】
【答案】①③④或②③⑤
【解析】
【分析】若要求角楼的高即长，必要知道一边长，若知，两点间的距离长，在梯形中解和即可，此时可选①③④；若知，两点间的距离即长，则解和
即可得解，此时可选②③⑤.
【详解】经分析可知，若选①③④，
在中，，，，
所以 ，
所以，
所以，其中各个量均已知；
若选②③⑤，
已知和，则，
由，
所以，
所以 其中各个量均已知.
其他选择方案均不可求得长.
故答案为：①③④或②③⑤
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设，求函数在上的单调递增区间.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【16~17题答案】
【答案】（1）选择①④或③④均可得到
（2）和
【解析】
【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简函数，即可得到②与题设冲突，再分选择①③、①④、③④三种情况讨论，分别根据正弦函数的性质求出、，即可求出函数解析式；
（2）由（1）可得，再利用二倍角公式及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为，所以，
显然当时为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即最大值，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；
若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，所以
，又的最大值为，所以，解得，所以；
【小问2详解】
解：由（1）可得

令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，又，所以在上的单调递增区间有和；
17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
【17~18题答案】
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，因为，
所以，即，
【小问2详解】
设平面的法向量为，
，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为：
.

18. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度
性别
未上学
小学
初中
高中
大学
专科
大学
本科
硕士
研究生
博士
研究生
男
0.00
0.03
0.14
0.11
0.07
0.11
0.03
0.01
女
0.01
0.04
0.11
0.11
0.08
0.12
0.03
0.00
合计
0.01
0.07
0.25
0.22
0.15
0.23
0.06
0.01

（1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
（2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明）
【18~20题答案】
【答案】（1）;
（2）答案见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）结合概率乘法的计算公式即可求出结果；
（2）求出X的可能取值，进而求出对应的概率，即可求出结果；
（3）根据平均数的概念即可得出结论.
【小问1详解】
因为在该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例为0.06，
则估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率85％；
【小问2详解】
该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为0.23+0.06+0.01=0.3，
X的可能取值为0，1，2，
则,
,
,
故X的分布列为

0
1
2

0.49
0.42
0.09
,
【小问3详解】
.
19. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
（2）若在上有最大值，求的取值范围.
【19~20题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，即可求得实数的值；
（2）分、、三种情况讨论，利用导数分析函数
的单调性，利用函数的最值与极值的关系可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
，
由已知可得，解得.
【小问2详解】
解：因为，令.
①当时，对任意的，恒成立，则，
此时函数在上单调递减，没有最大值；
②当时，在上单调递减，则，则，
此时函数在上单调递减，没有最大值；
③当时，方程的两根分别为，，
由可知，列表如下：









增
极大值
减
所以函数在处取得最大值，
综上所述，实数的取值范围是.
20. 已知椭圆的离心率为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点.是否存在常数，使得直线与直线
的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【20~21题答案】
【答案】（1）
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）由求出，再根据求出，可得结果；
（2）设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到与，将化为，即，再结合韦达定理可得对恒成立，从而可得.
【小问1详解】
由题意可知，，解得，
所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
直线的方程为，
联立，消去并整理得，
则，得，
设，，
则，，
依题意可得，
因为在，之间，所以，所以,
因为，
所以 得，
得，
得，
将，代入上式并整理得，对恒成立，
所以，即，
故存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有.
【点睛】关键点点睛：利用平面集合知识将化为后，再结合韦达定理求解是解题关键.
21. 设数列.如果，且当时，，则称数列A具有性质.对于具有性质的数列A，定义数列，其中.
（1）对，写出所有具有性质的数列A；
（2）对数列，其中，证明：存在具有性质的数列A，使得与为同一个数列；
（3）对具有性质的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个.
【21~23题答案】
【答案】（1）、、
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列的定义，得到且，，，确定，按照或分别讨论可得答案；
（2）设数列：中恰有项为1，在按照、、三种情况分别讨论可证结论；
（3）按照的奇偶分类讨论，结合数列的定义可证结论.
【小问1详解】
因为，所以，则
因为，，，所以，，，
又，
所以，或，
当时，，
当时，或，
综上所述：所有具有性质的数列A为：、、.
【小问2详解】
由于数列：，其中，
不妨设数列：中恰有项为1，
若，则符合题意，
若，则符合题意，
若，则设这项分别为，
构造数列，令分别为，
数列的其余各项分别为，
经检验数列符合题意.
【小问3详解】
对于符合题意的数列，
①当为奇数时，存在数列符合题意，
且数列与不同，与相同，
按这样的方式可由数列构造出数列，
所以为奇数时，这样的数列有偶数个，
当时，这样的数列也有偶数个，
②当为偶数时，
如果是数列中不相邻的两项，交换与得到数列符合题意，
且数列与不同，与相同，
按这样方式可由数列构造出数列，
所以这样的数列有偶数个，
如果是数列中相邻的两项，由题设知，必有，，，
除这三项外，是一个项的符合题意的数列，
由①可知，这样的数列有偶数个，
综上，这样的数列有偶数个.
【点睛】关键点点睛：正确理解数列的定义，并利用定义求解是解题关键.