2022年湖北省黄冈市红安县思源实验学校中考数学模拟试卷（含解析）

2022年湖北省黄冈市红安县思源实验学校中考数学模拟试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 年北京一张家口冬季奥运会预算开支亿美元，政府补贴占，约万美元，其中万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知数据，，，，，，将这组数据都减去这组数据的平均数得到一组新的数据，则这两组数据下列统计量相同的是

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

6. 在等腰三角形中，，是边上一点，以为直径的恰好与相切于点，则的长为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在正方形中，若以边为底边向其形外作等腰直角，连接，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，正方形的边长为，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 分解因式：______．
10. 已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则此圆锥的侧面积是______．
11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．
12. 已知二次函数，当时，则这个二次函数的表达式是______．
13. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是______．
    
    
     

14. 如图，在平行四边形中，，，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，且轴，点的横坐标为，点的纵坐标为，恰有一条双曲线同时经过，两点，则点的纵坐标是______．
     

15. 如图，在中，，，以中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在弧上，则图中阴影部分面积为______．
    
     

16. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿折叠，若点与点恰好重合，则______．
    
     

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，已知，，．
    请说明的理由．
    若是的中点，是的中点，已知，，求的长度．
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

19. 在学校组织的迎接建党周年知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为，，，四个等级，其中相等级的得分依次记为分，分，分，分．学校将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成统计图．
    根据统计图，求出在此次竞赛中二班成绩为的人数．
    请完成下面的表格：

结合以上统计量，请你从不同角度分析两个班级的成绩．

20. 如图，一次函数与反比例函数相交于、两点，与轴，轴分别交于、两点，已知，的面积为．
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    连接，，点是线段的中点，直线向上平移个单位将的面积分成：两部分，求的值．

21. 如图，是的弦，为上一点，过点作的垂线与的延长线交于点，连接并延长，与交于点，连接，．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．
     

22. 年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

若该公司三月份的销售收入为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
如果公司四月份投入成本不超过万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．






 

23. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，以为底边，在线段的上方找一点，使，，连接、．
    如图，当旋转角时，请直接写出线段与线段的数量关系；
    当时，
    如图，中线段与线段的数量关系是否还成立？并说明理由．
    如图，当点、、三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．

求的值和抛物线的解析式；

点在抛物线上，且点的横坐标为轴交直线于点，点在直线上，且四边形为矩形如图若矩形的周长为，求与的函数关系式以及的最大值；

是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【解答】
解：的相反数是．
故选A．  

2.【答案】

【解析】

解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：二次函数的对称轴为轴，
若图象经过点，
则该图象必经过点．
故选：．
先确定出二次函数图象的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性解答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：选项A：和不是同类项，不能合并，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：，符合题意；
选项D：，不符合题意；
故选：．
直接利用合并同类项法则、单项式乘法、幂的乘方以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：数据，，，，，的平均数为：．
数据，，，，，，将这组数据都减去这组数据的平均数得到一组新的数据，则新数据，，的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变；
故选：．
根据平均数和方差的特点，这组数据都减去这组数据的平均数得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案．
本题考查了方差和平均数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：连接，
，
，
，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质得到，，推出，根据切线的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：如图，过点作于，

在正方形中，若以边为底边向其形外作等腰直角，
，，
，
，
，
，
故选：．
作于，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，再利用正方形的性质得，进而利用勾股定理解答即可．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：根据题意和图形可知：，，
所以与之间函数关系的大致图象是选项D展示的图形．
故选D．
主要考查了能通过分析题中的实际意义找出变量之间的关系和函数图象的读图能力．
要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 

9.【答案】

【解析】

解：

．
故答案为：．
应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
 

10.【答案】

【解析】

解：圆锥的侧面积
故答案为．
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

11.【答案】

【解析】

解：多边形的内角和公式为，
，
解得，
这个多边形的边数是．
故答案为：．
根据内角和定理即可求得．
本题主要考查了多边形的内角和定理即，难度适中．
 

12.【答案】

【解析】

解：二次函数，当时，，
，
解得：，
这个二次函数的表达式是：．
故答案为：．
根据当时，，直接代入函数解析式，得出的值，即可得出答案．
此题主要考查了代数式求值，得出的值是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：由图象可知，抛物线经过原点，
所以，解得，
图象开口向下，，
．
故答案为．
由图象可知，抛物线经过原点，二次函数与轴交点纵坐标为，所以，解得的值．再图象开口向下，确定的值．
主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得的值，简单的图象最少能反映出个条件：开口向下；经过原点，利用这两个条件即可求出的值．
 

14.【答案】

【解析】

解：连接，作于，于，如图，
，
，
在中，，
设，则，
，
在中，，
，
四边形为平行四边形，
，，，
而轴，
轴，
在中，，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，，，
双曲线同时经过，两点，
，即，
整理得，解得舍去，，
，
故答案为：．
连接，作于，于，如图，先利用三角函数的定义得到，设，则，，，再利用平行四边形的性质得到，，，接着计算出，，然后表示出，，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，解方程求出即可求得点的纵坐标．
本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质；会运用三角函数解三角形；理解坐标与图形性质．
 

15.【答案】

【解析】

解：连接，如右图所示，
在中，，，
，
以中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在弧上，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
与的面积之和等于与的面积之和，
四边形的面积等于的面积，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积等于扇形的面积与四边形的面积之差，再根据题目中的数据即可解答本题．
本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】

【解析】

解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
，
点在的垂直平分线上，
又是的垂直平分线，
点是的外心，

，
将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，．
连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
 

17.【答案】

解：


．
 

【解析】

本题涉及二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂等考点的运算．
 

18.【答案】

解：的理由如下：
，，
．
．
，
．
．
在中，，，
．
是的中点，
．
是的中点，，
是的中位线．
．
 

【解析】

由，可得到，根据平行线的性质得到结合可得结论；
利用勾股定理先求出的长，再根据斜边与其中线的关系求出的长，最后利用中位线定理求出．
本题考查了平行线的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、中位线的性质等知识点，综合性较强，学会分析，综合利用各个知识点是解决本题的关键．
 

19.【答案】

【解析】

解：根据统计图可得：
总人数是：人，
此次竞赛中二班成绩为的人数为人；
根据图形可得：
级所占的百分比是：，
一班数据出现次，出现次数最多，所以众数为分，
二班分的有人，
分的有人，
分的有人，
分的有人，
按从小到大顺序排列，中位数为分；

故答案为：，．
从平均数的角度看两班成绩一样，从中位数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好；
从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看二班比一班的成绩好，所以二班成绩好．
根据图形求出总人数，再用总人数二班成绩为的人数所占百分比即可；
先求出所占的百分比，再根据总人数和它在扇形统计图中所占的百分比求出各个等级的人数，按找中位数和众数的方法得出中位数和众数；
从中位数和平均数的角度结合的计算结果分析即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】

解：由题意点，
在中，，，
，
，
把代入，得到，
一次函数的解析式为，
的面积为，设，
，
，
，
，
，
反比例函数的解析式为
设平移后的中交于，交于．
由，解得或，
，，
，
直线的解析式为，
，
，
：：，
：：，
：：，
，
，
直线的解析式为，
．
 

【解析】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
解直角三角形求出点坐标，再利用三角形的面积公式求出点坐标即可解决问题；
设平移后的中交于，交于利用方程组求出点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，求出直线的解析式，再证明：：，推出：：，推出，可得，求出直线的解析式即可解决问题；
 

21.【答案】

证明：连接，
，
，
，
，

，
，
，
，
是的切线；
解：连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
 

【解析】

连接，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
连接，，根据圆周角定理得到，推出，得到，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】

解：设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是万只和万只，
由题意可得：，
解得：，
答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是万只和万只；
设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是万只和万只，利润为万元，
由题意可得：，
，
是一次函数，随的增大而增大，
时，有最大利润万元，
答：安排生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只，最大利润为万元．
 

【解析】

本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是万只和万只，由“某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只和该公司三月份的销售收入为万元”列出方程组，可求解；
设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是万只和万只，利润为万元，由“四月份投入成本不超过万元”列出不等式，可求的取值范围，找出与的函数关系式，由一次函数的性质可求解．
 

23.【答案】

解：，理由如下：
，
，
，
，
作于，

，，
，，
，
，
，
；
仍然成立，
，
，
由知，，
∽，
，
；
四边形是平行四边形，理由如下：
设与交于，作于，，交的延长线于，

与知，∽，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
由知，，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】

作于，利用含角的直角三角形的性质得，再利用平行线分线段成比例定理可得答案；
利用∽，可得；
设与交于，作于，，交的延长线于，与知，∽，得，可证明，设，则，，，，再利用平行线分线段成比例可得，从而证明，进而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，证明是解决问题的关键．
 

24.【答案】

解：直线：经过点，
，
直线的解析式为，
直线：经过点，
，
抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；

令，则，
解得，
点的坐标为，
，
在中，，
，
轴，
，
在矩形中，，
，
，
点的横坐标为，
，，
，
，
，且，
当时，有最大值；


绕点沿逆时针方向旋转，
轴时，轴，设点的横坐标为，
如图，点、在抛物线上时，点的横坐标为，点的横坐标为，
，
解得，
如图，点、在抛物线上时，点的横坐标为，点的纵坐标比点的纵坐标大，
，
解得，
综上所述，点的横坐标为或．
 

【解析】

把点的坐标代入直线解析式求出的值，再把点的坐标代入直线求解即可得到的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
令求出点的坐标，从而得到、的长度，利用勾股定理列式求出的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得，再解直角三角形用表示出、，根据矩形的周长公式表示出，利用直线和抛物线的解析式表示的长，整理即可得到与的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；
根据逆时针旋转角为可得轴时，轴，然后分点、在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；点、在抛物线上时，表示出点的横坐标，再根据两点的纵坐标相差的长度列出方程求解即可．
本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于根据旋转角是判断出轴时，轴，注意要分情况讨论．