中考数学最值问题 精品课件

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中考数学“最值”问题中考数学专题复习 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用 无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型 2、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值1、归于几何模型，这类模型又分为一下几种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”（3）归于“与圆相关的最值问题”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。利用几何模型求最值（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”条件：如下左图，A、B是直线同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．ABP（2）归于“三角形两边之差小于第三边”利用几何模型求最值条件：如下图，A、B是直线L异侧的两个定点．问题：在直线上确定一点P，使lPA-PBl的值最大．方法：作A点关于直线的对称点A1，连结B交直线L于点P，则丨PA-PB丨的值最大PABA1P1（3）归于“与圆相关的最值问题”利用几何模型求最值方法：利用圆的相关性质，解三角形知识处理1）圆的相关最值2）可转化为圆的最值问题方法：转化为圆的最值，辅助圆等方法1）圆的相关最值2）可转化为圆的最值问题利用函数模型求最值（1）一次函数模型（2）二次函数模型方法：利用题目所给条件求出目标函数解析式，然后结合函数图像的单调性（增减性），处理函数的最值。注意：函数的自变量取值范围【例1】已知二次函数y=-(x-h)2.(1)若当x＜3时,y随x的增大而增大,当x＞3时,y随x的增大而减少,则h=___.(2)若当x＜3时,y随x的增大而增大,则h的取值范围为______.(3)当自变量x的取值满足2≤x≤5时,函数值y的最大值为-1,则h=______.3h≥31或6【例2】点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上,则m-n的最大值等于( ) A.15/4 B.4 C.-15/4 D.-17/4C∵y轴为对称轴把P(m,n)代入y=x2+ax+4得：n=m2+4∴m-n=m-(m2+4)=-(m-1/2)2-15/4∴a=0∴m-n的最大值为-15/41.已知二次函数y=(x-h)2+1,在1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或32.已知二次函数y=x2-2x-3,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0,03.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3,当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a=____.4.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两个点),顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是__________.B利用二次函数的区间最值求值A11.已知二次函数y=(x-h)2+1,在1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或32.已知二次函数y=x2-2x-3,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0,03.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3,当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a=____.4.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两个点),顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是__________.BA1利用二次函数的区间最值求值1.若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a＞0)两根相差1,令t=12a-b2,则t的最大值为____.2.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)(m＜n)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是_____.1.解析：Δ=b2-4a∴b2=a2+4a∴t=12a-b2=12a-(a2+4a)∴t=-(a-4)2+16当a=4时,tmax=1616利用二次函数求代数式的最值7/42.解析：y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1∴对称轴为x=-2∵AB≤4,A(m,3),B(n,3)∴当m=-4,n=0时a最小把B(0,3)代入y=ax2+4ax+4a+1得a=1/2∴a2+a+1=(a+1/2)2+3/4=(1/2+1/2)2+3/4=7/4【例3】抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,交y轴于点C,在直线AC上方的抛物线上,是否存在一点P使△PAC面积最大？最大面积是多少？解：连接OP,设点P的坐标为(m,-m2+2m+3).S△PAC=S△PAO+S△PCO-S△ACO=1/2AO·|yP|+1/2CO·|xP|-1/2×3×3=3/2(-m2+2m+3)+3/2·m-1/2×3×3=-3/2(m-3/2)+27/8当t=3/2时,△PAC面积最大值为27/8.利用二次函数求面积的最值【变式1】如图,抛物线y=ax2+bx-3交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且OA=OC=3OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.(1)求此抛物线的表达式；(2)求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.(1)y=x2+2x-3(2)△PAC面积的最大值为27/8,P(-3/2,-15/4)【变式2】如图,抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，D(-2,y)是抛物线上一点,P为直线BE上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为m.当m为何值时,△PBE的面积最大？ S△PAC=S△PBH+S△PDH-S△BDH=-1.5(m+0.5)2+27/8H利用二次函数求面积的最值1.如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？解：令正方形的边长为1,设AE=x,则BE=1-x.∵四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，∴BF=CG=DH=AE=x,CF=DG=AH=BE=1-x.∴S正方形EFGH=HE2=AE2+AH2=x2+(1-x)2=(x-0.5)2+0.5∴当x=0.5时,正方形EFGH的面积最小值为0.5∴E为AB的中点时，正方形EFGH的面积最小利用二次函数求面积的最值解：设一直角边长为x,则另一直角边长为_____,依题意得：2.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？(8-x)当x=4时,Smax=8.∴当两直角边都为4时,这个三角形面积最大,最大值为8.利用二次函数求面积的最值7.某超市以10元/件购进某种商品,(1)设该商品的销售单价为x(元/件)(11≤x≤19),在销售过程中发现,该商品的日销售量y(单位:件)与销售单价x之间存在一次函数关系,x,y之间的部分数值对应关系如右表.请写出y与x之间的函数关系式；(2)设该商品的日销售利润为w元,当该商品的销售单价x(元/件)定为多少时,日销售利润最大?最大利润时多少?(1)y与x之间的函数关系式为y=-2x+40(11≤x≤19).(2)根据题意，得w=(-2x+40)(x-10)=-2(x-15)2+50.(11≤x≤19)∵-2＜0,∴当x=15时，wmax=50.∴当甲商品的销售单价定为15元/件时,日销售利润最大,最大利润时50元。二次函数的最值问题