2022年中考九年级数学二轮专题复习几何探究题优质课件

这是一份2022年中考九年级数学二轮专题复习几何探究题优质课件
专题十二　几何探究题例1　如图，正方形ABCD和正方形CEFG(其中BD＞2CE)，BG的延长线与直线DE交于点H，连接CH.求证：BH－DH＝ CH.∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝90°－∠GCD＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，例1题图证明：如解图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK，1. 若题中已知45°角，常通过作垂线构造等腰直角三角形；2. 若题中无45°角，常通过寻找直角，作腰相等构造等腰直角三角形．类型二　构造含30°角的直角三角形( 、 倍的数量关系)例2　如图，△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，E是线段CD上一点，连接AE，BE，使得AE⊥BE，且∠AED＝2∠BED，求证：CE＝ BE.证明：如解图，在CD上截取CF＝AE，过点F作FG⊥BE于点G，连接FB，∵AE⊥BE，∠AED＝2∠BED，∴∠AED＝60°，∠BED＝30°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠EAC＋∠ACD＝60°，∠ACD＋∠FCB＝60°，∴∠EAC＝∠FCB，例2题图1. 若题中已知30°角，常通过作垂线构造含30°角的直角三角形；2. 若题中无30°角，常通过寻找直角，截长补短构造含30°角的直角三角形.微点突破 截长补短构造线段和差1. 遇角平分线构造对称图形如图，在△ABC中，∠1＝∠2.(1)截长法(在AB上截取AE＝AC，连接DE，则有△ACD≌△AED)(2)补短法(延长AC到点F，使得AF＝AB，连接DF，则有△ABD≌△AFD)2. 遇垂线构造对称图形(1)截长法(2)补短法例1　如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC.求证：AC＋CD＝AB.例1题图【思维教练】要证AC＋CD＝AB，可用截长法构造全等三角形，结合角度之间的关系得到线段之间的关系，即可得证．例1题图F证明：如解图，在AB上截取AF＝AC，连接DF，∴∠AFD＝2∠B，∵∠AFD＝∠B＋∠BDF，∴∠BDF＝∠B，∴BF＝DF，∴BF＝CD，∴AC＋CD＝AF＋BF＝AB.例1题图F例2　如图，在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上一点，且AD＝AC，在AB边上取一点F，使DF＝DB.求证：AF＝BC.例2题图【思维教练】要证AF＝BC，可用补短法构造全等三角形，结合已知可得到特殊三角形，从而得到线段之间的关系，即可得证．E证明：如解图，延长BC到E，使CE＝BD，连接AE，例2题图∴AB＝AE，∵∠B＝60°，DF＝DB，∴△ABE与△DBF为等边三角形，∴AB＝BE，BF＝BD＝CE，∴AB－BF＝BE－CE，即AF＝BC.E例2题图例3　如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D.求证：CD＝BD＋AB.例3题图【思维教练】要证CD＝BD＋AB，可构造等腰三角形并根据等腰三角形的性质转化边之间的关系，从而得证．P例3题图证明：如解图，在DC上截取DP＝BD，连接AP，令∠C＝α，∵BD＝DP，AD⊥BC，∴AB＝AP，∠B＝∠APB＝2α.∵∠C＋∠PAC＝∠APB，∴∠C＝∠PAC＝α，∴AP＝PC，∴CD＝DP＋PC＝BD＋AB.令∠C＝α，∵BP＝AB，∴∠BAP＝∠P，∵∠BAP＋∠P＝∠ABD＝2α，∴∠P＝∠BAP＝α，∵∠ABD＝2∠C＝2α，∴∠P＝∠C，P例3题图【一题多解】方法一：如解图，延长DB至P，使BP＝AB，连接AP，∴AP＝AC，又∵AD⊥PC，∴DP＝DC，∴DC＝DP＝BD＋PB＝BD＋AB.P例3题图令∠C＝α，∵DP＝DC，AD⊥PC，∴AP＝AC，∴∠C＝∠P＝α，又∵∠ABC＝∠C＝2α，∴∠P＝∠PAB＝α，∴AB＝PB，∴DC＝DP＝DB＋BP＝DB＋AB.P例3题图方法二：如解图，延长DB至P，使DP＝DC，连接AP，微点突破 半角模型解题思路：找共顶点的等边；旋转等边所在的三角形使得两条等边重合，构造全等三角形；注意是否要考虑三点共线．1. 含45°角的半角模型已知正方形ABCD中，∠EAF＝45°，旋转△ADF至△ABG.结论：①△AEF≌△AEG；②EF＝EG＝BE＋DF.2. 含60°角的半角模型已知△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，BD＝CD，旋转△BDE至△CDG.结论：①△DEF≌△DGF；②EF＝GF＝BE＋CF.3. 含30°角的半角模型已知△ABC是等边三角形，∠DAE＝30°，旋转△ABD至△ACF.结论：①△ADE≌△AFE；②∠ECF＝120°；③C△ECF＝BC＝AB＝AC.例1　 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，分别连接EF、AE、AF，∠EAF＝45°.求证：(1)EF＝BE＋DF；例1题图【思维教练】要证EF＝BE＋DF，可通过旋转△ADF将BE＋DF转化到同一线段上，结合三角形全等即可得证．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，由旋转的性质可得，∠ABG＝∠D＝90°，∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，BG＝DF，∴∠GAE＝∠BAG＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°＝∠EAF，在△AEF和△AEG中，例1题图G证明：(1)如解图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴EF＝EG.∵∠ABG＋∠ABC＝90°＋90°＝180°，∴G、B、E三点共线．∴EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF；G例1题图(2)AF平分∠EFD.例1题图【思维教练】要证AF平分∠EFD，根据三角形全等得到角度的相等关系，从而得证．(2)由(1)得△AEF≌△AEG，∴∠AFE＝∠AGE＝∠AFD，∴AF平分∠EFD.例2　如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.(1)探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；例2题图【思维教练】要探究三条线段之间的关系，可通过三角形旋转将其中两边转化到同一线段上，利用三角形全等即可得证三条线段之间的关系．∴△MBD≌△ECD，∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴点A，C，E三点共线，∴∠BDM＋∠NDC＝∠BDC－∠MDN＝60°，∴∠CDE＋∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，∴∠MDN＝∠NDE，例2题图E解：(1)MN＝BM＋NC；理由如下：如解图，将△BDM绕点D顺时针旋转120°，得到△CDE，在△DMN和△DEN中，∴△DMN≌△DEN(SAS)，∴MN＝EN，又∵NE＝NC＋CE，BM＝CE，∴MN＝BM＋NC；(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．【思维教练】要求△AMN的周长，可将△AMN的各边转化到已知线段长中，结合等边三角形性质求解即可．(2)∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，由(1)可得，BM＝CE，MN＝EN，△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋NE＋AN＝AM＋AN＋NC＋CE＝AM＋AN＋NC＋BM＝(AM＋BM)＋(NC＋AN)＝AB＋AC＝2＋2＝4. 微点突破 图形旋转构造全等、相似三角形1. 共顶点等腰三角形旋转构造全等三角形：如图，已知等腰△OAB，OA＝OB，等腰△OCD，OC＝OD，将△OCD绕点O旋转，E为AC、BD的交点．结论：①△OAC≌△OBD；②AC＝BD；③∠AEB＝∠AOB；④连接OE，则OE平分∠AED.2. 共顶点不等边三角形旋转构造相似三角形：如图，已知△OAB，△OAB∽△OCD，将△OCD绕点O旋转，直线AC与BD交于点E.结论：①△OAC∽△OBD；② ＝ ；③∠AEB＝∠AOB.例1　在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE.(1)如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝52°，BD与CE交于点F，求∠BFC的度数；【思维教练】要求∠BFC的度数，可通过边角关系，证得三角形全等，从而得到角的关系，根据三角形内角和为180°即可求得．(1)解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE＝∠ABD，∴∠FBC＋∠BCF＝∠FBC＋∠ACB＋∠ACE＝∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝180°－52°＝128°，∴∠BFC＝180°－∠FBC－∠BCF＝52°；(2)如图②，若△ABC和△ADE均为等边三角形，且点D在BC边上，连接CE.求证：CA＝CE＋CD；【思维教练】要证CA＝CE＋CD，根据两个等边三角形得到角与边的相等关系，进而证得三角形全等，从而得到线段之间的关系，由此即可得证．(2)证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝CE＋CD，∴CA＝BC＝CE＋CD；(3)如图③，若AB＝AC，AD＝AE，M、N分别是BD、CE的中点，连接AM，AN，MN.求证：△AMN∽△ABC.【思维教练】要证△AMN∽△ABC，先通过边角关系证明三角形全等，由此结合角度的转化得到一组角相等，根据两边对应成比例、夹角相等即可得证．(3)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠EAC＝∠DAB，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，∵点M、N分别是BD、CE的中点，CE＝BD，∴CN＝BM，∴△CAN≌△BAM(SAS)，∴AN＝AM，∠CAN＝∠BAM，∴∠CAN＋∠BAN＝∠BAM＋∠BAN，即∠CAB＝∠NAM，∵AC＝AB，AN＝AM，∴ ＝ ，∴△AMN∽△ABC.类型一　与全等三角形有关的问题例　如图①，在等边△ABC中，AB＝6，BD＝CE, AD、BE交于点F.(1)求证：△ABD≌△BCE；【思维教练】根据等边三角形的性质结合题中所给线段关系即可证得.(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE(SAS)；例题图①(2)当∠FAE＝45°时，求AE的值；【思维教练】由(1)中结论可判断△ABE中有两个特殊角，通过作垂线构造两个特殊直角三角形，简化图形如下图，设出AH的值并列等式即可求得AE的长．H∟例题图①(2)解：如解图，作EH⊥AB，垂足为H，【思维教练】F点在等边三角形内部时，考虑构造等边三角形，延长BE至G，使得FG＝FA，由(1)中所证全等结合等边三角形的性质可得∠AFG＝60°，则△AFG为__________，从而可证得△ABF________△ACG，所以∠AGC＝∠AFB＝________，所以∠FGC＝60°，所以AF∥CG ，此时__________，结合30°的Rt△GFC即可得证线段关系．等边三角形≌120°例题图②G(3)证明：如解图，延长BE至G，使FG＝AF，连接AG，CG，由(1)知∠AFE＝60°，∠BAD＝∠CBE，∴△AFG是等边三角形，∴∠FAG＝60°，AF＝AG，∴∠BAC＝∠FAG＝60°，∴∠BAC－∠CAD＝∠FAG－∠CAD，即∠BAF＝∠CAG，在△BAF和△CAG中，∴△BAF≌△CAG(SAS)，∴∠ABF＝∠ACG，CG＝BF，又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE，∴∠ABC－∠CBE＝∠BAC－∠BAD，即∠ABF＝∠CAF，∴∠ACG＝∠CAF，∴AF∥CG，例题图②G∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°，∴CF⊥CG，∠CFG＝30°，∴FG＝2CG，∴FG＝2BF，∵FD∥CG，∴ ，∴BD＝ DC.例题图②G类型二　与相似三角形有关的问题(2019.23)例　(2021科大附中三模)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，F，E是AC上两点，连接BE，DF交于△ABC内一点G，且∠EGF＝45°.(1)如图①，若AE＝3CE＝3，求BG的长；【思维教练】要求BG的长，根据AE＝3CE＝3及△ABC为等腰直角三角形，可求出CE＝________，AE＝________，AB＝________，BC＝________，BD＝________，BE＝________，观察BG所在三角形，可简化图形如下图，根据∠EGF＝45°结合对顶角性质，利用两组对角相等的三角形相似，得到________∽________ ，列出对应线段比，代值求解即可．1345△BGD△BCE解：(1)∵AE＝3CE＝3，∴CE＝1，AE＝3，∴AB＝AC＝4，∵∠A＝90°，∴BE＝ ＝ ＝5，BC＝4 ，∠C＝45°，∵D是BC的中点，∴BD＝2 ，∵∠C＝∠EGF＝∠BGD＝45°，∠DBG＝∠CBE，∴△BGD∽△BCE，【思维教练】连接AD，要证∠EAG＝∠ABE，可简化图形如图①，证明△ABG∽________即可，要证三角形相似，需得到边的关系，简化图形如图②，图中 △ABD ∽________，可得到线段关系为________，根据(1)中的相似三角形得到边的关系为__________，等量代换即可证得两组对边成比例，其夹角相等证得目标三角形相似，即可得证角相等．(2)如图②，连接AG，求证：∠EAG＝∠ABE；△EBA△CBA(2)证明：如解图，连接AD，例题图∴AB2＝BG·BE，∴ ，∵∠ABG＝∠ABE，∴△ABG∽△EBA，∴∠AGB＝∠BAE＝90°，∴∠EAG＋∠BAG＝∠BAG＋∠ABE＝90°，∴∠EAG＝∠ABE；例题图(3)若E为AC的中点，求EF∶FD的值．【思维教练】要求EF∶FD的值，可简化图形如下，斜A字型证明△FEG∽______，得到边的比例关系，根据E为AC的中点，结合(2)中所证得的△AGE∽△BAE，进行边之间的转化，从而求得线段比值．△FDC(3)∵∠FGE＝∠C＝45°，∠EFG＝∠DFC，∴△FEG∽△FDC，∴ ，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵△AGE∽△BAE，∴ ，设EG＝m，则AG＝2m，类型三　与全等和相似三角形有关的问题例　 (2020安徽23题·源于沪科八下P104复习题T9)如图①，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.例题图①(1)求证：BD⊥EC；【思维教练】要证BD⊥EC，即证明∠EGB＝______，可证∠GEB＋∠EBG＝90°，由∠DAB＝90°，________为△ABD和△BEG的公共角，此时可证明两三角形的另一组角相等，简化图形如下图，根据题干条件证明△AEF________△ADB，由此得到角相等，从而得证垂直．90°∠EBG≌(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB(SAS)，∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠EGB＝90°，即BD⊥EC；【思维教练】要求AE的长，根据题干已知AF＝AB＝______，AE＝AD，线段所在图形为△AEF和△DCF，则可简化图形如下图，根据矩形性质得________∽________，从而得到线段比例关系为________，设AE＝a，则AD＝________，代入比例关系即可求得AE的长．例题图①(2)若AB＝1，求AE的长；1△AEF△DCFa(2)由矩形性质知AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴ ，即AE·DF＝AF·DC，设AE＝AD＝a(a>0)，则有a·(a－1)＝1，化简得a2－a－1＝0，解得a＝ (负值已舍去)，∴AE的长为 ；∠AEFDG≌等腰直角三角形(3)证明：如解图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP，P例题图②【一题多解】方法一：如解图，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，∟Q例题图②【一题多解】如解图，在线段EG上取一点M，使得MG＝DG，连接DM，DE，M例题图②M例题图②