2023届北京市东城区高三一模数学试题查漏补缺练习试题（一）含解析

2023届北京市东城区高三一模数学试题查漏补缺练习试题（一）

一、单选题

1．已知集合，且，则可以是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用子集概念即可作出判断.

【详解】∵

∴，即

故选A

【点睛】本题考查子集的概念，属于基础题.

2．已知集合，且，则集合可以是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.

【详解】由可知，，

对于A：＝，符合题意.

对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；

对于C：＝，不合题意；

D显然不合题意，

本题选择A选项.

【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.

【详解】由于，所以，

所以实数m的取值集合为.

故选：C

4．复数满足，复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的四则运算计算即可.

【详解】因为，

所以，

故选：D.

5．在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数可取（    ）

A．2 B．-1 C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的乘法运算以及复数的几何意义逐一验证求解即可.

【详解】不妨设，则，

结合题意可知：，逐一考查所给的选项：

对于选项A：，不合题意；

对于选项B：，符合题意；

对于选项C：，不合题意；

对于选项D：，不合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了复数的四则运算、复数的几何意义，属于基础题.

6．在复平面内，复数对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数的几何意义可得复数，利用复数的乘法可求得结果.

【详解】由复数的几何意义可知，故.

故选：A.

二、填空题

7．抛物线的准线方程为__________.

【答案】

【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.

【详解】抛物线的准线方程是.

故答案为：.

8．已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______．

【答案】

【分析】根据抛物线的方程求出的值，进一步得出答案.

【详解】因为抛物线，

所以，∴

所以的准线方程为.

故答案为：

9．抛物线的准线方程为__________．

【答案】

【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.

【详解】抛物线的准线方程是.

【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题.

三、单选题

10．已知，，若，则

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

【答案】A

【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.

【详解】由题意，可知，，且，

因为，则，即，

所以，

当且仅当时，等号成立，取得最小值，

故选A．

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

四、填空题

11．已知实数满足，则的最大值为______.

【答案】

【分析】由基本不等式可得，可求出xy的最大值.

【详解】因为取最大值时为，所以，，故，

当且仅当时取等号，的最大值为.

故答案为：.

五、双空题

12．若，则函数的最小值为______，此时______.

【答案】     3     2

【分析】先变形函数解析式，再利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以函数的最小值为3，此时x=2.

故答案为：3，2.

六、单选题

13．在中，.则的面积为（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】A

【分析】由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得和的值，再由即可得解．

【详解】，

，

，

.

解得：，

的面积为.

故选：A.

七、填空题

14．在中，，则的面积为___________.

【答案】

【分析】运用余弦定理求出，最后根据三角形面积公式进行求解即可.

【详解】由余弦定理可知：

或（舍去），

所以的面积为：,

故答案为：

八、单选题

15．已知中，，三角形的面积为，且，则

A． B．3 C． D．-

【答案】B

【分析】由三角形面积公式可得＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可.

【详解】依题意可得：，所以＝4，

由余弦定理，得：，

即：，

据此可得：.

结合可得3.

本题选择B选项.

【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．已知直线平面，则“直线”是“”的（    ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义可判断．

【详解】若直线平面， ，则直线平面或；

若直线平面，直线，则，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

17．设l是直线，，是两个不同的平面（   ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】结合空间中直线、平面的位置关系可逐一判断选项中空间中直线、平面的位置关系是否正确.

【详解】若，，则，可能平行也可能相交，故A错误；

，，则存在，，则，故，故B正确；

若，，则或，故C错误；

若，，则l与相交、平行或，故D错误.

故选：B.

九、填空题

18．已知平面和三条不同的直线m，n，l.给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥.以其中两个论断作为条件，使得成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号）

【答案】①④（或③⑥）

【解析】根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.

【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若，，则，故可填①④

对①⑤，若，，则；

对①⑥，若，，则无法判断的位置关系；

对②④，若，，则；

对②⑤，若，，则可能相交，平行或异面；

对②⑥，若，，则无法判断的位置关系；

对③④，若，，则无法判断的位置关系；

对③⑤，若，，则无法判断的位置关系；

对③⑥，由平行的传递性可知，若，，则，故可填③⑥

故答案为：①④（或③⑥）

【点睛】本题主要考查了判断空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题.

十、解答题

19．已知函数，其中.若曲线在处的切线过点，求的值；

【答案】

【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线，从而得到，求解即可.

【详解】，

，

, 即在处的切线斜率为0，

又当时, ，

在处的切线方程为，

整理得：，

曲线在处的切线过点，

，又，

20．设.当时，直线是曲线的切线，求的值;

【答案】

【分析】根据导数的几何意义求出切点坐标，代入切线方程可求的值.

【详解】当时，，则，

设切点，则，

所以，，

把切点坐标代入切线方程，得.

21．已知函数，函数，其中.如果曲线与在处具有公共的切线，求的值及切线方程.

【答案】，切线方程为

【分析】分析可得，可求出的值，利用导数的几何意义可求得切线方程.

【详解】解：因为函数，函数，则，，

因为曲线与在处具有公共的切线，则，

即，故，

所以，，

故所求切线方程为，即.

十一、双空题

22．已知在直角三角形中，，那么等于______；若是边上的高，点在内部或边界上运动，那么的最大值是____．

【答案】          0

【分析】利用向量数量积的运算求得.利用向量数量积的运算判断出的最大值.

【详解】由于直角三角形中，，

所以，

.

由于，所以.

，

由于，所以的最大值是0．

故答案为：；

十二、单选题

23．已知边长为2的正方形，设为平面内任一点，则“”是“点在正方形及内部”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算可证明必要不充分性.

【详解】解：必要性证明：边长为2的正方形，设为正方形及内部任意一点，以A为原点建立直角坐标系如图：

由题意可知（）

则

，

故

“”是“点在正方形及内部”的必要条件；

充分性证明：

若，则，但是可以为任意值，故点P不一定在正方形及内部.

所以“”是“点在正方形及内部”的不充分条件.

故“”是“点在正方形及内部”的必要非充分条件.

故选：B

24．在平面直角坐标系中，点，，，是圆上一点，是边上一点，则的最大值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，则，因为，所以当，即点与点重合时，有最大值，问题转化为在圆上，求的最大值，

【详解】解：设，则，

所以，

因为，

所以当，即点与点重合时，有最大值，

所以问题转化为在圆上，求的最大值，

因为点在圆上，设点所在的直线为，

因为直线与圆有公共点，

所以圆心到直线的距离不大于半径，即，

所以，解得，即，

所以，

所以的最大值是12，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是当，即点与点重合时，有最大值，问题转化为在圆上，求的最大值，然后利用直线与圆的位置关系求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题

十三、双空题

25．在等比数列中，，则公比_______；若，则n的最大值为_________．

【答案】          3

【分析】首先求出数列的公比、，即可得到数列的通项公式，再根据通项公式对分奇偶讨论，即可得解；

【详解】解：因为，所以，所以，即，所以；所以当为偶数时，，当为奇数时，

要使，所以且为奇数即且为奇数，所以或

故答案为：，

十四、单选题

26．设无穷等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．为递减数列 B．为递增数列

C．数列有最大项 D．数列有最小项

【答案】D

【分析】设等比数列的公比为，分析可知，取，可判断AB选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项.

【详解】设等比数列的公比为，由已知，则，

由可得且，

对于AB选项，若，，

当为奇数时，，此时，则，

当为偶数时，，此时，则，

此时数列不单调，AB都错；

对于CD选项，，

当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；

当时，若为正奇数时，，则，

此时单调递减，则；

当为正偶数时，，则，此时单调递增，则.

故当时，的最大值为，最小值为.

综上所述，有最小项.

故选：D.

27．已知公差不为零的等差数列，首项，若，，成等比数列，记（，），则数列（    ）

A．有最小项，无最大项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项

【答案】D

【分析】根据等差数列、等比中项可求出公差，得出通项公式，由的项的特点求解即可.

【详解】设的公差为，

则，

解得，

，

当时，有最小值，当时有最大值.

故选：D

28．新型冠状病毒肺炎（）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于月日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自月日开始（单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数，），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（    ）

A．月日~月日 B．月日~月日

C．月日~月日 D．月日~月日

【答案】A

【分析】由题对求导得： ，根据基本不等式得：，即可求出答案.

【详解】对求导得： ，

根据基本不等式得：，

当且仅当，即，即，即.

故选：A.

29．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温.根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数性模型：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的待定系数）.已知一只体重为的豚鼠脉搏率为，如果测得一只小狗的体重，那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】理解题意，将数据代入解析式，即可求解.

【详解】由条件可知，求得，

小狗的体重5000g时，

，

，

比较选项，，，

，，最接近的脉搏率.

故选：B

30．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.

【详解】由题设，可得，

所以，则，故，

所以教师用户超过20000名至少经过12天.

故选：D