2022宝鸡高三下学期三模考试数学（理）试题含答案

陕西省宝鸡市2022届高三第三次模拟考试

理科数学试题

(时间：120分钟  满分：150分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设z=1+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2已知集合，则

A． B． C． D．

3. 已知向量满足，则（）

A.  B.  C.  D.

4. 若a<b，则

A.a3−b3>0 B. 2a<2b

C. ln(a−b)>0 D. │a│<│b│

5．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（）（参考数据：，）

A. B. C. D.

6.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则为（）

A．                     B．12              C．4                  D．

7. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数P，使得是素数，素数对称为孪生素数，2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个．可组成孪生素数的概率为（）

A.  B.  C.  D.

8．若某多面体的三视图(单位∶)如图所示，则此多面体的体积是（    ）

A． B． C． D．

9．若,，则的值为（   ）

A． B． C． D．

10．已知函数，则下列说法正确的是（）

A．在区间上单调递减   B.

C．的最大值为 D．在区间上有3个零点

11. 已知点A（-1,0）B（1,0），若过A、B两点的动抛物线的准线始终与圆相切，则该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（）

1. 圆   B.椭圆     C.双曲线   D.抛物线

12.定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）

A. B.C.D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知随机变量X服从正态分布，若，则． 

14.已知函数,则在点处的切线方程为．

15.  在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，的面积为，则的周长是______． 

16.某电视台鉴宝栏目迎来一件清代老银方斗型挂件（图1），古代常用来作为女方陪嫁．该挂件佩戴起来非常漂亮，寓意“斗出斗入，日进万金”之意．其结构由长方体与正四棱台组合而成．图2是与该挂件结构相同的几何体，且，，，为上一点，且，为上一点．若，则的值为______；几何体外接球的体积为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

(一)必考题：共60分．

17．2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11∶13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．

(1)完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．

附：

18.已知数列中，，且．记，

（1）求证：是等比数列；

（2）求数列的前项和.

19．如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1.

(1)证明：；

(2)为的中点，点在线段上，记，求二面角的余弦值.

20.已知椭圆：的离心率为，长轴长为，抛物线：，点是椭圆上的动点，点是抛物线准线上的动点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知（为坐标原点），且点到直线的距离为常数，求的值.

21．已知函数．

(1)函数为的导函数，讨论的单调性；

(2)当时，证明：存在唯一的极大值点，且．

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．如图，在极坐标系中，已知点， 曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，曲线是过极点且与曲线相切于点的圆.

(1)分别写出曲线、的极坐标方程；

(2)直线与曲线、分别相交于点、（异于极点），求面积的最大值.

23．已知函数.

(1)当时，求的解集；

(2)若的解集包含，求实数m的取值范围.

陕西省宝鸡市2022届高三第三次模拟考试

理科数学参考答案

1．D   2．B3．B   4．B   5．D    6．A   7．A   8．C    9．D   10．C   11．C 12．A　　　　　13．0.614.    15.          16.

17．解：(1)根据题意得男生有275人，女生有325人；对冰壶运动有兴趣的人数为400人，对冰壶运动无兴趣的人数为200人，对冰壶运动无兴趣的男生为200-75=125人，对冰壶运动有兴趣的男生为275-125=150人，对冰壶运动有兴趣的女生为325-75=250人，得到如下列联表：

所以，

则有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．…………6分

(2)对冰壶运动有兴趣的一共有400人，从中抽取8人，抽到的男生人数为（人），

女生人数分别为（人）．X的所有可能取值为0，1，2，3．

，，，，

所以X的分布列是：

则．…………12分

18解：（1）证明：由，得，

又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，……6分

（2）由（1）知，则令数列的前项和为,

…………12分

19．(1)证明为直径，点在圆上且不同于点，，

又为母线，平面，又平面，从而，

又，平面，又平面，……6分

(2)解，圆柱的底面直径为2，即，

又为的中点，，即四边形为正方形，两两相互垂直，以为原点，分别以的方向为，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

，，，

，，

，，

设平面的法向量为，

令，易知平面的一个法向量为，

.又由题知二面角为锐二面角，

所求的余弦值为.……12分

20.解：（1）∵长轴长为，∴∵，∴..

∴椭圆的方程为.…………4分

（2）设，，斜边上的高为，，,

，

∵点到直线的距离为常数，由题意为常数.

当的斜率存在时，由题意得的斜率不为0设直线为，则直线为.

由得，∴，∴

由得，∴，∴

∴

∴，∴.

当的斜率不存在时，，，符合点到直线的距离为常数，∴.…………12分

21．解：(1)，设，则．

①当时，，则在上单调递增；

②当时，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．

所以在上单调递减，在上单调递增．…………6分

(2)证明：当时，，，

由（1）可知的最小值为，而，又，

由函数零点存在定理可得存在使得，又在上单调递减，所以当时，，当时，，故为的极大值点，又在上单调递增，故在上不存在极大值点，

所以存在唯一的极大值点，又，，，所以．因为，而，所以．

又为极大值，，所以综上，．…………12分

22．(1)解：由题意可知，曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，结合图形可知，曲线的极坐标方程为.设为曲线上的任意一点，可得．

因此，曲线极坐标方程为．………5分

(2)解：因为直线与曲线、分别相交于点、（异于极点），

设、，由题意得，， 所以，．

因为点到直线的距离为，所以，，

当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.……10分

23．解：(1)当时，.

①当时，，∴，∴，

②当时，，∴，∴.

③当时，，∴，∴不等式无解，

综上，不等式的解集为…………5

(2)由题意可知当时不等式恒成立，

∴当时，恒成立，∴当时，恒成立，

∴当时，恒成立，∴当时，恒成立，

又当时，，∴，即.……10分