湖南省长沙市长郡教育集团2021-2022学年八年级（下）入学数学试卷（含解析）

湖南省长沙市长郡教育集团2021-2022学年八年级（下）入学数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在代数式，，，，中属于分式的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 点关于轴对称的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确

A.  B.  C.  D.

4. 要使式子有意义，则的取值范围是

A.  B. 且 
C. 或  D. 且 

5. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

6. 下列命题的逆命题是真命题的是

A. 若，则 B. 同位角相等，两直线平行
C. 对顶角相等 D. 若，，则

7. 一等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为

A.  B.  C.  D. 或

8. 一个凸多边形的内角和与外角和之比为：，则这个多边形的边数为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，中，，，、的平分线、交于点过点作，分别交、于点、，则的周长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上．顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 在百度百科关于冠状病毒的词条下，标明冠状病毒的平均直径为，用科学记数法表示______
12. 若，，则 ______ ．
13. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______．

14. 计算的结果是______．
15. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，根据是三角形具有______．
    
     

16. 如图，在四边形中，，，，，则 ______ ， ______ ．

三．解答题（本题共12小题，共72分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 分解因式：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 先化简再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，四边形中，，，，，．
    连接，求的长．
    求四边形的面积．
    
     

24. 如图，中，，平分，于，若，．
    求证：≌；
    求的长．
    
     

25. 如图，中，，，为上一点，，于点，于点，、相交于点．
    求的度数；
    求证：；
    若，求线段的长．
    
    
    
    
    
    
     
26. 在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了、两种不同型号的口罩，已知型口罩的单价比型口罩的单价多元，且用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．
    、两种型号口罩的单价各是多少元？
    根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元，则增加购买型口罩的数量最多是多少个？
    
    
    
    
    
    
     
27. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
    材料一：把根式进行化简，若能找到两个数、，是且，则把变成，开方，从而使得化简．
    例如：化简．
    解：，
    ．
    材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“横负纵变点”例如点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
    请选择合适的材料解决下面的问题：
    点的“横负纵变点”为______；
    化简：；
    已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，求点的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
28. 在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，，且有．
    请判断的形状，并说明理由；
    如图，，且，点为的中点，和交于点，求证：；
    如图，点在点的上方运动，以为边在第一象限内作一个等边，延长交轴于点，已知点，求此时的长度．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：是分式的是：，共有个．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点．
明确关于轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．
【解答】
解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选B．  

3.【答案】

【解析】

解：和不能合并，故本选项不符合题意；
B.结果是，故本选项不符合题意；
C.结果是，故本选项不符合题意；
D.结果是，故本选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：由题意得，，，
解得，且，
故选：．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：：三边确定，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不符合题意，
：已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不符合题意，
：已知两边及其中一边的对角，属于“”的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故本选项符合题意，
：已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不符合题意．
故选：．
利用全等三角形的判定定理依次判断每个选项即可．
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、若，，则的逆命题是若，则，，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：．
分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

7.【答案】

【解析】

解：若是腰，则另一腰也是，底是，但是，故不构成三角形，舍去．
若是底，则腰是，．
，符合条件．成立．
故周长为：．
故选：．
根据题意，要分情况讨论：是腰；是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
 

8.【答案】

【解析】

解：设多边形有条边，由题意得：
，
解得：，
故选：．
设多边形有条边，则内角和为，再根据内角和等于外角和倍可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为．
 

9.【答案】

【解析】

解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长



，
的周长为：，
故选：．
根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：作关于的对称点，连接交于，连接，，过作于，
则此时的值最小，
，
，
，
，，，由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的最小值是，
故选：．
作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，则此时的值最小，求出，求出，求出、，根据勾股定理求出，即可得出答案．
本题考查了三角形的内角和定理，轴对称最短路线问题，勾股定理，含度角的直角三角形性质的应用，关键是求出点的位置，题目比较好，难度适中．
 

11.【答案】

【解析】

解：米纳米，
纳米米米．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】

【解析】

解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用完全平方公式可以求出的值．
此题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：是的垂直平分线，
，，
的周长，
的周长，
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质得到和，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：原式．
故答案为：．
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
本题考查了二次根式的加减法，解决本题的关键是掌握二次根式的加减法．
 

15.【答案】

稳定性
 

【解析】

解：用木条固定门框，得出，使其不变形，
这种做法的根据三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
根据三角形具有稳定性解答即可．
本题考查的是三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：过作于，过作交的延长线于，
连接，
则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
．
故答案为：，．
过作于，过作交的延长线于，连接，得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】

解：




．
 

【解析】

根据二次根式乘除法的法则进行计算即可得出结果．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除法的法则及二次根式的化简是解决问题的关键．
 

18.【答案】

解：


．
 

【解析】

首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

19.【答案】

解：，
，
，

 

【解析】

根据完全平方公式与合并同类项法则计算，再除以即可．
本题考查了完全平方公式及合并同类项等知识点．按整式的运算法则进行计算即可．
 

20.【答案】

解：原式
．
 

【解析】

原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

21.【答案】

解：方程两边同乘以，得
，
，
，
．
检验：把代入原方程，
左边分母，
为原方程的增根．
原方程无解．
 

【解析】

左右两边同乘以最简公分母是，以下步骤可按解一般方程的步骤计算即可解答，最后注意一定要验根．
本题考查了解分式方程．注意：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

22.【答案】

解：原式


，
，
，
当时，原式．
 

【解析】

先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后整体代入，即可求出答案．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整式代入思想．
 

23.【答案】

解：连接，

在中，，，，
；
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积，
答：四边形的面积为．
 

【解析】

根据，想到构造直角三角形求的长，所以连接，即可解答；
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后把四边形的面积分成的面积和的面积之和，即可解答．
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握它们的区别是解题的关键．
 

24.【答案】

证明：平分，
，
在和中，
，
≌；
，，
，
≌，
，，
，
在中，，
，
．
 

【解析】

由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】

解：，
，
，
，
，
；

证明：，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；

在中，，，
，
，，
，
在中，．
 

【解析】

利用三角形内角和定理求出，可得结论．
证明≌，可得结论；
利用直角三角形性质以及勾股定理求出，，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形度角的性质，勾股定理等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】

解：设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，
根据题意，得：．
解方程，得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
所以．
答：型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元；

设增加购买型口罩的数量是个，
根据题意，得：．
解不等式，得：．
因为为正整数，所以正整数的最大值为．
答：增加购买型口罩的数量最多是个．
 

【解析】

设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，根据“用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同”列出方程并解答；
设增加购买型口罩的数量是个，根据“增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元”列出不等式．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 

27.【答案】

【解析】

解：，
点的“横负纵变点”为，
故答案为：；
，
；
，
，
，
，





，
点为，
，
点的坐标为
由，根据题意可求得此题坐标；
将化为，可求得此题的结果；
先根据材料对的值进行化简，再根据材料确定此题的结果．
此题考查了对二次根式及点的坐标综合问题的解决能力，关键是能利用由基本问题归纳的方法解决相关问题．
 

28.【答案】

解：是等边三角形，理由如下：
，
，
，，
，
是等边三角形；
如图中，连接，在上截取，使得，连接．

，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
；
如图中，设交于．

，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，，
．
 

【解析】

利用非负数的性质即可解决问题．
如图中，连接，在上截取，使得，连接证明是等边三角形，≌即可解决问题．
如图中，设交于证明≌，推出，由，推出，可得，在中，解直角三角形即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．