2022年中考数学压轴题突破专题04 二次函数与特殊图形的存在性问题

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2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）
专题4二次函数与特殊图形的存在性问题
【真题再现】
1．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　　，c＝　　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

2．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

3．（2020年盐城第25题）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2=52S1．
（1）抛物线的开口方向　 　（填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．

4．（2020年徐州第28题）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为：　 　；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

5．（2020年苏州第25题）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．

6．（2020年无锡第28题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

【专项突破】
1．（2020•灌南县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．

2．（2021•常州模拟）如图，抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．
（1）求点C坐标及抛物线的解析式．
（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．
（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2021·江苏锡山·二模）如图①，抛物线与直线交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点Р纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q．

（1）求点A的坐标，并用含k的代数式表示点B的坐标；
（2）如图②，当四边形CDOP为平行四边形时，
①求k的值；
②设E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，（n为正整数），轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足的点E有两个？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
4．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝．
（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；
（2）设D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．

5．（2021·江苏·无锡市天一实验学校一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M；
（1）已知，两点，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，过点C的直线PQ与抛物线交于另一 点P（点P在对称轴右侧），点Q在PC的延长线上，连结OP，OQ，MP和MQ．若b＝﹣2，PC=3QC，是否存在这样的点P，使四边形POQM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，抛物线经过点A(0，2)，与它的对称轴直线x=2交于点B．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）在平面内是否存在点D，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过定点的直线 (k<0)与抛物线L交于点M、N．若∆BMN的面积等于2，求k的值．

7．（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）如图，已知抛物线和直线，抛物线顶点为A，与y轴交点为B，直线与抛物线对称轴交于点C．

（1）抛物线顶点坐标为 （用m，n表示），
（2）当抛物线的顶点落在直线上时，求n的最大值．
（3）若四边形ABOC为平行四边形
①求m的值．
②若直线与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D，当为直角三角形时，求n的值．
③过C点作线段，设CE=a，是否存在实数a值使的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a和n的关系式，若不存在，请说明理由．
8．（2021·江苏吴江·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
9．（2021·江苏盐都·三模）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

10．（2021·江苏吴中·一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，P为线段上一动点，将射线绕P逆时针方向旋转后与函数图像交于点Q．


（1）求二次函数的表达式；
（2）当P在二次函数对称轴上时，求此时的长；
（3）求线段的最大值；
（4）抛物线对称轴上是否存在D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
11．（2021·江苏溧阳·一模）如图所示，抛物线的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）当时 ，
①求点A、B、C的坐标；
②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；
（2）点D是抛物线的顶点，连接、，当四边形是圆的内接四边形时，求a的值．
12．（2021·江苏徐州·一模）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）二次函数的表达式为　 　；
（2）点M在直线BC上，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）若点E在二次函数的图象上，以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF＝，请直接写出点E的坐标．

13．（2021·江苏东台·一模）如图，是以为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形能构成平行四边形．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点P在线段上从点A至点D运动，同时动点Q在线段上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．
①当是直角三角形时，求P的坐标；
②四边形的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．
14．（2021·江苏泰州·一模）已知抛物线（a、b为常数）的顶点为C，与直线（k、h为常数）相交于A、B两点．当k=3、h =6时，点A、B恰好分别在x轴、y轴上．
（1）求a、b的值；
（2）作y轴的平行线，与线段AB和抛物线的交点纵坐标分别为、．试比较与的大小，并说明理由；
（3）是否存在实数h，使△ABC为直角三角形？若存在，求出h的值；若不存在，请说明理由．

15．（2020·江苏·沭阳县怀文中学模拟预测）已知抛物线经过点，点，与轴负半轴交于点，且其中点坐标为，对称轴为直线．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上方有一点，连接后满足，记面积为求与的函数关系；
（3）在（2）的条件下，当点恰好落在抛物上时，将直线上下平移，平移后的直线与抛物线交于两点（在的左侧)，若以点为顶点三角形是直角三角形，求的值．
16．（2020•徐州模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．
（1）m的值为　4　，C点坐标是（　0　，　4　）；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由．
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

17．（2020•江都区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过原点O和(a，116)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．
（1）a＝　14　，b＝　0　，c＝　0　；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M、N两点，M在N的左边．当△AMN为等腰三角形时，直接写出圆心P的横坐标．

18．（2020•灌云县一模）如图，以D为顶点的抛物线y=−12x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

19.（2020•邗江区校级一模）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．
（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有　N、Q　．
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线y=112x2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（2020•建湖县三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

21．（2020•梁溪区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为t秒．
（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；
（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．

22．（2020•天宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A，点B（3，0），交y轴于点C，点M（m，0）是线段OB上一点（与点O、B不重合），过点M作MP⊥x轴，交BC于点P，交抛物线于点Q，连接OP，CQ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若∠COP＝∠QCP，求QP的长；
（3）若△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，点N是线段OC上一点，连接MN，求MN+13CN的最小值．

23．（2020•宝应县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（2，0），B（﹣4，0）与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

24．（2020•昆山市一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D（2，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC，CD，BC，其且AC＝5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．当0＜m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值；
（3）当﹣1＜m≤2时，是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应m的值；若不存在，请说明理由．


2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）
专题4二次函数与特殊图形的存在性问题
【真题再现】
1．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　　，c＝　　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

【答案】（1），；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5或t＝5＋；（4）
【解析】
【分析】
（1）把代入，列方程组求出b，c的值；
（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式；
（3）先由，且，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由列方程求出t的值；
（4）过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长．
【详解】
解：（1）把代入，
得，解得，
故答案为：，．
（2）∵，
∴该抛物线的顶点坐标为；
设直线BD的函数表达式为，
则，解得，
∴．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得，，
∴，；
∵，且，
∴，解得＜t＜，且；
∵，
∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
由，
解得，（不符合题意，舍去）；
由，
解得，（不符合题意，舍去），
综上所述，或．

（4）由（2）得，抛物线的对称轴为直线，
过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，
如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，
当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，
此时点Q与点A重合，
∵，
∴，
∴，
∴＝＝6，
∴R（0，4）；

如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由，
得，，
∴GR＝；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），
∴GR＝＝r2＋r＝，
∴当r＝时，GR的最小值为，
∴R（0，）；

如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由，
得，，
∴GR＝＝＝28，
∴R（0，26），
∴，
∴点R运动路径的长为．

【点睛】
本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，综合性强、难度大，属于考试压轴题．
2．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法解答即可；
（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；
（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解．
【详解】
解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），
∵，，AB2=25，
∴，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠CBA，
在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，
则CE=OE=2，
∴∠OCE=45°，
∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，
∴CE∥PQ，
∵C（0，2），E（2，0），
∴直线CE的解析式为y=-x+2，
设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，
∴直线PQ的解析式为y=-x-1，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（6，-7）；

（3）设直线AP交y轴于点G，如图，
∵PH∥y轴，
∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，
∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，
∵C（0，2），B（4，0），
∴直线BC的解析式为，
设G（0，m），∵A（-1，0），
∴直线AF的解析式为y=mx+m，
解方程组，得，
∴点F的坐标是，
∴，
当CG=CF时，，解得：（舍去负值），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；
当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），
∴PH=2-=1.5；
当GF=GC时，，解得或m=2（舍去），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；

综上，PH=或1.5或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
3．（2020年盐城第25题）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2=52S1．
（1）抛物线的开口方向　上　（填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．

【分析】（1）根据题意借助图象即可得到结论；
（2）由点A（0，2）及△CAN是等腰直角三角形，可知C（﹣2，0），N（2，0），由A、C两点坐标可求直线l；
（3）由S2=52S1，可知B点纵坐标为5，代入直线AB解析式可求B点横坐标，将A、B、N三点坐标代入y＝ax2+bx+c中，可求抛物线解析式．
【解析】（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．
∴y＝ax2+bx+2，
令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
∵0＜x1＜x2，
∴2a＞0，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上；
（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，
因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；
②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；
③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，
∴C（﹣2，0），N（2，0），
设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得b=2−2k+b=0，
解得k=1b=2，
∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；
（3）过B点作BH⊥x轴于H，
S1=12MN⋅OA，S2=12MN⋅BH，
∵S2=52S1，
∴BH=52OA，
∵OA＝2，
∴BH＝5，
即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，
∴B（3，5），
将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得c=24a+2b+c=09a+3b+c=5，
解得a=2b=−5c=2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．

4．（2020年徐州第28题）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为：　（1，0）　；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

【分析】（1）利用对称轴公式求解即可．
（2）连接EC，分两种情形：当∠HEF＝90°时，当∠HFE＝90°，分别求解即可．
（3）求出直线HF，DF的解析式，利用方程组确定点K，G的坐标，再求出直线EH，GK的解析式即可判断．
【解析】（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x=−2a−2a=1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．

（2）如图，连接EC．
对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，
令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D关于对称轴对称，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
当∠HEF＝90°时，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴FA＝AH，
∴AE=12DH，
∵AE＝2，
∴DH＝4，
∵HE⊥DFEF＝ED，
∴FH＝DH＝4，
在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，
解得a=33或−33（不符合题意舍弃），
∴a=33．
当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，
∴FA＝FE，
∴OF＝OA＝OE＝1，
∴3a＝1，
∴a=13，
综上所述，满足条件的a的值为33或13．

（3）结论：EH∥GK．
理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0），
∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a，
由y=−3ax−3ay=−ax2+2ax+3a，解得x=−1y=0或x=6y=−21a，
∴K（6，﹣21a），
由y=3ax−3ay=−ax2+2ax+3a，解得x=2y=3a或x=−3y=−12a，
∴G（﹣3，﹣12a），
∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，
直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a，
∵k相同，a≠﹣15a，
∴HE∥GK．

5．（2020年苏州第25题）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．

【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝2，即−12b＝2，解得：b＝﹣4，即可求解；
（2）求出点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，而四边形PBCQ为平行四边形，则PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，即可求解．
【解析】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x＝2，即−12b＝2，解得：b＝﹣4，
（2）∵b＝﹣4
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）|＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝3，
由x2−x1=2x1+x2=5，解得x1=32x2=72；
由x2−x1=2x1+x2=3，解得x1=12x2=52．
6．（2020年无锡第28题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

【分析】（1）①求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题．
②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可．
（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题．
【解析】（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（12m，m）．

②假设能在抛物线上，连接OP．
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=−12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（−34m，m），
∴P（−32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．

（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M（8a，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=−4ax，可得N（−a2，2），
∴P（8a−a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a−a2=±4，
解得，a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝（2±1）x．

②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=−4ax＝﹣（2±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（2±1）x或y＝﹣（2±1）x．

【专项突破】
1．（2020•灌南县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．

【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
（2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大值；
（3）由题意可得当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时则有MN＝MC，且MC⊥MN，则可求表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值；
（4）由条件可得出MN＝OC，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值．
【解析】
（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得−1−b+c=0c=3，解得b=2c=3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0可得，﹣x2+2x+3＝0，解x1＝﹣1，x2＝3，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+s，
把B、C坐标代入可得3k+s=0s=3，解得k=−1s=3，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m−32）2+94，
∴当m=32时，MN有最大值，MN的最大值为94；
（3）∵PM⊥x轴，
∴当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，
∴M点纵坐标为3，
∴﹣m2+2m+3＝3，解得m＝0或m＝2，
当m＝0时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴m＝2；
（4）∵PM⊥x轴，
∴MN∥OC，
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC＝MN，
当点P在线段OB上时，则有MN＝﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m＝3，此方程无实数根，
当点P不在线段OB上时，则有MN＝﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m，
∴m2﹣3m＝3，解得m=3+212或m=3−212，
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为3+212或3−212．
2．（2021•常州模拟）如图，抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．
（1）求点C坐标及抛物线的解析式．
（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．
（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即可求解；
（2）设点P（x，x2+2x﹣3）、点M（x，﹣x），则PH=22PM=22（﹣x﹣x2﹣2x+3），即可求解；
（3）分∠BCD＝90°、∠CDB＝90°两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）过点P作PM∥y轴交直线EF于点M，

设点P（x，x2+2x﹣3）、点M（x，﹣x），
则PH=22PM=22（﹣x﹣x2﹣2x+3），
当x=−32时，PH的最大值为：2128；

（3）①当∠BCD＝90°时，如图2左侧图，

当点D在BC右侧时，
过点D作DM⊥y轴于点M，则CD＝1，OB＝1，OC＝3，
tan∠BCO=13=tan∠CDM＝tanα，则sinα=110，cosα=310；
xD＝CDcosα=31010，同理yD＝﹣3−1010，
故点D（31010，﹣3−1010）；
同理当点D（D′）在BC的左侧时，
同理可得：点D′（−31010，﹣3+1010）；
②当∠CDB＝90°时，
当点D在BC右侧时，如右侧图，CD＝OB＝1，则点D（1，﹣3）；
当点D在BC左侧时，由点的对称性，同理可得：点D（−45，−125）；
综上，点D的坐标为：（31010，﹣3−1010）、（−31010，﹣3+1010）、（1，﹣3）或（−45，−125）．
3．（2021·江苏锡山·二模）如图①，抛物线与直线交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点Р纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q．

（1）求点A的坐标，并用含k的代数式表示点B的坐标；
（2）如图②，当四边形CDOP为平行四边形时，
①求k的值；
②设E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，（n为正整数），轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足的点E有两个？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴在y轴右侧和顶点的横坐标已知，求得点A，再根据直线与对称轴交于点，得到，联立方程组求解即可；
（2）①先求出直线CP的解析式，再根据两直线平行即可得到k；②过点作于点H，得到，根据点E在线段DB上横坐标为a，轴交抛物线于点G，得到，，求出FH、GH，再根据正切的定义计算判定即可；
【详解】
（1）∵抛物线的顶点纵坐标为4，
∴，解得：，．
∵抛物线对称轴在轴右侧，
∴，解得：，
∴．
∴抛物线为，顶点．
∵直线与对称轴交于点，
∴
∵时，解得：，．
∴．
由，整理得：，
∴．
∴，
∴，
∴；
（2）①∵，，
∴直线解析式为．
∵四边形为平行四边形，
∴，即直线平行直线．
∴．
②不存在满足条件的正整数．
如图②，过点作于点H，

∴．
∵，
∴直线．
∵点E在线段DB上横坐标为a，轴交抛物线于点G，
∴，．
∵点F在线段DB上横坐标为，
∴，．
∴．
∵中，，
∴，
∴，整理得：，
∵满足的点有两个，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：．
∴不存在正整数，使满足的点有两个．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，结合平行四边形的性质、一次函数的性质、正切的定义、一元二次方程的求解计算是解题的关键．
4．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝．
（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；
（2）设D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．

【答案】（1），对称轴是直线；（2）①D（2，5）或D（2，）或（0，）或D（2，-1）；② 或
【解析】
【分析】
（1）先根据 ， ，得到OC=3OA，∠CBO=45°，则OC=OB，再求出抛物线对称轴为 ，OC=n， ， ，A（，0），B（n，0），由此求出n的值即可求出抛物线的解析式；
（2）①当△BCD的外接圆圆心在△BCD边上时，△BCD是直角三角形，设D（2，t），则 ，，，然后分别讨论当B、C、D为直角顶点时，利用勾股定理求解；
②由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，△BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置．
【详解】
解：（1）由题意可知，∠COA=90°，
∴ ，
∴OC=3OA，∠CBO=45°，
∴OC=OB，
∵抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，
∴C（0，n），抛物线对称轴为 ，
∴OC=n，
∴ ， ，
∴A（，0），B（n，0），
∴ ，
∴n=3，
∴C（0，3），B（3，0），A（1，0），
∴把A（1，0）代入抛物线解析式得： ，
∴m=1，
∴抛物线解析式为 ；
（2）①当△BCD的外接圆圆心在△BCD边上时，△BCD是直角三角形，
∵D为抛物线对称轴上的一点，
∴设D（2，a）
∵C（0，3）B（3，0），
∴ ，，，
当C为直角顶点时，即，
解得a=5，
∴D（2，5）；
当D为直角顶点时，即，
解得 ，
∴D（2，）或（0，）；
当B为直角顶点时，即，
解得a=-1，
∴D（2，-1）；
∴综上所述：D（2，5）或D（2，）或（0，）或D（2，-1）；
②由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，△BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置，
∴ 或 ．

【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，两点距离公式，勾股定理，二次函数与直角三角形的综合，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．（2021·江苏·无锡市天一实验学校一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M；
（1）已知，两点，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，过点C的直线PQ与抛物线交于另一 点P（点P在对称轴右侧），点Q在PC的延长线上，连结OP，OQ，MP和MQ．若b＝﹣2，PC=3QC，是否存在这样的点P，使四边形POQM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）将A，B两点坐标代入，解方程即可；
（2）过点D作轴于点G，过点A作轴交BC的延长线于点K，证出，即可将面积比转化为，求得AK长度，表示出DF，即可求得面积比的最大值；
（3）若，，可以表示出，通过可得，通过平行四边形对角线平分即可得出k，c的值，进而得出P点坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴，
故抛物线解析式为；
（2）过点D作轴于点G，交BC于点F，过点A作轴交BC的延长线于点K，


∴∥，
∴，
∴，
∴，
设直线BC的解析式为，
代入 ，，
即 ，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵A（﹣1，0），
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值是；
（3）若，，
∵点M为抛物线顶点，又抛物线与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，c），
设过C点的直线PQ的解析式为，
联立，
∴，，
∴，，
∴，，
即，
又，
∴，
即，，
∴，
∴，
∵四边形POQM是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，
∴，
∴
解得： ，
∴，
，
∴P点的坐标为 ．
【点睛】
本题是二次函数的综合应用题目，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，抛物线经过点A(0，2)，与它的对称轴直线x=2交于点B．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）在平面内是否存在点D，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过定点的直线 (k<0)与抛物线L交于点M、N．若∆BMN的面积等于2，求k的值．

【答案】（1）；（2）(2,4)，(2,8)或(-2，-4)；（3）
【解析】
【分析】
（1）把A(0，2)代入解析式中，再利用对称轴即可得解；
（2）分三种情况，如下图1，当平行且等于=2时，四边形是平行四边形，根据平行且等于=2求解即可；当平行且等于=2时，四边形是平行四边形，同样求解；当平行且等于时，四边形是平行四边形，作轴于H点，证明出，即可得出坐标；
（3）先求出直线的定点R（2,8），如图2，设直线与抛物线的交点，联立方程得到根与系数关系，作对称轴与P点，作对称轴于Q点，利用还有韦达定理求解即可．
【详解】
解：（1）把A(0，2)代入中，
解得：c=2，
对称轴为直线x=2，
，
，
抛物线L的解析式为；
（2）如下图1，当平行且等于=2时，四边形是平行四边形，
顶点，；
当平行且等于=2时，四边形是平行四边形，
；
当平行且等于时，四边形是平行四边形，
作轴于H点，


综上，D的坐标为(2,4)，(2,8)或(-2，-4)；

（3）=，
直线过定点R（2,8），
如图2，设直线与抛物线的交点，
将两个方程联立，得：

作对称轴与P点，作对称轴于Q点，


舍去，
．
．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，涉及和几何的结合，难度比较大，属于压轴题，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
7．（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）如图，已知抛物线和直线，抛物线顶点为A，与y轴交点为B，直线与抛物线对称轴交于点C．

（1）抛物线顶点坐标为 （用m，n表示），
（2）当抛物线的顶点落在直线上时，求n的最大值．
（3）若四边形ABOC为平行四边形
①求m的值．
②若直线与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D，当为直角三角形时，求n的值．
③过C点作线段，设CE=a，是否存在实数a值使的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a和n的关系式，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②或；③存在，
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标公式求解即可；
（2）将（1）的结果代入直线得到关于的函数，根据求二次函数的最值方法求解即可；
（3）①根据题意若四边形ABOC为平行四边形，根据已知条件写出的坐标，由即可求得的值；
②当为直角三角形时，分为,两种情况，由题意可知是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质即可求得n的值；
③过C点作线段，设点在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，点在抛物线的右侧情况和左侧一致，设的中点为，的中点为，的交点即为的重心，分别求得的解析式，再求直线交点坐标，将交点的坐标代入抛物线解析式即可求得a和n的关系式．
【详解】
（1）抛物线，
，
，，
，
故答案为：；
（2）当抛物线的顶点落在直线上时，
，
，
当时，取得最大值，最大值为，
（3）①，点在上，
，
与y轴交点为B，令，则，
若四边形ABOC为平行四边形，
则，
即，
解得，
时，对称轴，此时重合，故舍去，
，
，
②当为直角三角形时，分为,两种情况，

设于轴交于点，
，
，
，
，
当时，则轴，
，
，
，
，
代入，
解得，
在对称轴右侧部分，
，
当时，
如图，过点作轴，垂足为，

，
，
，
，
，
，
代入，
解得，
在对称轴右侧部分，
，
综上所述，或者；
③存在，理由如下：
过C点作线段，设点在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，点在抛物线的右侧情况和左侧一致，设的中点为，的中点为，的交点即为的重心，

，，
，
，
，
，即，，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
，
解得，
即，
的重心恰好落在抛物线上，
，
解得．
a和n的关系式为．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，直角三角形的性质，三角形的重心，二次函数的性质，待定系数法一次函数求解析式，求两直线交点坐标，综合运用以上知识是解题的关键．
8．（2021·江苏吴江·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【解析】
【分析】
（1）根据“N”函数的定义即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点，
由此联立方程即可求得答案；
（3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，，
∴，，，
∴的“N”函数的表达式为；
（2）


，
同理：，
∴与关于原点成中心对称，
又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，
∴的图像与的图像只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得：，
∴，
解得：，，
∴k的值为3或－1；
（3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数，
则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称，
∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点，
∴点，点O为AB的中点，
∴设（），则，
当时，，
∴点C（0，），
∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点，
∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
当∠ACB＝90°时，
又∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OC，
∵AB＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（0，），
当∠BAC＝90°时，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为（0，5），
综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键．
9．（2021·江苏盐都·三模）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+8x﹣12；（2）①；②存在，
【解析】
【分析】
（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，根据两点式设抛物线解析式，将点E坐标代入抛物线解析式求得a的值，从而得出答案；
（2）①由点A，点B，点C，点D坐标可求AD=CD，，可证四边形PDQC是平行四边形，可得PD=CQ，即3t=4-2t，解之即可； ②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．
【详解】
解：（1）在直线中，
令时，，
∴点B坐标（0，4），
令时，得：，
解得：，
∴点A（2，0），
∵抛物线经过点A（2，0），C（6，0），E（5，3），
∴可设抛物线解析式为，
将E（5，3）代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为： ；
（2）①∵抛物线解析式为：，
∴顶点D（4，4），
∵点B坐标（0，4），
∴，，
∵与x轴交于点A，点C，
∴点C（6，0），点A（2，0），
∴，
∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0），
∴，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，

∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；

②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时．
如图，若点N在AB上时，，

，
∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4），
∴，，，
∴，
∴tan∠OAB tan∠DBA，
∴，
∴当时，四边形是矩形，

∵2，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），；
若点N在AD上，即 ，
∵，
∴点E、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，
综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1．
【点评】
本题是一道关于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形性质等知识点．灵活运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
10．（2021·江苏吴中·一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，P为线段上一动点，将射线绕P逆时针方向旋转后与函数图像交于点Q．


（1）求二次函数的表达式；
（2）当P在二次函数对称轴上时，求此时的长；
（3）求线段的最大值；
（4）抛物线对称轴上是否存在D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在；或．
【解析】
【分析】
（1）将A（−1，0），B（4，0）代入，列方程组求a、b的值；
（2）作直线y＝x＋1，证明直线PQ与直线y＝x＋1平行，由A（−1，0），B（4，0）求出抛物线的对称轴为直线x＝，再求出点P在直线x＝上时直线PQ的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，由此求出点Q的坐标，再求出线段PQ的长；
（3）先说明点P与点A重合时，线段PQ的长最大，用此时直线PQ的解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出点Q的坐标，再求出线段PQ的长；
（4）存在符合条件的点，分两种情况，一是以PQ为平行四边形的一边，另一是以PQ为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质，用直线PQ的解析式与抛物线的解析式组成方程组，用解方程组的方法求解．
【详解】
（1）把A（−1，0），B（4，0）代入，
得，解得，
∴该二次函数的表达式为．
（2）如图1，作QE⊥x轴于点E，作直线y＝x＋1交y轴于点F，则F（0，1），且该直线过点A（−1，0），


∵OA＝OF，∠AOF＝90°，
∴∠OAF＝∠BPQ＝45°，
∴PQAF，
设直线PQ的解析式为直线y＝x＋c，
由A（−1，0），B（4，0）得，抛物线的对称轴为直线x＝，
当点P落在直线x＝上，则P（，0），
∴＋c＝0，
解得c＝−，
∴y＝x−，
由，得，（不符合题意，舍去），
∴PQ＝EQ＝×＝．
（3）如图2，当−1≤x≤4时，EQ的长随x的增大而减小．


∴当点P与点A（−1，0）重合时，EQ的长最大，PQ的长也最大，
此时直线PQ的解析式为y＝x＋1，
由，得，（不符合题意，舍去），
此时EQ＝4，PQ＝EQ＝4，
∴PQ的最大值为4．
（4）存在．
如图3，PQ为以P、Q、B、D四点为顶点的四边形的一边，则BD∥PQ．


∴∠GBD＝45°，
设直线x＝交x轴于点G，
∵∠BGD＝90°，
∴DG＝BG•tan45°＝BG＝4−＝，
此时BD＝DG＝，
在抛物线上一定存在点Q，其纵坐标为，
作QE⊥x轴于点E，在x轴上取点P，使PE＝QE，
则∠BPQ＝45°，且PQ＝，
∴四边形PQBD是平行四边形，
此时；
如图4，DQPB，DQ＝PB．


设P（r，0）（−1≤r≤4），设直线PQ的解析式为y＝x＋d，则r＋d＝0，即d＝−r，
∴y＝x−r，
由，得，（不符合题意，舍去），
∴Q（，），
∵PD＝BQ，GD＝EQ，∠PGD＝∠BEQ＝90°，
∴Rt△PDG≌Rt△BQE（HL），
∴DG＝BE，
∴r−＝4−（），
解得r1＝，r2＝（不符合题意，舍去），
∴y＝1＋-＝，
∴DG＝QE＝，
∴D（，）．
综上所述，点D的坐标为或（，）．
【点睛】
此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、二次根式的化简等知识，解题的关键是正确地作出辅助线，还要特别注重数形结合、分类讨论等思想方法的运用．此题综合性强，计算烦琐，使用的方法较多，属于考试压轴题．
11．（2021·江苏溧阳·一模）如图所示，抛物线的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）当时 ，
①求点A、B、C的坐标；
②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；
（2）点D是抛物线的顶点，连接、，当四边形是圆的内接四边形时，求a的值．
【答案】（1）①，，；②；；；（2）
【解析】
【分析】
（1）①当时，函数的表达式为，即可求解；
②证明，则，则，解得或4，即可求解；
（2）当四边形是圆的内接四边形时，则的中点为该圆的圆心，故，即可求解．
【详解】
解：对于，令，
解得或，令，则，
故点、、的坐标分别为、、，
当时，，顶点的坐标为．
（1）①当时，函数的表达式为，
则点、、的坐标分别为、、；
②过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交轴于点，

设点的坐标为，
，
，
，
，
，，
，
，
则，解得或4，
故点的坐标为，或；
（2）点、的坐标分别为、，顶点的坐标为．
当四边形是圆的内接四边形时，则的中点为该圆的圆心，

设的中点为点，由中点坐标公式得，点，，
则，
即，
解得．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本知识、三角形全等、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．
12．（2021·江苏徐州·一模）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）二次函数的表达式为　 　；
（2）点M在直线BC上，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）若点E在二次函数的图象上，以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF＝，请直接写出点E的坐标．

【答案】（1）；（2）点M为（0，3）或（8，﹣3）或（，）；（3）点E的坐标为或或或．
【解析】
【分析】
（1）根据A、B两点的坐标，应用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）首先通过BC两点坐标，求出直线BC的解析式，再根据三角形△ABM是等腰三角形，分3种情况考虑，得到关于M点横坐标x的方程，解之即可得到x的值，进而得到M点坐标；
（3）利用面积法求出O到直线BC的距离，结合EF的长度可知P1为线段OC中点，可得P1的坐标，进而可得P2坐标，结合直线BC的表达式，可求出直线EP的表达式，联立直线EP和抛物线的函数表达式，组成方程组，即可解得点E的坐标．
【详解】
解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx＋3得：
，
∴a＝，b＝，
∴，
故二次函数表达式为：；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标是（0，3），
设直线BC的表达式为：y＝kx＋c（k≠0），
将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx＋c得：
，
∴，
∴直线BC的解析式为：，
使得△ABM为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：

过点M1作M1D⊥AB，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴AD＝AB＝，
∴OD＝，
设M1（x，﹣x＋3），
∴M1（，），
∵△ABM为等腰三角形，
∴AB＝BM2＝5或AB＝BM3＝5，
设M2（x1，﹣x1＋3），
∴BM2＝＝5，
解得x1＝8或0，
当x1＝0时，y＝3，
当x1＝8时，y＝﹣3，
∴点M为（0，3）或（8，﹣3）或（，）；
（3）过点E作EP∥BC，交y轴于点P，这样的点有两个，分别记为P1，P2，如图所示：

∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∴点O到直线BC的距离为：，
∵以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF＝，
∴点E到直线BC的距离是，
∴点P1为线段OC的中点，
∴CP1＝CP2，
∴P2（0，），
∵直线BC的函数表达式为y＝﹣x＋3，
∴直线EP的函数表达式为y＝﹣x＋或y＝﹣x＋，
联立直线EP和抛物线的表达式方程组，得：
或，
得或或或，
∴点E的坐标为或或或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何的综合应用．解题的关键要熟练掌握代入法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、两点间的距离公式及勾股定理等．
13．（2021·江苏东台·一模）如图，是以为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形能构成平行四边形．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点P在线段上从点A至点D运动，同时动点Q在线段上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．
①当是直角三角形时，求P的坐标；
②四边形的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①当是直角三角形时，P的坐标是或；②有，最小值为，．
【解析】
【分析】
（1）求出A、C坐标，再由△ABC是以BC为底边的等腰三角形和四边形ABCD能构成平行四边形求出B、D坐标即可求二次函数的表达式；
（2）①△APQ是等腰直角三角形，分两种情况讨论；
②用t表示出四边形PDCQ的面积，再求最小值即可．
【详解】
（1）∵A，C分别是一次函数的图象与y轴，x轴的交点，
在一次函数中，令得，令得，
∴A（0，3），C（3，0），
∵是以为底边的等腰三角形，
∴OC=OB=3，B（-3，0），
∵四边形能构成平行四边形，
∴AD=BC=6，D（6，3），
∵点B、D在二次函数的图象上，
∴，解得，c=-17，
∴二次函数的表达式为；
（2）①设运动时间是t秒，则，AP=t，
∵A（0，3），C（3，0），∠AOC=90°，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
若是直角三角形，则是等腰直角三角形，
分两种情况：
（一），如答图1：

∴，
∴，解得，
∴，
（二），如答图2：

∴，
∴，解得，
∴，
综上所述，当是直角三角形时，P的坐标是或，
（3）过Q作于M，如答图3：

∵A（0，3），B（-3，0），C（3，0），是平行四边形，
∴，
而，
∴，
∴，
当时，最小为，
此时．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，特殊角的三角函数值以及二次函数最值求法等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．
14．（2021·江苏泰州·一模）已知抛物线（a、b为常数）的顶点为C，与直线（k、h为常数）相交于A、B两点．当k=3、h =6时，点A、B恰好分别在x轴、y轴上．
（1）求a、b的值；
（2）作y轴的平行线，与线段AB和抛物线的交点纵坐标分别为、．试比较与的大小，并说明理由；
（3）是否存在实数h，使△ABC为直角三角形？若存在，求出h的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a=2，b=3；（2），理由见解析；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）当k=3、h=6时，利用直线解析式求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入y=-x2+ax+b中，求出a、b的值；
（2）两函数作差与0比较大小，作差：y=（-x2+ax+b）-（kx-k+h）=-x2+（a-k）x+（b+k-h）．根据函数与方程的关系，再结合图形就可以比较出y1与y2的大小了；
（3）利用一线三垂直相似模型和韦达定理就可以算出h的值．
【详解】
解：（1）当k=3、h=6时，直线为y=3x+3．
当x=0时，y=3，则B（0，3）；
当y=0时，x=-1，则A（-1，0）．
把A（-1，0）、B（0，3）代入y=-x2+ax+b，
得：，解得：，
所以a、b的值分别为2和3；
（2）y2≥y1.理由如下：
设A（xA，yA），B（xB，yB）（xA＜xB），平行y轴的线上点的横坐标为x0（xA≤x0≤xB）．
令y=（-x2+2x+3）-（kx-k+h）=-x2+（2-k）x+（3+k-h）．
当y=0时，即：-x2+（2-k）x+（3+k-h）=0的两个解分别为x=xA和x=xB．
由二次函数的交点式，可得：y=-x2+（a-k）x+（b+k-h）=-（x-xA）（x-xB）．
又∵xA≤x0≤xB，
∴y0=-（x0-xA）（x0-xB）≥0，
即：y0=y2-y1≥0，
故y2≥y1．
（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，故C（1，4）．
连接AC、BC，过C作x轴的平行线EF，分别过A、B作y轴的平行线，与上述直线相交于点E、F（如图1）．

当∠ACB=90°时，
∵∠ACE+∠BCF=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠E=∠F，
∴△AEC∽CFB，
∴，
∴，
∴，即，
∴（xA-1）（xB-1）=-1，
∴xAxB-（xA+xB）+2=0，
将y=-x2+2x+3与y=kx-k+h联立有x2+（k-2）x+h-k-3=0，xA、xB为方程两根，
故xA+xB=-（k-2），xAxB=h-k-3，
∴h-k-3+k-2+2=0，
∴h=3；
当∠ABC=90°时，连接AB、BC，过B作y轴的平行线MN，分别过C、A作x轴的平行线，与上述直线相交于点M、N（如图2），

∵∠BCM+∠CBM=90°，∠CBM+∠ABN=90°，
∴∠CBM=∠ABN，
又∵∠M=∠N，
∴△BCM∽△ABN，
∴，即：，
∵yB=-（xB-1）2+4，k＝（k≠0）
∴xB＝1+，
∴yB＝4−
又∵点B在直线AB上，
∴4−＝k(1+)−k+h，
∴h＝3−，
∴此种情况的h不是定值．
同理可得，当∠CAB=90°时，h也不是定值．
综上所述，当实数h=3时，△ABC一定为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的综合运用，涉及到待定系数法求解析式、函数与方程的关系、韦达定理、直角三角形的存在性问题的讨论等．本题的难点是计算．
15．（2020·江苏·沭阳县怀文中学模拟预测）已知抛物线经过点，点，与轴负半轴交于点，且其中点坐标为，对称轴为直线．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上方有一点，连接后满足，记面积为求与的函数关系；
（3）在（2）的条件下，当点恰好落在抛物上时，将直线上下平移，平移后的直线与抛物线交于两点（在的左侧)，若以点为顶点三角形是直角三角形，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）的值为或．
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出A、B、C三点坐标，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）先找到P点所在直线，并求出解析式，设出P点坐标，然后用水平宽铅垂高的方法求三角形面积；
（3）分类讨论，通过直角三角形的性质，去求平移后的直线上的点坐标，从点坐标得直线解析式．
【详解】
解：（1）∵，对称轴为直线，
，
，



，
将A、B、C三点代入抛物线的解析式，
得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）如图，
∴作射线与轴正半轴交于点，
，
，

，
，
∴直线的解析式为
点在直线上，

，
∴直线的解析式为，
过点作轴的平行线交于


；

（3）由（1）知，抛物线的解析式为①，
由（2）知，直线的解析式为②，
联立①②解得，或，
，
①如图，当时，取的中点，连接
则
即：
设，
直线的解析式为③，
联立①③化简得，，
，
点，
，
而，

（此时，恰好过点，舍去）或
②如图，当时，延长交于，交轴于，则，
，


过点作轴于，则，

点，
直线的解析式为④，
联立①④解得或，
的坐标为，
将点坐标代入中，
得，


综上：满足条件的的值为或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合题，涉及函数解析式的求解，三角形面积求解，直角三角形的存在性问题，解题的关键是熟练掌握这些特殊题型的特殊解法，运用数形结合的思想去解决问题．

16．（2020•徐州模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．
（1）m的值为　4　，C点坐标是（　0　，　4　）；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由．
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

【分析】（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，即可求解；
（2）BCM的面积S＝S△MHC+S△MHB=12MN×OB=12×4×（﹣x2+3x+4+x﹣4）＝﹣2x2+8x，即可求解；
（3）①当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，即可求解；
②S四边形PBQC＝2S△PCB＝2（S△PCD+S△PBD）＝2（12PD×CF+12PD×BE）＝4PD＝﹣4t2+16t，即可求解．
【解析】（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，解得，m＝4，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+4，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），
故答案为：4，0，4；

（2）存在，理由：
过点M作y轴的平行线交BC于点H，

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
设点M（x，﹣x2+3x+4），则点H（x，﹣x+4），
BCM的面积S＝S△MHC+S△MHB=12MN×OB=12×4×（﹣x2+3x+4+x﹣4）＝﹣2x2+8x，
∵﹣2＜0，故S有最大值，此时x＝2，
故点M（2，6）；

（3）①如图2，∵点P在抛物线上，

∴设P（m，﹣m2+3m+4），
当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，
∵B（4，0），C（0，4），
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，
∴m＝﹣m2+3m+4，
∴m＝1±5，
∴P（1+5，1+5）或P（1−5，1−5）．

②如图2，设点P（t，﹣t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC与D，交x轴与E；
过点C作l的垂线交l与F，
∵点D在直线BC上，
∴D（t，﹣t+4），
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
∵PD＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，BE+CF＝4，
∴S四边形PBQC＝2S△PCB＝2（S△PCD+S△PBD）＝2（12PD×CF+12PD×BE）＝4PD＝﹣4t2+16t，
∵0＜t＜4，
∴当t＝2时，S四边形PBQC最大＝16，
故当t为2时，四边形PBQC的面积最大．
17．（2020•江都区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过原点O和(a，116)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．
（1）a＝　14　，b＝　0　，c＝　0　；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M、N两点，M在N的左边．当△AMN为等腰三角形时，直接写出圆心P的横坐标．

【分析】（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；
（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与14x2比较得出答案即可；
（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM＝AN时，当AM＝MN时，当AN＝MN时，求出a的值即可．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（a，116）两点，
∴抛物线的一般式为：y＝ax2，
∴116=a（a）2，
解得：a＝±14，
∵图象开口向上，
∴a=14，
∴抛物线解析式为：y=14x2，
∴a=14，b＝c＝0；
故答案为：a=14，b＝c＝0；
（2）设P（x，y），P的半径r=x2+(y−2)2，
又∵y=14x2，则r=x2+(14x2−2)2，
化简得：r=116x4+4＞14x2，
∴点P在运动过程中，P始终与x轴相交；
（3）圆心P的横坐标为0或﹣2±23或2±23．

∵点P在该抛物线上运动，设P（a，14a2），
∴PA=116a4+4，
作PH⊥MN于H，
则PM＝PN=116a4+4，
又∵PH=14a2，
则MH＝NH=116a4+4−(14a2)2=2，
故MN＝4，
∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），
∴AM=(a−2)2+4，AN=(a+2)2+4，
当AM＝AN时，(a−2)2+4=(a+2)2+4，
解得：a＝0，
当AM＝MN时，(a−2)2+4=4，
解得：a＝2±23，
当AN＝MN时，(a+2)2+4=4，
解得：a＝﹣2±23，
故圆心P的横坐标为0或﹣2±23或2±23．
18．（2020•灌云县一模）如图，以D为顶点的抛物线y=−12x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法即可得出结论；
（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（6，6），则OP+AP的最小值为AO′的长，然后求得AP的解析式，联立直线AP和BC的解析式可求得点P的坐标；
（3）先判断出△BCD是直角三角形，求出tan∠BDC=BCCD=3，tan∠CAO=OCOA=3，得出∠BDC＝∠CAO．分两种情况由相似三角形的性质可得出比例线段，求出AQ的长，则可得出答案．
【解析】（1）把x＝0代入y＝﹣x+6，得：y＝6，
∴C（0，6），
把y＝0代入y＝﹣x+6得：x＝6，
∴B（6，0），
将C（0，6）、B（6，0）代入y=−12x2+bx+c得：
−12×36+6b+c=0c=6，
解得b=2c=6
∴抛物线的解析式为y=−12x2+2x+6；
（2）如图1所示：作点O关于BC的对称点O'，则O'（6，6），

∵O'与O关于BC对称，
∴PO＝PO'．
∴PO+AP＝PO'+AP．
∴当A、P、O'在一条直线上时，OP+AP有最小值．
∵y=−12x2+2x+6，
当y＝0时，−12x2+2x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），
设AP的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣2，0）、O'（6，6）代入得：−2m+n=06m+n=6，
解得：m=34n=32，
∴AP的解析式为y=34x+32
将y=34x+32与y＝﹣x+6联立y=34x+32y=−x+6，
解得：x=187y=247，
∴点P的坐标为(187，247)；
（3）如图2，

∵y=−12x2+2x+6=−12(x−2)2+8，
∴D（2，8），
又∵C（0，6）、B（6，0），
∴CD＝22，BC＝62，BD＝45．
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴tan∠BDC=BCCD=3，
∵A（﹣2，0），C（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，AC＝210
∴tan∠CAO=OCOA=3，
∴∠BDC＝∠CAO．
当△ACQ∽△DCB时，有ACDC=AQDB，
即21022=AQ45，解得AQ＝20，
∴Q（18，0）；
当△ACQ∽△DBC时，有ACDB=AQDC，
即21045=AQ22，解得AQ＝2，
∴Q（0，0）；
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
19.（2020•邗江区校级一模）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．
（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有　N、Q　．
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线y=112x2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可；
（2）对于P点，对应图形的周长为：2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，因为点P是“美好点”，故2|a|+6＝3|a|，即可求解；
（3）根据点P是“美好点”确定点P的坐标，再分PQ＝PO、PQ＝OQ、PO＝QO三种情况，分别求解即可．
【解析】（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”；
对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”；
对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”；
故答案为：N、Q；

（2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，
∵点P是“美好点”，
∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，
将点P的坐标代入直线的表达式得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a，
故b＝﹣9或3，
故s＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；

（3）存在，理由：
设点P的坐标为（m，n），n=112m2（m＞0，n＞0），
由题意得：2m+2n＝mn，即m+112m2=124m3，
解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），
故点P的坐标为（6，3）；
设点Q的坐标为（x，0），
则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，
PO2＝36+9＝45，
OQ2＝x2，
当PQ＝PO时，则（x﹣6）2+9＝45，解得：x＝0（舍去）或12；
当PQ＝OQ时，同理可得：x=154；
当PO＝QO时，同理可得：x＝±35；
综上点Q的坐标为：（12，0）或（154，0）或（35，0）或（﹣35，0）．
20．（2020•建湖县三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由一次函数的解析式求出A、B两点坐标，再根据A、C两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式；
（2）由平移的性质设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），代入抛物线的解析式则可求出点D的坐标；
（3）分两种情况讨论：①△COM∽△PFC，②△COM∽△CFP，可求得点P的横坐标．
【解析】（1）解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，
∴A（3，0），B（0，﹣3），
∵点B关于x轴的对称点是C，
∴C（0，3），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、点C，
∴c=39a+3b+c=0
∴b＝2，c＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵A（3，0），C（0，3），平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E，
设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），
∵D落在二次函数在第四象限的图象上，
∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6，
m1＝1，m2＝﹣6（舍去），
∴D（4，﹣5），
（3）∵C（0，3），D（4，﹣5），
∴b=34k+b=−5
解得k=−2b=3，
∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3，
令y＝0，则x=32，
∴M（32，0），
∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于A（3，0），C （0，3），
∴AO＝3，OC＝3，
∴∠OAC＝45°，
过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC，
∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，
设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴EN＝﹣m+3，AE=2(−m+3)，FE=22(−m2+3m)，
∴CF＝AC﹣AE﹣EF=22m2−22m，
①当△COM∽△CFP，PFCF=OMOC=323=12，
∴22(−m2+3m)22(m2−m)=12，
解得m1＝0，舍去，m2=73，
②当△COM∽△PFC时，PFCF=OCOM=21，
∴22(−m2+3m)22(m2−m)=21，
解得m1＝0（舍去），m2=53，
综合可得P点的横坐标为53或73．
21．（2020•梁溪区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为t秒．
（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；
（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．

【分析】（1）先求出点C坐标，由勾股定理可求AC的长，分两种情况讨论，通过相似三角形的性质可求出点B坐标，即可求解；
（2）通过证明△ADE∽△AOC，可得ADAO=AEAC，可求t=92．则设B（x，0），则x≥92，将点A代入解析式可得b=3a+43②，由对称轴可得−b2a≥34①，可求a的取值范围．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴AC=OA2+OC2=9+16=5，
∵t＝3，
∴AD＝OE＝3，AE＝6，
当△ADE∽△ACB时，
∴ADAC=AEAB，
即35=6AB，
∴AB＝10，
∴B（7，0），
∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），
∴0=9a−3b+40=49a+7b+4
解得：a=−421b=1621
∴抛物线解析式为：y=−421x2+1621x+4，
当△ADE∽△ABC时，ADAB=AEAC，即3AB=65，
∴AB=52（舍去），
综上，二次函数的表达式为：y=−421x2+1621x+4；
（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，
∴△ADE∽△AOC，
∴ADAO=AEAC，
∴t3=3+t5，
解得：t=92．
设B（x，0），则x≥92，
设抛物线对称轴为直线x=−b2a，
∵A（﹣3，0），
∴−b2a≥34①．
把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得b=3a+43②，
把②代入①，∵a＜0，
解得：−827≤a＜0．
22．（2020•天宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A，点B（3，0），交y轴于点C，点M（m，0）是线段OB上一点（与点O、B不重合），过点M作MP⊥x轴，交BC于点P，交抛物线于点Q，连接OP，CQ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若∠COP＝∠QCP，求QP的长；
（3）若△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，点N是线段OC上一点，连接MN，求MN+13CN的最小值．

【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）证明△OPC∽△CQP，则OCPC=PCPQ，即PC2＝OC•PQ，即可求解；
（3）过点C作直线l，过点M作MH⊥l交于点H，交y轴于点N，则点M、N为所求点，进而求解．
【解析】（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3b+3，解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），
则OB＝OC＝3，故∠OCB＝∠OBC＝45°，
设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则3k+b=0b=3，解得：k=−1b=3，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
点M的坐标为：（m，0），则点P、Q的坐标分别为：（m，3﹣m）、（m，﹣m2+2m+3），
则PQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m；
∵PQ∥y轴，
∴∠OCP＝∠CPQ，
∵∠COP＝∠QCP，
∴△OPC∽△CQP，
∴OCPC=PCPQ，即PC2＝OC•PQ，
∴2m2＝3（﹣m2+3m），
解得：m＝0（舍去）或95，
故PQ＝﹣m2+3m=5425；

（3）∵PQ∥y轴，
∴∠OCP＝∠CPQ，
∵△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，
∴∠QCP＝∠QPC，
∴∠QCP＝∠PCO＝45°，
∴∠OCQ＝90°，即CQ∥x轴，
故点C、Q关于函数对称性直线x＝1对称，故点Q的坐标为：（2，3）；
过点C作直线l，过点M作MH⊥l交于点H，交y轴于点N，则点M、N为所求点，

设直线l与y轴负半轴夹角的正弦值为13，即sin∠HCN=13=sin∠NMO，则tan∠NMO=24，
则NH=13CN，
∴MN+13CN＝MN+NH为最小，
∵tan∠NMO=24，
∴设直线MH的表达式为：y=−24x+t，
将点M（2，0）的坐标代入上式并解得：t=22，
故点N（0，22），
则CN＝OC﹣ON＝3−22，
∴MN+13CN的最小值＝MN+NH＝MN+13CN=22+(22)2+13×（3−22）=3+423．
23．（2020•宝应县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（2，0），B（﹣4，0）与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（2，0），B（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+4即可；
（2）四边形ABPC的面积最大就是△BCP面积最大，设P横坐标为m，表达△BCP面积，求出其取最大值时的m即可得P坐标；
（3）M、C为定点，G为DE上动点，△CMG的周长最小即是MG+CG最小，是“将军饮马”模型，作C关于DE的对称点A，连接AM，则AM+CM即是△CMG的最小周长，此时AM与DE的交点即为G，求出其坐标即可．
【解析】（1）将A（2，0），B（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+4得：
0=4a+2b+40=16a−4b+4，解得a=−12b=−1，
∴抛物线的解析式为y=−12x2﹣x+4，
（2）如答图1：

连接BC，过P作PQ∥y轴交BC于Q，
由抛物线的解析式为y=−12x2﹣x+4可得C（0，4），
∵点A（2，0），B（﹣4，0），
∴S△ABC=12×[2﹣（﹣4）]×4＝12，
∵S四边形ABPC＝S△ABC+S△BCP＝12+S△BCP，
∴四边形ABPC的面积最大即是S△BCP最大，
设直线BC解析式为y＝kx+b，
将B（﹣4，0）、C（0，4）代入得：
0=−4k+b4=b，解得k＝1，b＝4，
∴直线BC解析式为y＝x+4，
设P（m，−12m2﹣m+4），则Q（m，m+4），
∴PQ＝（−12m2﹣m+4）﹣（m+4）=−12m2﹣2m，
∴S△BCP=12PQ•（xC﹣xB）=12×（−12m2﹣2m）×4＝﹣m2﹣4m，
当m=42×(−1)=−2时，S△BCP最大，也就是四边形ABPC的面积最大，
此时P（﹣2，4）；
（3）如答图2，

M、C为定点，G为DE上动点，△CMG的周长最小即是MG+CG最小，是“将军饮马”模型，作C关于DE的对称点A，连接AM交DE于G，则G即为使△CMG的周长最小的点，
由抛物线的解析式为y=−12x2﹣x+4可得顶点M（﹣1，92），
设直线AM解析式为y＝mx+n，
将M（﹣1，92），A（2，0）代入可得：
92=−m+n0=2m+n，解得m=−32，n＝3，
∴直线AM解析式为y=−32x+3，
∵线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，A（2，0），C（0，4），
∴D（1，2），AC解析式为：y＝﹣2x+4，
设直线DE解析式为y=12x+h，
将D（1，2）代入得h=32，
∴直线DE解析式为y=12x+32，
由y=−32x+3y=12x+32，解得x=34y=158，
∴G（34，158）．
24．（2020•昆山市一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D（2，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC，CD，BC，其且AC＝5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．当0＜m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值；
（3）当﹣1＜m≤2时，是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由勾股定理可求出OA的长，进而可得点A的坐标，把A、C、D两点坐标代入可求得a、b、c的值，可求得抛物线线的解析式；
（2）由A、C坐标可求得直线AC解析式，再用m表示出点M坐标，表示出ME，再由△BCO∽△GME可表示出GE，求得OG，再利用面积的和差可得到△GMC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）分∠CPM＝90°和∠PCM＝90°两种情况，当∠CPM＝90°时，可得PC∥x轴，容易求得P点坐标和m的值；当∠PCM＝90°时，设PC交x轴于点F，可利用相似三角形的性质先求得F点坐标，可求得直线CF的解析式，再联立抛物线解析式可求得P点坐标和相应的m的值．
【解析】解（1）∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，
∴OA=AC2−OC2=3，
∴A（3，0），
将A（3，0）、C（0，4）D（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中得 9a+3b+c=0c=44a+2b+c=4，
解得，a=−43b=83c=4，
∴抛物线解析式为y=−43x2+83x+4；
（2）由A（3，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y=−43x+4，
∴M坐标为（m，−43m+4），
∵MG∥BC，
∴∠CBO＝∠MGE，且∠COB＝∠MEG＝90°，
∴△BCO∽△GME，
∴COME=BOGE，
即4−43m+4=1GE，
∴GE=−13m+1，
∴OG＝OE﹣GE=43m﹣1，
∴S△CGM＝S梯形COEM﹣S△COG﹣S△GEM=12m（−43m+4+4）﹣4×（43m﹣1）×12−12（−13m+1）（−43m+4），
=−89m2+83m=−89（m−32）2+2，
∴当m=32时，S最大，即S最大＝2；
（3）根据题意可知△AEM是直角三角形，而△MPC中，∠PMC＝∠AME为锐角，
∴△PCM的直角顶点可能是P或C，
第一种情况：当∠CPM＝90°时，如图③，

则CP∥x轴，此时点P与点D重合，
∴点P（2，4），此时m＝2；
第二种情况：当∠PCM＝90°时，如图④，

延长PC交x轴于点F，由△FCA∽△COA，得 AFAC=ACAO，
∴AF=253，
∴OF=253−3=163，
∴F（−163，0），
∴直线CF的解析式为y=34x+4，
联立直线CF和抛物线解析式可得y=34x+4y=−43x2+83x+4，
解得x1=0y1=4，x2=2316y2=32564，
∴P坐标为（2316，32564），此时m=2316；
综上可知存在满足条件的实数m，其值为2或2316．