2022年中考数学二轮热点题型演练专题03 填空基础通关

这是一份2022年中考数学二轮热点题型演练专题03 填空基础通关，共57页。试卷主要包含了考点归纳，最新模考题组练2等内容，欢迎下载使用。

专题03 填空基础通关
目录
一、考点归纳
【考点01】 整式的运算
【考点02】 因式分解
【考点03】 二次根式
【考点04】 函数
【考点05】 概率
【考点06】 简单的平面几何的计算
二、最新模考题组练 2


【考点01】 整式的运算
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）若，则的值为______．

2.（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．
【提分秘籍】
整式的运算在填空题中的考查较为简单，主要为整式的加减法运算与整式的乘除法运算。
1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。
确定单项式的系数的注意事项：
（1）确定单项式的系数时，最好现将单项式写成数与字母的乘积的形式，在确定系数；
（2）圆周率是常数，单项式中出现时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，负数做系数应包括前面的符号；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。
2.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；不能将数字的指数一同计算。
3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫作这个多项式的次数。多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；多项式通常以它的项的次数和项数来命名。
4.合并同类项
（1）同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，所有的常数项都是同类项。；
（2）合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
（3）合并同类项的一般步骤：①找出多项式中的同类项；②将多项式中的同类项移到一起；③将系数相加，字母和字母的指数不变。
5.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
6.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘；不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，幂的乘方是转化为指数的乘法运算，同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算。
7.积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；3个或3个以上的数的乘积，也适用这一法则。
8.单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
9.单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
10.多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；
11.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
12.单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。单项式除以单项式的结果仍为单项式。
13.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。多项式除以单项式的结果是一个多项式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）已知，则代数式的值为_________．
2.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）计算的结果等于________．
3.（2021·江苏·苏州湾实验初级中学一模）化简________．
【考点02】 因式分解
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）因式分解______．
2.（2019·江苏苏州·中考真题）因式分解：__________________.
【提分秘籍】
1.因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。
2.公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。
3.提公因式法分解因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0）
4.用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式）
5.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州草桥中学一模）因式分解：___________．
2.（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）因式分解______．
3.（2021·江苏苏州·一模）分解因式：_______．
【考点03】 二次根式
【典例分析】
1.（2020·江苏苏州·中考真题）使在实数范围内有意义的的取值范围是__________．
2.（2019·江苏苏州·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.
【提分秘籍】
二次根式在选择中的考查主要以二次根式的概念和性质为主，比较简单，只要考生细心点，基本不会丢分。
1.二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。
2.二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即。
3.二次根式的性质：
（1）是一个非负数；既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提条件是，而中的为一切实数；，，是三个重要的非负数。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学一模）函数中，自变量的取值范围是________．
2.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）函数中自变量的取值范围是________．
3.（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）式子有意义，则a的取值范围是_________．
【考点04】 函数
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）若，且，则的取值范围为______．
2.（2020·江苏苏州·中考真题）若一次函数的图像与轴交于点，则__________．

【提分秘籍】
1.一次函数的性质
（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
（2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
2.一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．
当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．
3.一次函数与一元一次方程的关系：直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
4.一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
5.一次函数与二元一次方程（组）的关系：一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。
6.反比例函数图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当k>0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
7.反比例函数的对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上．图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上。
8．反比例函数中k的几何意义：
（1）设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）。
（2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为。
9.二次函数的图象与其他函数的图象共存问题
在同一平面直角坐标系，判断两个函数图象的位置时，应先确定一个函数图象的位置，然后再看另一个函数的图象位置是否符合要求。
10.二次函数与一元二次方程之间的关系问题
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)可以看作是二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)当y=0时的一种特殊情况，所以二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
11.二次函数 y=ax2+bx+ca≠0(a≠0)的图象和x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根之间的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，当△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣4），AC与x轴交于点D，CD＝4AD，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝__．


2.（2021·江苏·苏州高新区第二中学一模）在反比例函数的图像上有两点、．若，则k的取值范围是________．

3.（2021·江苏苏州·一模）已知二次函数（a为常数）的图像与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_____．

【考点05】 概率
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．


2.（2019·江苏苏州·中考真题）如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方形，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为_________


【提分秘籍】
1.随机事件：事件分为确定性事件和随机事件，确定性事件又分必然事件和不可能事件两种；
(1)确定性事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件，必然事件与不可能事件统称确定事件.
(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2.随机事件的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
3.概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 PA=mn.
4.事件概率的取值范围
(1)事件发生可能性大小的表示：可以用线段图表示“可能发生”、“很可能发生”、“不大可能发生”、“必然发生”、“不可能发生”之间的概率大小.
(2)事件发生概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
当A为必然事件时，P(A)=1.
当A为不可能事件时，P(A)=0.
当A为随机事件时，0 【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共10个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球的概率为，则袋中红球的个数为___个．

2.（2021·江苏苏州·一模）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的点数分别是1、2、3、4、5、6）一次，则朝上的一面的点数是3的倍数的概率是______．

3.（2021·江苏苏州·二模）从中任意选两个数，记作a和b，那么点在函数图象上的概率是______．

【考点06】 简单的平面几何的计算
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）如图．在中，，．若，则______．


2.（2021·江苏苏州·中考真题）如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______．（结果保留根号）


【提分秘籍】
填空题中对简单平面几何的考查主要以三角形和圆为背景，求解角度或者线段的长度。
1.三角形的三边关系问题
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用三角形三边之间的关系可以解决以下两类问题：
(1)判断三条线段能否组成三角形：三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的线段，那么这三条线段能组成一个三角形。
(2)确定三角形第三边的取值范围：三角形两边为a，b(a>b)，则第三边c必满足a-b 2.与三角形的高、中线有关的问题
①从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；利用三角形的高可解决三角形相关角度的计算和面积计算的问题.钝角三角形有两条高线在三角形外部，对于无附图的几何题一般需进行分类讨论。
②三角形的顶点和它对边中点的连线叫做三角形的中线，三角形的每条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，因此这两个三角形的面积相等。
3.与三角形内、外角的度数问题：求三角形内角或外角的度数时，常用到的理论依据有两点：一是三角形内角和定理，即三角形的内角和等于180°；二是三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4.与三角形内、外角平分线有关的问题：当题目中出现三角形的内角或外角的平分线时，常运用三角形外角与内角的关系以及三角形的内角和解决问题。
5.解与三角形中位线有关的问题：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。三角形中位线分得的三角形两部分的面积比为1：3。当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得相应线段的数量关系与位置关系。
6.全等三角形性质的问题：证明两条线段相等或两个角相等时，常证明两条线段或两个角所在的三角形全等，运用全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等、对应角相等得到。
7.三角形全等的判定问题
(1)当已知两边分别相等时，可找两边的夹角或第三边，利用“SAS”或“SSS”来证明两个三角形全等；
(2)当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的对边，利用“ASA”或“AAS”来证明两个三角形全等；
(3)当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS”来证明两个三角形全等；
(4)当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS”或“ASA”来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等；
(5)在直角三角形中除了利用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，还可以利用“HL”来证明两个三角形全等。
8.角平分线的性质（判定）问题：如果题目中出现角平分线时，常运用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到相等的线段；如果题目中出现到角的两边距离时，常证这两个距离相等，进而得到角的平分线。
9.等腰三角形有关的问题
（1）解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系确定能否构成三角形。当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时，要分类讨论，还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边。
（2）解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理，遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论。
10.等边三角形问题
（1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；所有边上的高、中线与所有角平分线都相等。
（2）解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的60°角、三条边中任意两边都相等进行推理或计算。
11.垂径定理及其应用
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）。在应用垂径定理及其推论进行计算时，通常利用圆的半径r，弦心距d，拱高h，弦长a这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及r=d+h来求有关量。根据上述公式，在a，d，r，h这些量中，知道其中任何两个量就可以求出其余两个量。
在圆中，一般利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段，连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解。
12.圆心角、弧、弦之间关系的应用问题
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等.运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。
13.圆周角定理的应用问题
(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化；
(2)在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
(3)当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角。
14.圆的轴对称性有关的多解问题：圆是轴对称图形，当题目中没有明确说明点在圆上的具体位置或弦与弦的具体位置时，应注意分情况进行讨论。
15.正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算。
16.孤长公式的应用问题
（1）在利用弧长公式计算弧长时，应首先确定弧所在圆的半径R和弧所对的圆心角的度数n°；(2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
17.扇形面积公式的应用问题
在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式或 S=12lR中求解即可。
18.不规则图形的面积问题：求不规则图形的面积，通常是根据图形的特点，弄清阴影部分的构成，然后将不规则图形的面积转化为与其面积相等的规则图形的面积的和或差求解。
19.圆锥的侧面展开图问题：在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助“圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式(其中r为底面圆半径，l为母线长)来解决问题。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）如图，在中，，在内取一点，连接、，点、分别是、的中点，连接、、，若的面积为1，则的面积为________．


2.（2021·江苏苏州·一模）如图，点A、B、C在半径为2的上，，，则的长为_________．


3.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）用半径为圆心角为扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________．


【训练题组1】
1．（2021·江苏·苏州市相城区望亭中学一模）已知，则的值是_______．
2．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）因式分解的结果是_______．
3．（2021·江苏苏州·一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
4．（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）已知反比例函数的图像经过点，则的值为________．
5．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）用黑白两种全等的等腰直角三角形地砖铺成如图所示的方形地面，一只小虫在方形地面上任意爬行，并随机停留在方形地面某处，则小虫停留在黑色区域的概率是______．

6．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）如图，将半径为6cm的圆分别沿两条平行弦对折，使得两弧都经过圆心，则图中阴影部分的面积为______cm2．

7．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝_____．

【训练题组2】
1．（2021·江苏苏州·二模）已知m是方程的根，则代数式的值为_______．
2．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）分解因式：=_________________________．
3．（2021·江苏苏州·二模）要使式子有意义，则字母x的取值范围是__________．
4．（2021·江苏·苏州新草桥中学一模）已知关于x的二次函数的图像上有两点，若且，则与的大小关系是______．
5．（2021·江苏苏州·一模）如图，是用黑白打印机在纸张上打印的边长为的正方形“易加学院”微课二维码．为了估计图中黑色部分的总面积，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_________．

6．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x的一元二次方程的根都是整数，则整数m的最大值是________．
7．（2021·江苏苏州·一模）如图，点O为优弧所在圆的圆心，，点D在延长线上，，则_________．

【训练题组3】
1．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）计算：___________．
2．（2021·江苏苏州·一模）已知则的值为_________________．
3．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）设是一元二次方程两个根，则________．
5．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）如图，是半圆O的直径，以O为圆心，C为半径的半圆交于C、D两点，弦切小半圆于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留）

6．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D是方格纸中的四个格点（即正方形的顶点），图中阴影部分是将四边形ABCD的四边中点连结起来而得到的图形，若将一个骰子投到这个方格纸中，则投到阴影部分的概率是_______．

7．（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学一模）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则关于x的不等式4x+2＜kx+b≤0的解集为__________．




专题03 填空基础通关
目录
一、考点归纳
【考点01】 整式的运算
【考点02】 因式分解
【考点03】 二次根式
【考点04】 函数
【考点05】 概率
【考点06】 简单的平面几何的计算
二、最新模考题组练 2


【考点01】 整式的运算
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）若，则的值为______．
【答案】3
【分析】根据，将式子进行变形，然后代入求出值即可．
【解析】∵ ，
∴=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3．
故答案为：3．
2.（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可.
【解析】解：∵单项式与单项式是同类项，
∴m-1=2,n+1=2,
解得：m=3,n=1.
∴m+n=3+1=4.
故答案为：4.
【提分秘籍】
整式的运算在填空题中的考查较为简单，主要为整式的加减法运算与整式的乘除法运算。
1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。
确定单项式的系数的注意事项：
（1）确定单项式的系数时，最好现将单项式写成数与字母的乘积的形式，在确定系数；
（2）圆周率是常数，单项式中出现时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，负数做系数应包括前面的符号；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。
2.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；不能将数字的指数一同计算。
3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫作这个多项式的次数。多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；多项式通常以它的项的次数和项数来命名。
4.合并同类项
（1）同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，所有的常数项都是同类项。；
（2）合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
（3）合并同类项的一般步骤：①找出多项式中的同类项；②将多项式中的同类项移到一起；③将系数相加，字母和字母的指数不变。
5.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
6.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘；不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，幂的乘方是转化为指数的乘法运算，同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算。
7.积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；3个或3个以上的数的乘积，也适用这一法则。
8.单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
9.单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
10.多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；
11.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
12.单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。单项式除以单项式的结果仍为单项式。
13.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。多项式除以单项式的结果是一个多项式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）已知，则代数式的值为_________．
【答案】3
【分析】将已知代数式的值整体代入求解即可．
【解析】


故答案为：3
2.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）计算的结果等于________．
【答案】
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂除法的运算法则计算即可．
【解析】


故答案为：
3.（2021·江苏·苏州湾实验初级中学一模）化简________．
【答案】
【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行整式化简解答．
【解析】解：
=
=，
故答案为：．
【考点02】 因式分解
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）因式分解______．
【答案】
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【解析】解：（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
2.（2019·江苏苏州·中考真题）因式分解：__________________.
【答案】
【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
【解析】解：x2－xy= x(x－y).
【提分秘籍】
1.因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。
2.公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。
3.提公因式法分解因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0）
4.用平方差公式分解因式：（公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式）
5.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州草桥中学一模）因式分解：___________．
【答案】3（a+3）（a-3）
【分析】直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解析】解：3a2-27=3（a2-9）
=3（a+3）（a-3）．
故答案为：3（a+3）（a-3）．
2.（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）因式分解______．
【答案】
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可．
【解析】

．
故答案为：．
3.（2021·江苏苏州·一模）分解因式：_______．
【答案】
【分析】利用提公因式法直接分解因式即可．
【解析】解：
故答案为：．
【考点03】 二次根式
【典例分析】
1.（2020·江苏苏州·中考真题）使在实数范围内有意义的的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解．
【解析】∵x-1≥0，
∴x≥1．
故答案是：．
2.（2019·江苏苏州·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.
【答案】
【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可
【解析】要使有意义，则需要，解出得到。
【提分秘籍】
二次根式在选择中的考查主要以二次根式的概念和性质为主，比较简单，只要考生细心点，基本不会丢分。
1.二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。
2.二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即。
3.二次根式的性质：
（1）是一个非负数；既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提条件是，而中的为一切实数；，，是三个重要的非负数。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学一模）函数中，自变量的取值范围是________．
【答案】x＞1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解析】解：根据题意得：x−1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
2.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）函数中自变量的取值范围是________．
【答案】x＞-1
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解不等式即可．
【解析】解：∵有意义
∴且
解得：
故答案为：.
3.（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）式子有意义，则a的取值范围是_________．
【答案】a≥1且a≠2
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可求解a的取值范围．
【解析】解：由题意得a﹣1≥0且a﹣2≠0，
解得a≥1且a≠2，
故答案为：a≥1且a≠2．
【考点04】 函数
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）若，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【解析】解：根据可得y＝﹣2x+1，
∴k＝﹣2＜0
∵，
∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，
∴
故答案为：．
2.（2020·江苏苏州·中考真题）若一次函数的图像与轴交于点，则__________．
【答案】2
【分析】把点（m，0）代入y=3x-6即可求得m的值．
【解析】解：∵一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点（m，0），
∴3m-6=0，
解得m=2.
故答案为:2．
【提分秘籍】
1.一次函数的性质
（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
（2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
2.一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．
当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．
3.一次函数与一元一次方程的关系：直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
4.一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
5.一次函数与二元一次方程（组）的关系：一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。
6.反比例函数图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当k>0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
7.反比例函数的对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上．图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上。
8．反比例函数中k的几何意义：
（1）设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）。
（2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为。
9.二次函数的图象与其他函数的图象共存问题
在同一平面直角坐标系，判断两个函数图象的位置时，应先确定一个函数图象的位置，然后再看另一个函数的图象位置是否符合要求。
10.二次函数与一元二次方程之间的关系问题
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)可以看作是二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)当y=0时的一种特殊情况，所以二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
11.二次函数 y=ax2+bx+ca≠0(a≠0)的图象和x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根之间的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，当△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣4），AC与x轴交于点D，CD＝4AD，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝__．

【答案】
【分析】作x轴的垂线，构造相似三角形，利用和C（0，﹣4）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．
【解析】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO
∴，
∵，
∴，∠OCD＝∠DAE，
∴AE＝1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
在△OBC和△ODC中，

∴△OBC≌△ODC（ASA）
∴BO＝OD，∠OCB＝∠OCD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBD＝90°，
又∵∠OCB+∠CBD＝90°，
∴∠OCB＝∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，
∴△ABE～△DCO，
∴，
设DE＝n，则BO＝OD＝4n，BE＝9n，
∴，
∴n＝，
∴OE＝5n＝，
∴A（，1）
∴k＝×1＝．
故答案为：．

2.（2021·江苏·苏州高新区第二中学一模）在反比例函数的图像上有两点、．若，则k的取值范围是________．
【答案】k＜
【分析】利用反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，于是得到1-3k＞0，然后解不等式即可．
【解析】解：∵x1＜0＜x2，y1＜y2，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴1-3k＞0，
∴k＜，
故答案为：k＜．
3.（2021·江苏苏州·一模）已知二次函数（a为常数）的图像与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_____．
【答案】﹣2≤a≤3．
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得对称轴不超过3，从而得出答案．
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0．
解得：a≥﹣2；
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．
故答案为：﹣2≤a≤3．
【考点05】 概率
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．

【答案】
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【解析】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，
∴小球停在黑色区域的概率是；
故答案为：
2.（2019·江苏苏州·中考真题）如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方形，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为_________

【答案】
【分析】先得到小正方体的个数，然后再得到恰有三个面涂有红色的小正方体个数，再利用概率公式进行计算即可
【解析】小正方体的个数为3×3×3=27个
由图直接数出恰有三个面涂有红色的小正方体的个数为8个，
所以取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为，故填
【提分秘籍】
1.随机事件：事件分为确定性事件和随机事件，确定性事件又分必然事件和不可能事件两种；
(1)确定性事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件，必然事件与不可能事件统称确定事件.
(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2.随机事件的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
3.概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 PA=mn.
4.事件概率的取值范围
(1)事件发生可能性大小的表示：可以用线段图表示“可能发生”、“很可能发生”、“不大可能发生”、“必然发生”、“不可能发生”之间的概率大小.
(2)事件发生概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
当A为必然事件时，P(A)=1.
当A为不可能事件时，P(A)=0.
当A为随机事件时，0 【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共10个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球的概率为，则袋中红球的个数为___个．
【答案】6．
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸到一个红球的概率为，由此可得一个方程，解方程即可．
【解析】设袋子中红球有x个，根据题意可得：，
解得：x＝6，
故答案为：6．
2.（2021·江苏苏州·一模）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的点数分别是1、2、3、4、5、6）一次，则朝上的一面的点数是3的倍数的概率是______．
【答案】
【分析】利用概率公式计算即可
【解析】一共有6种等可能性,其中是3的倍数的可能性有3,6这2种,
所以朝上的一面的点数是3的倍数的概率是=,
故答案为:
3.（2021·江苏苏州·二模）从中任意选两个数，记作a和b，那么点在函数图象上的概率是______．
【答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a，b）在函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中点（a，b）在函数图象上的结果数为4，
所以点（a，b）在函数图象上的概率．
故答案为：
【考点06】 简单的平面几何的计算
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）如图．在中，，．若，则______．

【答案】54°
【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．
【解析】∵ AF=EF，
∴ ∠A=∠AEF，
∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，
∴ ∠A=36°，
∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°．
故答案为：54°．
2.（2021·江苏苏州·中考真题）如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______．（结果保留根号）

【答案】
【分析】先由菱形的性质得出，求得，再根据直角三角形两锐角互余得 ,连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得，，根据AAS证明可得，从而可求出．
【解析】解：连接AC，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，，BD=2DO
∴
∵
∴
∵
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴
在和中，

∴≌
∴
∴
故答案为：．
【提分秘籍】
填空题中对简单平面几何的考查主要以三角形和圆为背景，求解角度或者线段的长度。
1.三角形的三边关系问题
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用三角形三边之间的关系可以解决以下两类问题：
(1)判断三条线段能否组成三角形：三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的线段，那么这三条线段能组成一个三角形。
(2)确定三角形第三边的取值范围：三角形两边为a，b(a>b)，则第三边c必满足a-b 2.与三角形的高、中线有关的问题
①从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；利用三角形的高可解决三角形相关角度的计算和面积计算的问题.钝角三角形有两条高线在三角形外部，对于无附图的几何题一般需进行分类讨论。
②三角形的顶点和它对边中点的连线叫做三角形的中线，三角形的每条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，因此这两个三角形的面积相等。
3.与三角形内、外角的度数问题：求三角形内角或外角的度数时，常用到的理论依据有两点：一是三角形内角和定理，即三角形的内角和等于180°；二是三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4.与三角形内、外角平分线有关的问题：当题目中出现三角形的内角或外角的平分线时，常运用三角形外角与内角的关系以及三角形的内角和解决问题。
5.解与三角形中位线有关的问题：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。三角形中位线分得的三角形两部分的面积比为1：3。当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得相应线段的数量关系与位置关系。
6.全等三角形性质的问题：证明两条线段相等或两个角相等时，常证明两条线段或两个角所在的三角形全等，运用全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等、对应角相等得到。
7.三角形全等的判定问题
(1)当已知两边分别相等时，可找两边的夹角或第三边，利用“SAS”或“SSS”来证明两个三角形全等；
(2)当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的对边，利用“ASA”或“AAS”来证明两个三角形全等；
(3)当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS”来证明两个三角形全等；
(4)当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS”或“ASA”来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等；
(5)在直角三角形中除了利用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，还可以利用“HL”来证明两个三角形全等。
8.角平分线的性质（判定）问题：如果题目中出现角平分线时，常运用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到相等的线段；如果题目中出现到角的两边距离时，常证这两个距离相等，进而得到角的平分线。
9.等腰三角形有关的问题
（1）解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系确定能否构成三角形。当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时，要分类讨论，还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边。
（2）解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理，遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论。
10.等边三角形问题
（1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；所有边上的高、中线与所有角平分线都相等。
（2）解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的60°角、三条边中任意两边都相等进行推理或计算。
11.垂径定理及其应用
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）。在应用垂径定理及其推论进行计算时，通常利用圆的半径r，弦心距d，拱高h，弦长a这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及r=d+h来求有关量。根据上述公式，在a，d，r，h这些量中，知道其中任何两个量就可以求出其余两个量。
在圆中，一般利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段，连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解。
12.圆心角、弧、弦之间关系的应用问题
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等.运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。
13.圆周角定理的应用问题
(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化；
(2)在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
(3)当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角。
14.圆的轴对称性有关的多解问题：圆是轴对称图形，当题目中没有明确说明点在圆上的具体位置或弦与弦的具体位置时，应注意分情况进行讨论。
15.正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算。
16.孤长公式的应用问题
（1）在利用弧长公式计算弧长时，应首先确定弧所在圆的半径R和弧所对的圆心角的度数n°；(2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
17.扇形面积公式的应用问题
在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式或 S=12lR中求解即可。
18.不规则图形的面积问题：求不规则图形的面积，通常是根据图形的特点，弄清阴影部分的构成，然后将不规则图形的面积转化为与其面积相等的规则图形的面积的和或差求解。
19.圆锥的侧面展开图问题：在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助“圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式(其中r为底面圆半径，l为母线长)来解决问题。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）如图，在中，，在内取一点，连接、，点、分别是、的中点，连接、、，若的面积为1，则的面积为________．

【答案】7
【分析】先求得，由中位线的性质，得到，再根据三角形中线的性质，证得，并解得，继而解题．
【解析】解：在中，，

点、分别是、的中点，
是的中位线，





点、分别是、的中点，
分别是的中线，

设，则




故答案为：7．
2.（2021·江苏苏州·一模）如图，点A、B、C在半径为2的上，，，则的长为_________．

【答案】
【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据圆周角定理求出∠AOB，根据弧长公式求出即可．
【解析】解：∵BC∥OA，∠A=30°，
∴∠C=∠A=30°，
∴由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=60°，
∴劣弧AB的长是=，
故答案为：．
3.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）用半径为圆心角为扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________．
【答案】
【分析】先利用弧长公式求出圆锥的底面周长，即可求解．
【解析】解：扇形的弧长为： ，
即这个圆锥的底面的周长为： ，
∴这个圆锥的底面圆半径为 ．
故答案为： ．

【训练题组1】
1．（2021·江苏·苏州市相城区望亭中学一模）已知，则的值是_______．
【答案】3
【分析】观察所求代数式可知，可以将已知整体代入求代数式的值．
【解析】解：∵
∴
∴
故答案为：3.
2．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）因式分解的结果是_______．
【答案】
【分析】先提取公因式m,再运用进行平方差公式进行因式分解即可．
【解析】=
故答案为．
3．（2021·江苏苏州·一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
【答案】x≥2
【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不能为0进行计算求解即可得到答案.
【解析】解：∵在实数范围内有意义
∴且
解得
故答案为：.
4．（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）已知反比例函数的图像经过点，则的值为________．
【答案】-3
【分析】直接根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
【解析】解：∵反比例函数的图象经过点（-1，3），
∴k=-1×3=-3；
故答案为：-3
5．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）用黑白两种全等的等腰直角三角形地砖铺成如图所示的方形地面，一只小虫在方形地面上任意爬行，并随机停留在方形地面某处，则小虫停留在黑色区域的概率是______．

【答案】
【分析】先由图得出地砖的总数及黑色地砖的块数，让黑色地砖的块数除以地砖总数即可．
【解析】解：可观察图形，黑色地砖与白色地砖的面积相等，停在黑色和白色地砖上的概率是相同的，由此可知小虫停在黑地砖上的概率为 ， 故答案为：。
6．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）如图，将半径为6cm的圆分别沿两条平行弦对折，使得两弧都经过圆心，则图中阴影部分的面积为______cm2．

【答案】
【分析】设该圆圆心为O，并用大写字母表示出其它点，作于点C．根据所作图形可知，再根据题意可知，，即得出．结合勾股定理，在中，可求出的长，即可求出AB的长，最后根据，结合圆的面积公式、扇形的面积公式，三角形面积公式求出结果即可．
【解析】如图，设该圆圆心为O，其它点如图所示，并作于点C．
根据垂径定理可知，．
∵该圆分别沿两条平行弦对折，且两弧都经过圆心，
∴，       
∴，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∴．

故答案为：
7．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝_____．

【答案】
【分析】作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，则△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CD、BD的长，然后根据正切的定义求解即可．
【解析】解：作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
∵∠A，∠B互为半余角，
∴∠BCD=∠A+∠B=45°，
∴∠CBD=45°，
∴∠BCD=∠CBD，
∴BD=CD，
∵，
∴可设BC=，AC=，
∵BD2+CD2=BC2，
∴BD=CD=，
∴AD=3x+2x=5x，
∴tanA＝，
故答案为：．

【训练题组2】
1．（2021·江苏苏州·二模）已知m是方程的根，则代数式的值为_______．
【答案】2022
【分析】根据m是方程x2-3x+2021=0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．
【解析】∵m是方程x2-3x+2021=0的根，
∴m2-3m+2021=0，
∴m2-3m=-2021，
∴1+3m-m2
=1-（m2-3m）
=1-（-2021）
=2022，
故答案为2022．
2．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）分解因式：=_________________________．
【答案】．
【解析】试题分析：原式==．
3．（2021·江苏苏州·二模）要使式子有意义，则字母x的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0即可得出结论．
【解析】解：因为式子有意义，
∴
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
4．（2021·江苏·苏州新草桥中学一模）已知关于x的二次函数的图像上有两点，若且，则与的大小关系是______．
【答案】y1＝y2．
【分析】求出二次函数的对称轴为直线x＝1，然后判断出A、B关于对称轴对称，再根据二次函数的对称性解答即可．
【解析】解：二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵x1＜1＜x2且x1+x2＝2，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴y1＝y2．
故答案为：y1＝y2．
5．（2021·江苏苏州·一模）如图，是用黑白打印机在纸张上打印的边长为的正方形“易加学院”微课二维码．为了估计图中黑色部分的总面积，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_________．

【答案】300
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.75，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【解析】∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在075左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.75，
∴估计黑色部分的总面积约为20×20×0.75 = 300，
故答案为：300．
6．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x的一元二次方程的根都是整数，则整数m的最大值是________．
【答案】2
【分析】先利用因式分解法解方程得出含的根，再由根是整数求出的值即可．
【解析】把原方程利用因式分解法分解因式可得：，
∴或，
解得：或，
∵方程两个实数根都是整数且整数，
∴为．
∴最大值为2.
故答案为：2．
7．（2021·江苏苏州·一模）如图，点O为优弧所在圆的圆心，，点D在延长线上，，则_________．

【答案】27°
【分析】根据圆周角定理，可得出∠ABC的度数，再根据BD=BC，即可得出答案．
【解析】解：∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°，
∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=∠ABC=27°，
故答案为27°．
【训练题组3】
1．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）计算：___________．
【答案】
【分析】根据单项式乘单项式法则计算．
【解析】解：，
故答案为：．
2．（2021·江苏苏州·一模）已知则的值为_________________．
【答案】-18
【分析】先对原式提取公因式，然后利用完全平方公式化简，最后整体代入即可求出答案．
【解析】
∵，
∴原式= ，
故答案为：-18．
3．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】由被开负数为非负数可得不等式，再解不等式可得答案．
【解析】解：∵使在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）设是一元二次方程两个根，则________．
【答案】
【分析】先根据根与系数的关系得出，，再代入计算即可得出答案．
【解析】解：∵是方程的两实数根，
∴，，
∴



故答案为：．
5．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）如图，是半圆O的直径，以O为圆心，C为半径的半圆交于C、D两点，弦切小半圆于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留）

【答案】
【分析】连接OE，OF求出∠EOD、∠FOB的度数，根据阴影部分面积=三角形FOE+扇形OFB-扇形EOD的面积即可计算得到答案
【解析】解：如图所示，连接OE，OF
∵弦AF切小半圆于点E
∴OE⊥AF
又∵OC=OF
∴AE=EF，∠AOE=∠FOE（三线合一）
∵OC=OE=1，OA=2
∴∠OAE=30°
∴∠AOE=FOE=60°
∴∠FOD=60°，∠EOD=120°
∴
∴，，
∴
故答案为：.

6．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D是方格纸中的四个格点（即正方形的顶点），图中阴影部分是将四边形ABCD的四边中点连结起来而得到的图形，若将一个骰子投到这个方格纸中，则投到阴影部分的概率是_______．

【答案】
【分析】根据题意求出阴影部分面积，再利用概率公式计算即可.
【解析】解：阴影部分是将四边形ABCD的四边中点连结起来而得到的图形，则EF=，EH=，
则阴影部分的面积=4；大正方形的面积=16，
则若将一个骰子投到这个方格纸中，
则投到阴影部分的概率=
7．（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学一模）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则关于x的不等式4x+2＜kx+b≤0的解集为__________．

【答案】-2≤x＜-1
【分析】由图象得到直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标（-1，-2）及直线y=kx+b与x轴的交点坐标，观察直线y=4x+2落在直线y=kx+b的下方且直线y=kx+b落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求．
【解析】解：∵经过点B（-2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（-1，-2），
∴直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（-1，-2），直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B（-2，0），
又∵当x＜-1时，4x+2＜kx+b，
当x≥-2时，kx+b≤0，
∴不等式4x+2＜kx+b≤0的解集为-2≤x＜-1．
故答案为：-2≤x＜-1．