2022年中考数学二轮热点题型演练专题02 选择题压轴突破

这是一份2022年中考数学二轮热点题型演练专题02 选择题压轴突破

专题02 选择题压轴突破
目录
一、考点归纳
【考点01】 几何图形的性质
【考点02】 函数的图像与性质
二、最新模考题组练 2


【考点01】 几何图形的性质
【典例分析】
（2019·江苏苏州·中考真题）如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为(       )

A． B． C． D．
【提分秘籍】
（一）全等三角形
1.全等三角形性质的问题
证明两条线段相等或两个角相等时，常证明两条线段或两个角所在的三角形全等，运用全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等、对应角相等得到。
2.三角形全等的判定问题
证明两条线段相等（或两个角相等）的常用方法是证明这两条线段（或两个角）所在的三角形全等。
判定两个三角形全等的一般方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，对于直角三角形还有“HL”，三角形全等的判定方法的选择：
(1)当已知两边分别相等时，可找两边的夹角或第三边，利用“SAS”或“SSS”来证明两个三角形全等；
(2)当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的对边，利用“ASA”或“AAS”来证明两个三角形全等；
(3)当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS”来证明两个三角形全等；
(4)当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS”或“ASA”来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等；
(5)在直角三角形中除了利用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，还可以利用“HL”来证明两个三角形全等。
（二）等腰三角形
1.角平分线的性质（判定）问题
如果题目中出现角平分线时，常运用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到相等的线段；如果题目中出现到角的两边距离时，常证这两个距离相等，进而得到角的平分线。
2.等腰三角形有关的问题
（1）解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系确定能否构成三角形。当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时，要分类讨论，还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边。
（2）解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理，遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论。
3.等边三角形问题
（1）等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形又叫正三角形。
（2）等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；所有边上的高、中线与所有角平分线都相等。
（3）解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的60°角、三条边中任意两边都相等进行推理或计算。
（三）直角三角形
1.直角三角形的边长的问题
（1）求直角三角形的边长时常用到以下性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理）。
（2）求直角三角形的边长常用的方法，要根据题目已知条件及图形特征灵活运用，并运用勾股定理进行推理或计算。当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线或中点(构造斜边上的中线）时，可以考虑应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；善于在直角三角形中发现特殊角度产生的作用，如应用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”“含45°角的直角三角形是等腰直角三角形，斜边上的高等于斜边的一半”等等；在解与直角三角形的边有关的问题时，通常考虑应用勾股定理。
2.直角三角形内角的度数的有关问题
遇到求直角三角形内角度数的问题时，常用“三角形内角和定理”“直角三角形两锐角互余”以及“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”来求解。
3.勾股定理的证明问题
勾股定理的证明方法有很多种，而“面积法”是常用的证明方法。证明勾股定理的方法是用两种不同的方法表示同一个图形的面积，列出含有a，b，c的等式，利用整式的运算法则把等式整理后得到。
（四）四边形
1.平行四边形的性质与判定的综合问题
平行四边形的性质和判定相结合可解决有关角相等或互补、线段相等或倍分、两直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题，也可以先根据平行四边形的性质得出有关结论，然后根据相关结论证明一个四边形是平行四边形。
2.矩形的折叠问题的常用解题思路：
(1)对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；
(2)选择一个直角三角形，运用勾股定理列出方程求解。
3.利用菱形的性质求线段的长，主要是利用菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直平分，通过构造直角三角形进行求解。判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分。
4.正方形
掌握正方形性质的特殊性，对求与正方形有关角的度数及线段的长度问题非常有用，如正方形对角线与边的夹角为45°；正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成4个完全相同的等腰直角三角形。
判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形有一个角为直角和一组邻边相等。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是（       ）

A． B．3 C． D．6
2.（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，正方形边长为8，为中点，线段在边上从左向右以1个单位/秒的速度运动，，从点与点重合时开始计时，到点与点重合时停止，设运动时间为秒，连结，在运动过程中，下列4个结论：①当时，；②只有当时，以点构成的三角形与相似；③四边形的周长最小等于；④四边形的面积最大等于38．其中正确的有（        ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（2021·江苏·苏州市吴江区存志外国语学校一模）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　）

A．1 B． C． D．
【考点02】 函数的图像与性质
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（       ）

A． B．
C． D．
2.（2020·江苏苏州·中考真题）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（   ）

A． B． C． D．
【提分秘籍】
（一）函数的概念与图像
1.函数自变量的取值范围问题
确定自变量的取值范围时：
(1)要考虑使函数关系式有意义——在整式中，自变量的取值范围为全体实数；分式中满足分母不为0；偶次方根满足被开方数是非负数；在零次幂或负整数次幂中，底数不为0。
(2)要注意实际问题中的实际意义。
(3)在具体问题中，要综合上述几种情况同时考虑。
2.识别和判断函数图象的问题
对于函数图象的识别与判断问题，在解决时要读懂所给情境，仔细分析横轴、纵轴上数据的意义，要特别注意分析其中的“交点”“转折点”的意义，这些“关键点”意味着图象在此处发生变化，还要注意图象的变化趋势，并结合题中文字信息，做到“数形结合”，这样才能做出准确判断.
3.从函数图象中获取信息题
利用函数图象解决实际问题是数形结合思想的典型应用，要明确横轴、纵轴所表示的实际意义.注意读懂图象所表示的意义，从图象中获取有用信息.
（二）反比例函数 y=kx(k=0)中k的几何意义
由反比例函数系数k的几何意义可知，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，两垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。矩形的对角线把矩形分成两个全等的三角形，其面积都等于，并且矩形(或三角形)的面积不随该点的位置变化而变化。通常利用k的几何意义来求有关图形的面积，或利用图形的面积求反比例函数的解析式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州草桥中学一模）如图，点是反比例函数上的一个动点，点分别在轴、轴上．当点到所在直线距离最大时，点的坐标是（       ）

A． B． C． D．
2.（2021·江苏苏州·一模）如图1，已知E为矩形ABCD的边AD上的一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止；点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P，Q同时出发，t(s)时，△BPQ的面积为y()．已知y与t的函数关系图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，有下列结论：①AD＝BE＝5cm；②；③当时，；④当时，△ABE∽△QBP其中正确的结论是（     ）

A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
3.（2021·江苏·苏州湾实验初级中学一模）如图所示，已知中，，边上的高，为上一点，，交于点，交于点，设点到边的距离为，则的面积关于的函数图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【训练题组1】
1．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）

A． B． C． D．
2．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（       ）

A． B． C． D．
3．（2021·江苏苏州·二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．
4．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再将△ADC沿AD翻折，得到△ADE，连接BE，则tan∠EBC的值为（       ）

A． B． C． D．
5．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级开学考试）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（       ）

A．（，3） B． C．（，） D．
6．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）如图，甲、丙两地相距，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线表示两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（       ）

A．甲、乙两地之间的距离为 B．快车从甲地驶到丙地共用了
C．快车速度是慢车速度的1.5倍 D．快车到达丙地时，慢车距丙地还有
【训练题组2】
1．（2021·江苏苏州·一模）如图，的边在x轴上，顶点C在第一象限，顶点D在y轴的正半轴上．将四边形沿y轴翻折后，点B落在点处，点C落在函数图像上的点处，与相交于点E．若的面积为1，则k的值为（       ）

A． B． C． D．
2．（2021·江苏省苏州市阳山实验初级中学校二模）已知一次函数（，为常数，），（，为常数，）的图像如图所示，则函数的图像可能是（       ）

A． B．
C． D．
3．（2021·江苏苏州·一模）如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．其中，一定正确的是（　　）

A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）如图，直线与双曲线（k＜0，x＜0）交于点A，将直线向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=2BC，则k的值为（   ）

A． B．－7 C． D．
5．（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②；③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（       ）

A． B． C． D．
【训练题组3】
1．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在正方形中，，点为中点，点绕着点旋转，且，在的右侧作正方形，则线段的最小值是（       ）

A． B． C． D．
2．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021·江苏镇江·二模）如图1，矩形ABCD绕点A逆时针旋转，在此过程中A、B、C、D对应点依次为A、E、F、G，连接DE，设旋转角为x，，y与x的函数图象如图2，当时，y的值为（       ）

A． B． C．3 D．4
4．（2021·江苏镇江·一模）我们知道，的重心就是三条中线、、的交点G，如图1，其中．如图2，中，，将绕其重心G旋转，A、B、C的对应点分别是、、，与的最大值最接近的是（       ）
（参考数据：）
          
A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5
5．（2021·江苏常州·一模）如图，，直角边分别落在x轴和y轴上，斜边相交于点E，且．若四边形的面积为12，反比例函数的图像经过点E，则k的值是（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2021·江苏·无锡市南长实验中学二模）如图，C为线段AB上一点，在线段AB的同侧分别作等边△ACD、△BCE，连接AE、BD相交于F，连接CF．若S△DEF＝8，则CF的长为（     ）

A．4 B．3 C．3 D．4


专题02 选择题压轴突破
目录
一、考点归纳
【考点01】 几何图形的性质
【考点02】 函数的图像与性质
二、最新模考题组练 2


【考点01】 几何图形的性质
【典例分析】
（2019·江苏苏州·中考真题）如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为(       )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证，利用相似三角形性质得到，即，在直角三角形ABD中易得，从而解出DC，得到△ABC的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可
【解析】


易证

即
由题得
解得
的高易得：

故选B
【提分秘籍】
（一）全等三角形
1.全等三角形性质的问题
证明两条线段相等或两个角相等时，常证明两条线段或两个角所在的三角形全等，运用全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等、对应角相等得到。
2.三角形全等的判定问题
证明两条线段相等（或两个角相等）的常用方法是证明这两条线段（或两个角）所在的三角形全等。
判定两个三角形全等的一般方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，对于直角三角形还有“HL”，三角形全等的判定方法的选择：
(1)当已知两边分别相等时，可找两边的夹角或第三边，利用“SAS”或“SSS”来证明两个三角形全等；
(2)当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的对边，利用“ASA”或“AAS”来证明两个三角形全等；
(3)当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS”来证明两个三角形全等；
(4)当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS”或“ASA”来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等；
(5)在直角三角形中除了利用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，还可以利用“HL”来证明两个三角形全等。
（二）等腰三角形
1.角平分线的性质（判定）问题
如果题目中出现角平分线时，常运用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到相等的线段；如果题目中出现到角的两边距离时，常证这两个距离相等，进而得到角的平分线。
2.等腰三角形有关的问题
（1）解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系确定能否构成三角形。当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时，要分类讨论，还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边。
（2）解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理，遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论。
3.等边三角形问题
（1）等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形又叫正三角形。
（2）等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；所有边上的高、中线与所有角平分线都相等。
（3）解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的60°角、三条边中任意两边都相等进行推理或计算。
（三）直角三角形
1.直角三角形的边长的问题
（1）求直角三角形的边长时常用到以下性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理）。
（2）求直角三角形的边长常用的方法，要根据题目已知条件及图形特征灵活运用，并运用勾股定理进行推理或计算。当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线或中点(构造斜边上的中线）时，可以考虑应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；善于在直角三角形中发现特殊角度产生的作用，如应用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”“含45°角的直角三角形是等腰直角三角形，斜边上的高等于斜边的一半”等等；在解与直角三角形的边有关的问题时，通常考虑应用勾股定理。
2.直角三角形内角的度数的有关问题
遇到求直角三角形内角度数的问题时，常用“三角形内角和定理”“直角三角形两锐角互余”以及“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”来求解。
3.勾股定理的证明问题
勾股定理的证明方法有很多种，而“面积法”是常用的证明方法。证明勾股定理的方法是用两种不同的方法表示同一个图形的面积，列出含有a，b，c的等式，利用整式的运算法则把等式整理后得到。
（四）四边形
1.平行四边形的性质与判定的综合问题
平行四边形的性质和判定相结合可解决有关角相等或互补、线段相等或倍分、两直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题，也可以先根据平行四边形的性质得出有关结论，然后根据相关结论证明一个四边形是平行四边形。
2.矩形的折叠问题的常用解题思路：
(1)对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；
(2)选择一个直角三角形，运用勾股定理列出方程求解。
3.利用菱形的性质求线段的长，主要是利用菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直平分，通过构造直角三角形进行求解。判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分。
4.正方形
掌握正方形性质的特殊性，对求与正方形有关角的度数及线段的长度问题非常有用，如正方形对角线与边的夹角为45°；正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成4个完全相同的等腰直角三角形。
判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形有一个角为直角和一组邻边相等。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是（       ）

A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】过点B作射线BH，使得∠CBH＝30°，过点P作PE⊥BH，垂足为点E，由此可得PE＝BP，再过点O作OF⊥BH，由此可证得OP＋BP≥OE≥OF，根据垂线段最短可得OP＋BP的最小值为线段OF的长，再利用特殊角的三角函数值及矩形性质进行计算即可求得答案．
【解析】解：如图，过点B作射线BH，使得∠CBH＝30°，过点P作PE⊥BH，垂足为点E，则∠BEP＝90°，

在Rt△BPE中，sin∠PBE＝，
∴sin30°＝＝，
∴PE＝BP，
过点O作OF⊥BH，垂足为点F，则∠OFB＝90°，
∵OP＋PE≥OE≥OF，垂线段最短，
∴OP＋BP≥OE≥OF，
∴OP＋BP的最小值为线段OF的长，
∵在矩形ABCD中，
∴∠BCD＝90°，，，，
∴，，
∴∠CBD＝30°，，
∴∠HBD＝∠CBH＋∠CBD＝60°，，
∵在Rt△BOF中，sin∠OBF＝，
∴sin60°＝，
解得：，
∴OP＋BP的最小值为，
故选：A．
2.（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，正方形边长为8，为中点，线段在边上从左向右以1个单位/秒的速度运动，，从点与点重合时开始计时，到点与点重合时停止，设运动时间为秒，连结，在运动过程中，下列4个结论：①当时，；②只有当时，以点构成的三角形与相似；③四边形的周长最小等于；④四边形的面积最大等于38．其中正确的有（        ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据“SAS”即可判断①；根据相似三角形的性质，列出比例式，即可判断②，用含t的代数式表示出EP+ BQ，结合两点间的距离公式以及对称性，即可求出EP+ BQ的最小值，进而即可判断③；用含t的代数式表示四边形的面积，结合，即可判断④．
【解析】解：由题意得：当时，CQ=8-3-1=4，AE=AD=×8=4，
∴AE=CQ，
∵在正方形中，∠A=∠C=90°，AB=CB，
∴，故①正确；
∵∠D=∠C=90°，
∴点构成的三角形与相似时，或，
∴或，解得：或无解，
∴②正确；
∵EP=，BQ=
∴EP+ BQ可以看作是点(t，0)到点(0，4)与点(5，8)的距离之和，
∴EP+ BQ的最小值=点(0，-4)与点(5，8)的距离=，
∴四边形的周长最小值=BE+PQ+13=+3+13=，
故③正确；
∵四边形的面积==
=，
又∵，
∴四边形的面积最大值=，
故④正确．
故选D．
3.（2021·江苏·苏州市吴江区存志外国语学校一模）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取的中点，连接、、，作于.首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【解析】解：如图，取的中点，连接、、，作于.

∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
∵，，
∴，
易知的最大值为的长，最小值为的长，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值的差为.
故选：C．
【考点02】 函数的图像与性质
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．
【解析】解：根据题意，
∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，则，
∴，
∴，
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为
∴其底面的面积为
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为
∴其底面的面积为
∴两者的面积和
∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值；
故选：D．
2.（2020·江苏苏州·中考真题）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可．
【解析】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H

∵四边形是平行四边形
∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是
∴
解得（舍去）
∴点B坐标为
故应选：B
【提分秘籍】
（一）函数的概念与图像
1.函数自变量的取值范围问题
确定自变量的取值范围时：
(1)要考虑使函数关系式有意义——在整式中，自变量的取值范围为全体实数；分式中满足分母不为0；偶次方根满足被开方数是非负数；在零次幂或负整数次幂中，底数不为0。
(2)要注意实际问题中的实际意义。
(3)在具体问题中，要综合上述几种情况同时考虑。
2.识别和判断函数图象的问题
对于函数图象的识别与判断问题，在解决时要读懂所给情境，仔细分析横轴、纵轴上数据的意义，要特别注意分析其中的“交点”“转折点”的意义，这些“关键点”意味着图象在此处发生变化，还要注意图象的变化趋势，并结合题中文字信息，做到“数形结合”，这样才能做出准确判断.
3.从函数图象中获取信息题
利用函数图象解决实际问题是数形结合思想的典型应用，要明确横轴、纵轴所表示的实际意义.注意读懂图象所表示的意义，从图象中获取有用信息.
（二）反比例函数 y=kx(k=0)中k的几何意义
由反比例函数系数k的几何意义可知，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，两垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。矩形的对角线把矩形分成两个全等的三角形，其面积都等于，并且矩形(或三角形)的面积不随该点的位置变化而变化。通常利用k的几何意义来求有关图形的面积，或利用图形的面积求反比例函数的解析式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州草桥中学一模）如图，点是反比例函数上的一个动点，点分别在轴、轴上．当点到所在直线距离最大时，点的坐标是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点M作MB⊥AP，垂足为B，分析得出当AB最小时，MB最大，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，证明△PAN∽△AMO，得到AN=4PN，设PN=x，表示出点P坐标，代入反比例函数表达式，求出x值即可．
【解析】解：过点M作MB⊥AP，垂足为B，
可知△AMB为直角三角形，
∵AM固定不变，则当AB最小时，MB最大，
此时点B与点A重合，
过点P作PN⊥x轴，垂足为N，
∵∠MAP=90°，
∴∠PAN+∠MAO=90°，又∠PAN+∠APN=90°，
∴∠MAO=∠APN，又∠PNA=∠MOA=90°，
∴△PAN∽△AMO，
∴，即，
∴AN=4PN，
∴ON=AO+AN=2+4PN，设PN=x，
∴P（-2-4x，x），代入中，
得：，
解得：x=1或x=（舍），
∴P（-6，1），
故选A．

2.（2021·江苏苏州·一模）如图1，已知E为矩形ABCD的边AD上的一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止；点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P，Q同时出发，t(s)时，△BPQ的面积为y()．已知y与t的函数关系图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，有下列结论：①AD＝BE＝5cm；②；③当时，；④当时，△ABE∽△QBP其中正确的结论是（     ）

A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】利用数形结合思想，看出运动分成了三段即0＜t≤5，此时点P到达E，点Q到达C，并停止运动，此时BE=BC=5=AD，5＜t≤7，运动了两秒即ED=2，根据，计算可得AB=4，于是；根据三角形的面积公式可得；7＜t时，点P沿着DC运动，此时QP=4-(t-7)=11-t，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可．
【解析】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
根据图像2，得，
∴AB=4，
∴，故②小题错误；
当0＜t≤5时，
故，故③小题正确；
7＜t时，点P沿着DC运动，此时QP=4-(t-7)=11-t，
∴当时，QP=4-(t-7)=11-t＝，
∴QP：QB=：5=3：4=AE：AB，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．

综上所述，正确的有①③④．
故选C．
3.（2021·江苏·苏州湾实验初级中学一模）如图所示，已知中，，边上的高，为上一点，，交于点，交于点，设点到边的距离为，则的面积关于的函数图象大致为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【解析】解：如图，过点A向BC作AH⊥BC于点H，

∵，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，
∴，
∴y=×2（6-x）x=-x2+6x（0＜x＜6），
∴该函数图象是抛物线y =-x2+6x（0＜x＜6）的部分，
故选：D．

【训练题组1】
1．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，从而可得，先根据直角三角形的性质可得，从而得出在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，再利用圆周角定理、勾股定理可得，然后根据圆的性质得出当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得出答案．
【解析】解：如图，取的中点，连接，则，

，
，
则在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，
是圆的直径，
，
在中，，
在中，，
由圆的性质得：当点共线时，取得最小值，最小值为，
故选：C．
2．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，取的中点，连接，，，DE由，推出，因为，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【解析】如图，取的中点，连接，，，DE．

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：A．
3．（2021·江苏苏州·二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【分析】如图，连接DE，由等腰直角三角形的性质可求∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4，由∠CAD＝∠CBE，可证点A，点B，点D，点E四点共圆，可得∠ABD＝∠DEC＝90°，由等腰直角三角形的性质可求DE＝，即可求解．
【解析】如图，连接DE，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4
∴∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4
∵D是BC中点
∴CD＝BC＝2
∵∠CAD＝∠CBE
∴点A，点B，点D，点E四点共圆
∴∠ABD＝∠DEC＝90°
∴∠C＝∠EDC＝45°
∴DE＝CE＝CD＝
∴AE＝AC﹣CE＝3
故选：B．
4．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再将△ADC沿AD翻折，得到△ADE，连接BE，则tan∠EBC的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：如图，连接，交于 过作于 先求解 设 再利用勾股定理构建方程组 ，再解方程组即可得到答案.
【解析】解：如图，连接，交于 过作于

由对折可得：



设

解得： 或 （舍去）


故选A
5．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级开学考试）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（       ）

A．（，3） B． C．（，） D．
【答案】A
【分析】分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H，根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是，构造方程求即可．
【解析】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H，

∵四边形是平行四边形
，

四边形是矩形

CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是
∴
解得（舍去）
∴点B坐标为
故应选：A
6．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）如图，甲、丙两地相距，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线表示两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（       ）

A．甲、乙两地之间的距离为 B．快车从甲地驶到丙地共用了
C．快车速度是慢车速度的1.5倍 D．快车到达丙地时，慢车距丙地还有
【答案】B
【分析】分析图像，可得甲、乙两地的距离，分别计算出慢车和快车速度，得到快车从甲地到丙地的时间，从而计算出此时慢车到丙地的距离．
【解析】解：∵点A（0，100），
∴甲、乙两地之间的距离为100km；故A选项正确；
∵慢车速度：（400-100）÷3=100km/h，快车速度：（100×2+100）÷2=150km/h，
∴快车速度是慢车速度的1.5倍；故C选项正确；
∵快车速度：150km/h，
∴快车从甲地驶到丙地共用了=h；故B选项错误；
∵当快车到达丙地时，行驶了h，
∴慢车距丙地的距离为：300-×100=km；故D选项正确；
故选：B．
【训练题组2】
1．（2021·江苏苏州·一模）如图，的边在x轴上，顶点C在第一象限，顶点D在y轴的正半轴上．将四边形沿y轴翻折后，点B落在点处，点C落在函数图像上的点处，与相交于点E．若的面积为1，则k的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作EF⊥AB于F点，连接OC＇，可知EA与EB＇关于EF对称，得到，且AF=FB＇=OB＇=O B= ，再由EF∥DO，得△AEF∽△ADO，再得到，设AF=x，EF=y，由三角形的面积公式得到xy=1，得到C＇的坐标为（-4x，3y），从而求出k的值．
【解析】作EF⊥AB于F点，连接OC＇，可知EA与EB＇关于EF对称，

故
且AF=FB＇=OB＇=O B=
∴AO=3AF，
由EF∥DO
得△AEF∽△ADO
∴= ，
∴
设AF=x，EF=y，

即xy=1，
AB=CD=C＇D=4AF=4x，
OD=3EF=3y
C＇的坐标为（-4x，3y）
∴k＝-12xy=-12，
故选：A
2．（2021·江苏省苏州市阳山实验初级中学校二模）已知一次函数（，为常数，），（，为常数，）的图像如图所示，则函数的图像可能是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由一次函数的图象与性质判断出k1，k2的符号，以及图象与x轴交点坐标即可．
【解析】解：由图象知：k1＜0，k2＞0，且-2k2+b2=0，k1+b1=0，
∵y=y1•y2，
∴y=（k1x+b1）（k2x+b2），
∴当x=-2，y=0，
当x=1时，y=0，
∴抛物线过（-2，0），（1，0），且k1k2＜0，
∴抛物线开口向下，
又当时，
∴
∴选项D不正确，
故选：C．
3．（2021·江苏苏州·一模）如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．其中，一定正确的是（　　）

A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】D
【分析】①AB为直径，所以∠ACB＝90°，就是AC⊥BF，但不能得出AC平分BF，故错，
②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF，
③证出D、P、C、F四点共圆，再利用△AMP∽△FCP，得出结论．
④由直径所对的圆周角是直角即可得到结论．
【解析】解：①∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，
故①错误，
②如图，连接CD，

∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDF＝90°，
假设AC平分∠BAF成立，则有DC＝BC，
∴在Rt△FDB中，DC＝BC＝FC，
∴AC⊥BF，且平分BF，与①中的AC⊥BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，
故②错误，
③∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴D、P、C、F四点共圆，
∴∠CFP和∠CDB都对应，

∴∠CFP＝∠CDB，
∵∠CDB＝∠CAB，
∴∠CFP＝∠CAB，
又∵∠FPC＝∠APM，
∴△AMP∽△FCP，
∵∠ACF＝90°，
∴∠AMP＝90°，
∴FP⊥AB，
故③正确，
④∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AF．
故④正确，
综上所述只有③④正确．
故选：D．
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）如图，直线与双曲线（k＜0，x＜0）交于点A，将直线向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=2BC，则k的值为（   ）

A． B．－7 C． D．
【答案】A
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥y轴于E，根据一次函数的平移性质可求出平移后的函数解析式，设A(2a，a)，a＜0，则B（a，a+2），根据反比例函数中k=xy为定值求解即可．
【解析】解：∵将直线向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后的直线表达式为，
过点A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥y轴于E，则∠ADO=∠BEC=90°，
∵OA∥BC，BE∥y轴，
∴∠AOD=∠CBE，
∴△ADO∽△CEB，
∴，
设A(2a，a)，a＜0，则B（a，a+2），
∵点A、B在双曲线（k＜0，x＜0）上，
∴2a×= a×（a+2），
解得：a= ，a=0（舍去），
∴A（，），
∴k= ×=，
故选：A．

5．（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②；③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=45゜，从而可判定①正确；由已知及①可得△CAF∽△DAE，由相似三角形的性质即可判定②正确；由△CAF∽△DAE可得∠ADE=∠CDE=45゜，由正方形的性质可证明△ADE≌△CDE，可得AE=CE，即有∠EAC=∠ECA，再由∠AEC=135゜可得∠EAC=∠ECA=22.5゜，从而CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，即可判定③正确；连接BD交AC于点O，由∠ADE=∠CDE=45゜知，点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，由知，点F的运动速度是点E的运动速度的倍，即④错误，因而可确定答案．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线
∴AD=CD，∠ADC=90゜，∠DAC=∠DCA=∠ACB=45゜
∵△AEF是等腰直角三角形
∴∠FAE=∠DAC=45゜
∵∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=∠DAC=45゜
∴∠CAF=∠DAE
故①正确
∵△AEF、△DAC都是等腰直角三角形
∴
即
∵∠CAF=∠DAE
∴△CAF∽△DAE
∴
∴
故②正确
∵△CAF∽△DAE
∴∠ADE=∠ACB=45゜
∵∠ADC=90゜
∴∠ADE=∠CDE=45゜
在△ADE和△CDE中

∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴AE=CE
∴∠EAC=∠ECA
∵∠AEC=135゜
∴
∵∠DAC=∠DCA=45゜=2∠EAC=2∠ECA
∴CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD
∵∠ADE=∠CDE=45゜
∴DE平分∠ADC
即点E是△ADC角平分线的交点，从而是△ADE的内心
故③正确
如图，连接BD交AC于点O
∵∠ADE=∠CDE=45゜
当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合
∴点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC
∵，且点F与点E的运动时间相同
∴
即点F与点E的运动速度不相同
故④错误
故选：C

6．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接AF，通过对应边的比相等和两边的一夹角证明，得出点F的运动轨迹为在以A为圆心，以AF为半径的圆；过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时；在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
【解析】解：如图，连接AF

由题意知和均为等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上运动
∴过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时
在中，，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴当最大时，
故选B．
【训练题组3】
1．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在正方形中，，点为中点，点绕着点旋转，且，在的右侧作正方形，则线段的最小值是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，利用正方形的性质，证明△DEC∽△DPF，从而得到PF=，故点F在以P为圆心，为半径的圆上，根据圆的基本性质，得到当点F在PH上时，FH取得最小值．
【解析】如图，延长BC到点P，使得PC=BC=6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=6，∠BCD=∠PCD=90°，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴∠CDP=45°，；
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=EF，∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，；
∴，∠CDE=∠PDF，
∴△DEC∽△DFP，
∴，
∵CE=4，
∴PF=，

故点F在以P为圆心，为半径的圆上，
根据圆的基本性质，得到当点F在PH上时，FH取得最小值，
∵H是BC的中点，BC=6，
∴CH=3，
∴PH=9，
∴FH=9-，
故选A．
2．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①由旋转性质证明即可判断；
②由①的结论可得，，进而得到，即可判断；
③证明为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点，当时，的面积最大，通过勾股定理计算求出最大值，进而进行判断
【解析】①由旋转的性质可知：，



即

故①正确
②设相交于点,如图：

由①，可得，
又


故②正确
③，
可知四点共圆，
则
即
故③正确
④设到的距离为，
，以为底边，当最大时候，△AOC面积的才最大，
由③可知是等腰三角，
,当点到的距离最大时即当时，最大
即当旋转角度时，过作于点，如图，
由②可知
由③可知,



由①可知




在中，，

在中，,

在中，



故④不正确
综上所述：①②③正确，共计3个
故选C
3．（2021·江苏镇江·二模）如图1，矩形ABCD绕点A逆时针旋转，在此过程中A、B、C、D对应点依次为A、E、F、G，连接DE，设旋转角为x，，y与x的函数图象如图2，当时，y的值为（       ）

A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据图2中的坐标可得矩形ABCD的对角线长为，，利用勾股定理可求出，，当时，过点E作，解直角三角形即可求解．
【解析】解：由图2可知当未旋转时，，即矩形ABCD的对角线长为，
当旋转90°时，AE落在AD上，此时，
∴，解得，，
当时，如图，过点E作，
，
∵旋转角为30°，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2021·江苏镇江·一模）我们知道，的重心就是三条中线、、的交点G，如图1，其中．如图2，中，，将绕其重心G旋转，A、B、C的对应点分别是、、，与的最大值最接近的是（       ）
（参考数据：）
          
A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5
【答案】B
【分析】根据重心的定义求出CD，再根据勾股定理求出AD、AB，再根据直角三角形斜边中线的性质求出CF，确定出的最大值，代入求解即可；
【解析】由题可知点D为BC的中点，
∴，
∴，，
∵点F为AB的中点，
∴，
由题意可得：，，
∵点A在以点G为圆心，AG长为半径的圆上运动，
∴的最大值为，
即；
故答案选B．
5．（2021·江苏常州·一模）如图，，直角边分别落在x轴和y轴上，斜边相交于点E，且．若四边形的面积为12，反比例函数的图像经过点E，则k的值是（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】过点作于，于,连接，证明三角形全等，得对应边相等，用来证明四边形为正方形，再根据，建立边与边之间的等量关系，利用两直线平行和四边形的面积，即可求出解．
【解析】解：过点作于，于,连接,如图：

，
，
，
即：，
在中，
，
，
，
在和中，

，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
设，则，
设，则，
，
，
即：，
解得：，
，
四边形的面积为12，
，
，
，
解得：，
，
故选：B．
6．（2021·江苏·无锡市南长实验中学二模）如图，C为线段AB上一点，在线段AB的同侧分别作等边△ACD、△BCE，连接AE、BD相交于F，连接CF．若S△DEF＝8，则CF的长为（     ）

A．4 B．3 C．3 D．4
【答案】A
【分析】如图，过点C分别作CG⊥AE，CH⊥BD，垂足分别是G,H，过点E作EM⊥BD，垂足为M，设AE，DC的交点为N，BD，CE的交点为Q，证明△ACE≌△BCD，△NCE≌△QCB，△DCF∽△CEF即可
【解析】如图，过点C分别作CG⊥AE，CH⊥BD，垂足分别是G,H，过点E作EM⊥BD，垂足为M，设AE，DC的交点为N，BD，CE的交点为Q，
∵△ACD，△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，∠DCE=60°，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠NCE=∠QCB，CE=CB，
∴△NCE≌△QCB，
∴NE=QB，，
∴EN×CG=QB×CH，
∴CG=CH，
∴CF平分∠AFB，
∵∠NCE=∠QCB，∠FQE=∠CQB，
∴∠EFQ=∠QCB=∠AFD=60°，
∴∠AFB=120°，
∴∠AFC=∠CFB=60°，
∴∠DFC=∠CFE=120°，
∴∠DCF+∠FCE=60°，∠FEC+∠FCE=60°，
∴∠DCF=∠FEC，
∴△DCF∽△CEF，
∴DF：CF=CF：EF,
∴=DF×EF,
∵∠EFQ=60°，
∴EM=EFsin60°=EF，
∵DF×EM=8，

∴DF×EF =8，
∴DF×EF=32，
∴=32，
∴CF=4，CF=-4（舍去），
故选A