2022年中考数学二轮热点题型演练专题08 函数的性质与应用

这是一份2022年中考数学二轮热点题型演练专题08 函数的性质与应用，共71页。试卷主要包含了考点归纳，最新模考题组练2等内容，欢迎下载使用。

专题08 函数的性质与应用
目录
一、考点归纳
【考点01】 一次函数
【考点02】 反比例函数
【考点03】 二次函数
二、最新模考题组练 2


【考点01】 一次函数
【典例分析】
（2020·江苏苏州·中考真题）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润（元）与销售量之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：

日期
销售记录
6月1日
库存，成本价8元/，售价10元/（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/．
6月12日
补充进货，成本价8.5元/．
6月30日
水果全部售完，一共获利1200元．
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图像中线段所在直线对应的函数表达式．
【提分秘籍】
1.一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限。
当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限。
2.用待定系数法求函数解析式的一般步骤：
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
3.一次函数与一元一次方程的关系：
直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
4.一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
【变式演练】
1.（2021·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．

（1）求的长和点C的坐标；
（2）求直线的解析式．

2.（2021·江苏江苏·二模）苏州轨道交通1号线是苏州市第一条建成运营的地铁线路，于2012年4月28日开通运营，现有甲列车从1号线站台A开往站台B，途经站台C，乙列车从站台C开往站台A，甲、乙两列车的平均速度相同，两列车距离站台C的路程y（km）与行驶时间t（min）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两列车的平均速度是　 km/min，图中m＝　 ；
（2）直接写出甲列车出发几分钟后，两列车距离站台C的路程和为5km．

3.（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）小张是某工厂的一名工人，每天工作8小时，已知他生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟．
（1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟?
（2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为100元，按件计酬的方式为每生产一件甲产品得a元，每生产一件乙产品得2.5元．小张某日计划生产甲，乙两种产品共28件，请设计出日薪最高的生产方案．

【考点02】 反比例函数
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．


2.（2019·江苏苏州·中考真题）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.


【提分秘籍】
1.用待定系数法求反比例函数解析式的问题
求反比例函数的解析式的关键是求其函数图象上一点的坐标，然后把点的坐标代入反比例函数的解析式中求出k的值。
2.反比例函数与一次函数的图象共存问题
(1)已知两个函数中系数的取值范围，直接根据函数中系数与图象位置的关系进行判断；
(2)不知两个函数中系数的取值范围，可先根据一种函数图象的位置来确定其系数的取值范围，然后根据该系数来确定另一个函数的图象是否符合要求。
3.反比例函数 y=kxk≠0中k的几何意义问题
由反比例函数系数k的几何意义可知，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，两垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。矩形的对角线把矩形分成两个全等的三角形，其面积都等于 ∣k∣2,并且矩形（或三角形）的面积不随该点的位置变化而变化。通常利用k的几何意义来求有关图形的面积，或利用图形的面积求反比例函数的解析式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，

（1）求反比例函数解析式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．

2.（2021·江苏·苏州市相城区望亭中学一模）如图，矩形的边的长分别为3，8，点E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于F．

（1）若点B的坐标为，求点E的坐标及m的值；
（2）连接，若，求反比例函数的表达式．

3.（2021·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积．

【考点03】 二次函数
【典例分析】
（2020·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点．

（1）求的值；
（2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点、．若，求、的值．

【提分秘籍】
用待定系数法可求二次函数的解析式，根据不同条件选择不同的设法：
(1)设一般式 y=ax2+bx+ca≠0：若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解。
(2)设交点式 y=ax−x1x−x2(a ≠0)：若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，通常设二次函数的解析式为交点式，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式。
(3)设顶点式 y=ax−ℎ2+ka≠0：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（最小值），通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于a的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般形式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）如图，已知抛物线（，是常数，且）与轴分别交于点，（点位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为．

（1）________，点的横坐标为________（上述结果均用含的代数式表示）；
（2）连接，过点作直线，与抛物线交于点．点是轴上一点，其坐标为，当，，三点在同一直线上时，求抛物线的解析式．

2.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）在直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，顶点为，已知．

（1）求点的坐标（用仅含的代数式表示）；
（2）若，求抛物线的解析式．
3.（2021·江苏苏州·一模）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天）


售价（元/斤）
第1次降价后的价格_____元/斤
第2次降价后的价格为8.1元/斤
销量（斤）


储存和损耗费用（元）




【训练题组1】
1．（2021·江苏苏州·一模）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

2．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
3．（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?
5．（2021·江苏苏州·九年级期中）如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB．

（1）求点P的坐标；
（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比．
6．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）某车行经销的型自行车去年月份销售总额为万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加元，今年月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加.
（1）求今年型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划月份用不超过万元的资金新进一批型车和型车共辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
今年、两种型号车的进价和售价如下表：

型车
型车
进价（元/辆）


售价（元/辆）
今年售价

【训练题组2】
1．（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学一模）如图，过直线上一点P作轴于点D，线段交函数的图象于点C，点C为线段的中点，点C关于直线的对称点的坐标为．

（1）直接写出点C的坐标（____，______），求k、m的值：
（2）求直线函数图象的交点坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
2．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，在直角坐标系中，为原点，直线分别与轴､轴交于点､点，四边形是矩形，且点在轴正半轴上，连接于点，反比例函数（）经过点，

（1）求点的坐标及的值；
（2）若将绕点逆时针旋转，点､点分别对应点､点，再将向右平移个单位，若平移后点在反比例函数图像上，求的值．
3．（2021·江苏苏州·一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数在第一象限的图象经过点C，交AB于点D，其中点B的坐标是（5，n）．

（1）求n的值和点C的坐标；
（2）若D是AB的中点，求OD的长．
4．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）如图，函数与函数的图像相交于点．点在函数的图像上，过点作轴，与轴相交于点，且．

（1）求的值；
（2）求直线的函数表达式．
5．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A(1，3)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求k的值；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则此时点P的坐标是　 　．

6．（2021·江苏·张家港市梁丰初级中学一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．

【训练题组3】
1．（2021·江苏·苏州市立达中学校九年级期中）已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣4的顶点在直线y＝﹣2x﹣3上．
（1）求证：无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）求抛物线顶点坐标．
2．（2021·江苏·苏州高新区第一初级中学校二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
3．（2021·江苏苏州·一模）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）．
（1）已知抛物线，求其顶点A及“和谐点”B的坐标；
（2）平移抛物线，若所得新抛物线经过点B，且顶点D是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式．
4．（2021·江苏苏州·九年级开学考试）已知二次函数，
（1）若该二次函数的图像与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，如果该抛物线的顶点到轴的距离为2，求的值．
5．（2021·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学一模）某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG∶BG＝3∶2．设BG的长为2x米．

（1）用含x的代数式表示DF＝ ；
（2）x为何值时，区域③的面积为180平方米；
（3）x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？
6．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集：______
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为：______

专题08 函数的性质与应用
目录
一、考点归纳
【考点01】 一次函数
【考点02】 反比例函数
【考点03】 二次函数
二、最新模考题组练 2


【考点01】 一次函数
【典例分析】
（2020·江苏苏州·中考真题）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润（元）与销售量之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：

日期
销售记录
6月1日
库存，成本价8元/，售价10元/（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/．
6月12日
补充进货，成本价8.5元/．
6月30日
水果全部售完，一共获利1200元．
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图像中线段所在直线对应的函数表达式．
【答案】（1）400元；（2）
【分析】（1）根据利润= （售价-成本价）×销售量计算即可；
（2）设点坐标为，根据题意列出方程计算即可求得，再利用待定系数法即可求得线段所在直线对应的函数表达式．销售量
【解析】解：（1）（元）．
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元．
（2）设点坐标为．
根据题意，得，
解这个方程，得．
∴点坐标为．
设线段所在直线的函数表达式为，
∵两点的坐标分别为，，
∴
解这个方程组，得．
∴线段所在直线的函数表达式为．
【提分秘籍】
1.一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限。
当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限。
2.用待定系数法求函数解析式的一般步骤：
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
3.一次函数与一元一次方程的关系：
直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
4.一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
【变式演练】
1.（2021·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．

（1）求的长和点C的坐标；
（2）求直线的解析式．
【答案】（1）AB=5，C(8，0)；（2）
【分析】（1）先根据A、B两点是直线与两坐标轴的交点求出两点坐标，再由勾股定理求出AB的长，由图形翻折变换的性质得出AC=AB，故可得出C点坐标；
（2）设点D的坐标为D(0，m)，由图形翻折变换的性质可知CD=BD，在Rt△OCD中由勾股定理可求出m的值，进而得出D点坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．
【解析】解：（1）当x=0时，，
B点的坐标为（0，4），
OB=4，
当y=0,则，解得x=3，
A点的坐标为（3，0），
OA=3，
AB =，
△DAB沿直线AD折叠，
，
，
；
（2）设点，则，
∴，
在中，
，
即，
解得，
，
设直线 的解析式为，
则，
解得，
直线 的解析式为．
2.（2021·江苏江苏·二模）苏州轨道交通1号线是苏州市第一条建成运营的地铁线路，于2012年4月28日开通运营，现有甲列车从1号线站台A开往站台B，途经站台C，乙列车从站台C开往站台A，甲、乙两列车的平均速度相同，两列车距离站台C的路程y（km）与行驶时间t（min）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两列车的平均速度是　 km/min，图中m＝　 ；
（2）直接写出甲列车出发几分钟后，两列车距离站台C的路程和为5km．
【答案】（1）0.5，16；（2）甲列车出发2min或13min时，两列车距离站台C的路程和为5km．
【分析】（1）由甲从A到C的函数图象直接可以看出路程和时间，求出速度即可；
（2）分甲列车出发前4分钟，乙列车在C站，甲出发4~12分钟，和甲出发12分钟后进行讨论，求出时间即可．
【解析】解：（1）∵甲、乙两列车的平均速度相同，
∴由甲从A到C的函数图象可知：路程＝6km，时间＝12min，
∴速度＝＝0.5km/min，
∴乙从C到A，路程＝6km，速度＝0.5km/min，
时间＝6×0.5＝12min，
∴乙从4min钟开始出发，
∴m＝12+4＝16，
故答案为：0.5，16．
（2）由图象知，甲出发的前4分钟，乙在C站，
①当甲列车距离C站5km时，所用时间为：＝2（min），
此时两列车距离站台C的路程和为5km；
②当甲列车出发2min到4min时，乙仍然在C站，此时两列车距离站台C的路程和小于5km；
③从甲列车出发4min开始，乙列车从C站出发，一直到12min，两列车距离之和一直小于5km；
④当甲列车到达C站，继续向B站运动时，
甲距C站：0.5（t﹣12），
乙距C站：0.5（t﹣4），
由题意得：0.5（t﹣12）+0.5（t﹣4）＝5，
解得：t＝13（min），
∴甲列车出发2min或13min时，两列车距离站台C的路程和为5km．
答：甲列车出发2min或13min时，两列车距离站台C的路程和为5km．
3.（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）小张是某工厂的一名工人，每天工作8小时，已知他生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟．
（1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟?
（2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为100元，按件计酬的方式为每生产一件甲产品得a元，每生产一件乙产品得2.5元．小张某日计划生产甲，乙两种产品共28件，请设计出日薪最高的生产方案．
【答案】（1）小张每生产一件甲产品需要15分钟，每生产一件乙产品需要20分钟；（2）当时，生产16件甲产品和12件乙产品日薪最高；当时，生产甲产品数量满足的整数时，日薪均为170元；当时，28件全部生产甲产品日薪最高．
【分析】（1）设小张每生产一件甲产品需要分钟，每生产一件乙产品需要分钟，根据“小张生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟”建立方程组，解方程组即可得；
（2）设小张某日计划生产甲产品件，日薪为元，从而可得生产乙产品件、关于的函数关系式，再根据“每天工作8小时和”求出，然后分、和三种情况，分别利用一次函数的性质求解即可得．
【解析】解：（1）设小张每生产一件甲产品需要分钟，每生产一件乙产品需要分钟，
由题意得：，
解得，
答：小张每生产一件甲产品需要15分钟，每生产一件乙产品需要20分钟；
（2）设小张某日计划生产甲产品件，日薪为元，则生产乙产品件，
则，
由题意得：，解得，
∵，即，
∴，且为整数，
①当时，，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，
即生产16件甲产品和12件乙产品日薪最高；
②当时，，，
即生产甲产品数量满足的整数时，日薪均为170元；
③当时，，随的增大而增大，
则当时，取得最大值，
即28件全部生产甲产品日薪最高；
综上，当时，生产16件甲产品和12件乙产品日薪最高；当时，生产甲产品数量满足的整数时，日薪均为170元；当时，28件全部生产甲产品日薪最高．
【考点02】 反比例函数
【典例分析】
1.（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．

【答案】
【分析】先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案．
【解析】解：把代入，得．
∴．
∵轴，
∴点横坐标为．
把代入，得．
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴．
∵点在直线上，
∴．
∴．
2.（2019·江苏苏州·中考真题）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.

【答案】(1)k=12；(2).
【分析】(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以
【解析】解：(1)过点作交轴于点，交于点.
       
       



(2)
       
       
       
       





【提分秘籍】
1.用待定系数法求反比例函数解析式的问题
求反比例函数的解析式的关键是求其函数图象上一点的坐标，然后把点的坐标代入反比例函数的解析式中求出k的值。
2.反比例函数与一次函数的图象共存问题
(1)已知两个函数中系数的取值范围，直接根据函数中系数与图象位置的关系进行判断；
(2)不知两个函数中系数的取值范围，可先根据一种函数图象的位置来确定其系数的取值范围，然后根据该系数来确定另一个函数的图象是否符合要求。
3.反比例函数 y=kxk≠0中k的几何意义问题
由反比例函数系数k的几何意义可知，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，两垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。矩形的对角线把矩形分成两个全等的三角形，其面积都等于 ∣k∣2,并且矩形（或三角形）的面积不随该点的位置变化而变化。通常利用k的几何意义来求有关图形的面积，或利用图形的面积求反比例函数的解析式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，

（1）求反比例函数解析式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的图像关于坐标原点中心对称，设，进而求得的坐标，进而求得的长，根据的面积为8，即可求得的值；
（2）过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,根据题意以及（1）的结论，可知，,，进而求得，进而证明，可得，，同理可得，可得，即可求得．
【解析】（1）设
由中心对称可知点
∴，
∵
∴
∴
∴反比例函数解析式为
（2），理由如下：
联立，可得，
∵点E、F的横坐标为a
∴
如图所示，过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,

则

∴
又∵
∴，

同理：
∴
∴
2.（2021·江苏·苏州市相城区望亭中学一模）如图，矩形的边的长分别为3，8，点E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于F．

（1）若点B的坐标为，求点E的坐标及m的值；
（2）连接，若，求反比例函数的表达式．
【答案】（1）E（﹣3，4），m=﹣12；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质和坐标与图形性质求出点E坐标，将点E坐标代入反比例函数解析式中求出m即可；
（2）根据勾股定理求出AE=5，进而求出BF=1，可设F（a，1），E（a+3，4），将E、F坐标代入反比例函数解析式中求得m值即可．
【解析】解：（1）∵点B（﹣6，0），矩形的边的长分别为3，8，
∴C（﹣3，0），CD=AB=8，CD⊥x轴，∠D=90°，
∵点E为CD的中点，
∴CE=DE=4，
∴E（﹣3，4），
∵反比例函数的图象经过点E，
∴m=﹣3×4=﹣12；
（2）∵∠D=90°，AD=3，DE=4，
∴AE= ，
∵AF﹣AE=2，
∴AF=5+2=7，
∴BF=8﹣7=1，
设F（a，1），则E（a+3，4），
∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴a=4（a+3），
解得：a=﹣4，则F（﹣4，1），
∴m=﹣4×1=﹣4，
∴反比例函数的解析式为．
3.（2021·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）8
【分析】（1）将代入反比例函数，求出，求出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）求出与轴相交于点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】解：（1）将代入反比例函数，
得，
解得，
，
点的坐标为，
反比例函数解析式为，
将点代入，
得，
解得，
所以，点的坐标为，
将点，代入得，
解得，
则一次函数解析式为；
（2）设与轴相交于点，令，
解得，
点的坐标为，即，
．

【考点03】 二次函数
【典例分析】
（2020·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点．

（1）求的值；
（2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点、．若，求、的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据直线与抛物线对称轴交于点可得对称轴为直线，由此即可求得b 的值；
（2）先求得点B、C的坐标，可得，再根据四边形为平行四边形可得，即，最后根据，，可得或，由此分别与联立方程组求解即可．
【解析】解：（1）∵直线与抛物线的对称轴交于点，
∴抛物线的对称轴为直线，
即，
∴．
（2）由（1）得：抛物线的解析式为，
把代入抛物线的解析式，
得，
解得或3，
∴、两点的坐标为，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴或，
由，解得
由解得
∴、的值为或．
【提分秘籍】
用待定系数法可求二次函数的解析式，根据不同条件选择不同的设法：
(1)设一般式 y=ax2+bx+ca≠0：若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解。
(2)设交点式 y=ax−x1x−x2(a ≠0)：若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，通常设二次函数的解析式为交点式，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式。
(3)设顶点式 y=ax−ℎ2+ka≠0：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（最小值），通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于a的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般形式。
【变式演练】
1.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）如图，已知抛物线（，是常数，且）与轴分别交于点，（点位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为．

（1）________，点的横坐标为________（上述结果均用含的代数式表示）；
（2）连接，过点作直线，与抛物线交于点．点是轴上一点，其坐标为，当，，三点在同一直线上时，求抛物线的解析式．
【答案】（1），B点的坐标为（，0）；（2）
【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式中即可求解b，根据B是抛物线与x轴的交点即可求出B的坐标；
（2）先求出直线BC的解析式，再根据求出直线AE的解析式，然后求出E的坐标，再求出直线CD的解析式，根据E在CD上即可求解.
【解析】解：（1）∵抛物线（，是常数，且）与轴分别交于点A，（点A位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点A的坐标为（-1，0）
∴
∴
设B点的横坐标为t
∵和是方程的两个根
∴
∴
∴B点的坐标为（，0）
（2）∵抛物线与y轴负半轴交于点C
∴C点的坐标为（0，c）
设直线BC的解析式为
∴
解得
∴直线BC的解析式为
∵
∴设直线AE的解析式为
∴
解得
∴设直线AE的解析式为
∴
解得，
∴E点坐标为（，）
∵C（0，c），D（2，0）
∴直线CD的解析式为
∵当，，三点在同一直线上
∴
∴
∴
解得或（舍去）
∴抛物线的解析式为：

2.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）在直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，顶点为，已知．

（1）求点的坐标（用仅含的代数式表示）；
（2）若，求抛物线的解析式．
【答案】（1）；（2）或y=-x2+4x-3
【分析】（1）直接代入顶点坐标公式化简，过点D作DG⊥x轴于点G，则DG=c-4a，由S△ABD：S四边形ACBD=1：4得到等底三角形的面积之比S△ABD：S△ABC=1：3，从而求得c=3a，可得点D坐标；
（2）将解析式化为y=ax2-4ax+3a，得到A，B坐标，过B作BH垂直于CA的延长线于点H，证明△AHB∽△AOC，利用相似三角形的性质、三角函数及勾股定理求得c的值，则可得函数的解析式．
【解析】解：（1）抛物线的顶点的坐标为，，
顶点的坐标为；
与轴负半轴交于点，
，，
过点作轴于点，则，

，
，
，即，
，
，
，
顶点的坐标为；
（2）由（1）得，
抛物线的解析式为或，，，
令，解得：，，
，，．
过作垂直于的延长线于点，

，，
，，，
，即，
，，
，
，
，
或或或，
经检验，当或时，，故舍去．
抛物线的解析式为或．
3.（2021·江苏苏州·一模）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天）


售价（元/斤）
第1次降价后的价格_____元/斤
第2次降价后的价格为8.1元/斤
销量（斤）


储存和损耗费用（元）


【答案】（1）10%；（2）（，为整数）， （，为整数），第10天利润最大.
【分析】（1）设降价百分率为，根据“标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤”，列一元二次方程求解即可；
（2）求出第一次降价后的价格，再根据题意对分别进行讨论：求出当时和的函数关系式，再利用函数的性质进行求解即可．
【解析】解：（1）设该种水果每次降低的百分率为，依题意得：．
解方程得：， （不合题意，舍去）
答：该种水果每次降价的百分率为．
（2）第一次降价后的销售价格为 （元/斤），
当时，，
当时，
综上，与的函数关系式为：
（，为整数）， （．为整数），
当时，．当时，（元）
当时，当时，（元）
∴
∴在第10天时销售利润最大．

【训练题组1】
1．（2021·江苏苏州·一模）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）．
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解析】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
2．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
【答案】（1）A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；（2）y=﹣200x+162000（120≤x≤130）；（3）购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．
【分析】（1）根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”，建立方程组即可得出结论；
（2）根据题意建立函数关系式，由A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，确定出x的范围；
（3）根据一次函数的性质，即可得出结论．
【解析】（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，
根据题意知，，
解得，，
即：A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元；
（2）根据题意知，y=600x+800（200﹣x）+200×10=﹣200x+162000（120≤x≤130），
（3）由（2）知，y=﹣200x+162000（120≤x≤130），
∴当x=130时，总费用最少，
即：购买A型桌椅130套，购买B型桌椅70套，总费用最少，最少费用为136000元．
3．（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）
【答案】（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b， ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，即可求解．
【解析】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y=-2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得：
w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，函数有最大值，
∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?
【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果.
【解析】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，
根据题意，得：，
解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；
（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，
则150m+（12-m）×100≥1500，
解得：m≥6，
而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，
解得：m＜9，
则6≤m＜9，
则运输方案有3种：
6辆大货车和6辆小货车；
7辆大货车和5辆小货车；
8辆大货车和4辆小货车；
∵2000＞0，
∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.
∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.
5．（2021·江苏苏州·九年级期中）如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB．

（1）求点P的坐标；
（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比．
【答案】（1）点P的坐标（1，﹣4）；（2）△OPQ的面积与△OAQ的面积之比为5．
【分析】（1）过Q作QC⊥x轴于C，先求得AC＝QC＝2、AQ＝2、AP＝4，然后再由AB∥CQ，运营平行线等分线段定理求得OA的长，最后结合AP=4即可解答；
（2）先说明△OAB∽△OCQ，再根据相似三角形的性质求得AB和PB的长，然后再求出△OPQ和△OAQ的面积，最后作比即可．
【解析】解：（1）过Q作QC⊥x轴于C，

∵△APQ是等腰直角三角形，
∴∠PAQ＝∠CAQ＝45°，
∴AC＝QC＝2，AQ＝2，AP＝4，
∵AB∥CQ，
∴，
∴OA＝AC＝1，
∴点P的坐标（1，﹣4）；
（2）∵AB∥CQ，
∴△OAB∽△OCQ，
∴，
∴AB＝CQ＝，
∴PB＝，
∴S△OAQ＝OA•CQ＝×1×2＝1，S△OPQ＝PB•OA+PB•AC＝5，
∴△OPQ的面积与△OAQ的面积之比＝5．
6．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校一模）某车行经销的型自行车去年月份销售总额为万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加元，今年月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加.
（1）求今年型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划月份用不超过万元的资金新进一批型车和型车共辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
今年、两种型号车的进价和售价如下表：

型车
型车
进价（元/辆）


售价（元/辆）
今年售价

【答案】（1）今年A型车每辆售价为1000元；（2）当购进A型车30辆、购进B型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多．
【分析】（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为（x−200）元，根据数量＝总价÷单价，结合今年6月份与去年同期相比销售数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（50−m）辆，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过4.3万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据销售利润＝单辆利润×购进数量即可得出销售利润关于m的函数关系式，利用一次函数的性质解决最值问题即可．
【解析】解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为（x−200）元，
根据题意得：，
解得：x＝1000，
经检验，x＝1000是原分式方程的解，
答：今年A型车每辆售价为1000元；
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（50−m）辆，
根据题意得：800m＋950（50−m）≤43000，
解得：m≥30．
销售利润为：（1000−800）m＋（1200−950）（50−m）＝−50m＋12500，
∵−50＜0，
∴当m＝30时，销售利润最多，50-30＝20（辆），
答：当购进A型车30辆、购进B型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多．
【训练题组2】
1．（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学一模）如图，过直线上一点P作轴于点D，线段交函数的图象于点C，点C为线段的中点，点C关于直线的对称点的坐标为．

（1）直接写出点C的坐标（____，______），求k、m的值：
（2）求直线函数图象的交点坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）3，1；，3；（2）；（3）
【分析】（1）过点分别向轴作垂线，连接、，根据三角形全等，即可求得点的坐标；再求得点的坐标，代入解析式即可求得k、m的值；
（2）联立直线和反比例函数，即可求得交点坐标；
（3）观察函数图像，即可求得不等式的解集．
【解析】解：（1）过点分别向轴作垂线，连接、，如下图：

∵点C、点关于直线对称，点在直线上
∴，
又∵
∴
∴
∵点的坐标为
∴
∴点C的坐标，∴
∵点C为线段的中点，∴
将点C代入得：，
将点代入得：，解得
（2）联立一次函数和反比例函数可得：
解得（舍），
交点坐标为
（3）由图像可知，在交点的左侧时，
所以不等式得解集为
2．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，在直角坐标系中，为原点，直线分别与轴､轴交于点､点，四边形是矩形，且点在轴正半轴上，连接于点，反比例函数（）经过点，

（1）求点的坐标及的值；
（2）若将绕点逆时针旋转，点､点分别对应点､点，再将向右平移个单位，若平移后点在反比例函数图像上，求的值．
【答案】（1）B(1，0)，k=10；（2）
【分析】（1）令y=0，代入，可得B的坐标，设D(a，2)，则AD=OC=a，根据勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，进而即可求解；
（2）过点作M⊥AD，由旋转的性质得BO=M=1，设再将向右平移个单位，(2+n，3)，进而即可求解．
【解析】解：（1）∵直线与轴交于点，
∴令y=0，代入，得，解得：x=1，令x=0，y=2，
∴B(1，0)，A(0，2)，
∴OA=2，
∵四边形是矩形，
∴CD=AO=2，
设D(a，2)，则AD=OC=a，
∵，
∴，
又∵，，
∴，解得：a=5，即：D(5，2)，
∴把D(5，2)，代入，得k=10；
（2）过点作M⊥AD，
∵将绕点A逆时针旋转，点､点分别对应点､点，
∴也是由绕点A逆时针转90°得到，
∴BO=M=1，
∴(2，3)，
设再将向右平移个单位，(2+n，3)，在的图像上，则，解得：n=．

3．（2021·江苏苏州·一模）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数在第一象限的图象经过点C，交AB于点D，其中点B的坐标是（5，n）．

（1）求n的值和点C的坐标；
（2）若D是AB的中点，求OD的长．
【答案】（1）n＝2，C（2，5）；（2）OD＝．
【分析】（1）根据平行四边形的性质BC＝OA＝3，即可得到C（2，n），代入即可得n的值，从而求得C的坐标；
（2）根据A、B的坐标求得D的坐标，然后根据勾股定理求解求得．
【解析】（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA＝3，
∵点B坐标为（5，n），
∴C（2，n），
∵反比例函数在第一象限的图象经过点C，
∴，
∴C（2，2）；
（2）∵n＝2，
∴B（5，2），
∵OA＝3，
∴A（3，0），
∵D是AB的中点，
∴D，即
∴OD＝．
4．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）如图，函数与函数的图像相交于点．点在函数的图像上，过点作轴，与轴相交于点，且．

（1）求的值；
（2）求直线的函数表达式．
【答案】（1）m=12，n=3；（2）y=x+6
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而即可求出反比例函数系数m的值；
（2）过点A作AD⊥BC于D，由AC=AB可得出BC=2CD，由点A的坐标可得出CD、BC的长度，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式．
【解析】解：（1）函数与函数的图象相交于点，
，解得：，
．
（2）过点作于，如图所示．
，
．
轴，
轴．
，
，．
当时，，
．
设直线的函数表达式为，
将、代入中，
，解得：，
直线的函数表达式为．

5．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A(1，3)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求k的值；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则此时点P的坐标是　 　．

【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）(﹣，0)或(，0)
【分析】（1）将点A的坐标代入，即可求解；
（2）观察图象即可求解；
（3）把的面积分成两部分，则点把分成两部分，即可求解．
【解析】解：（1）将点A的坐标代入得:;
（2）从图象看，时，不等式的解集为：；
（3）将点A的坐标代入得，，解得：，
，令，则，即点，
，令，则，即点，则，
把的面积分成两部分则点把分成两部分
即或，即或，
设点的横坐标为，则或
解得：或
故点P的坐标为：或；
故答案为：或
6．（2021·江苏·张家港市梁丰初级中学一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．

【答案】（1）；（2）3
【分析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据
S△ACD=，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
【解析】解：

（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数；
答：反比例函数的关系式为：；
（2）过点作，垂足为，连接，
设直线的关系式为，将代入得，，
∴直线的关系式为，
∵点，把代入，得：，把代入，得：，
∴），即，
，即
∵，
∴，即，解得：，
∴；
答：线段的长为3．
【训练题组3】
1．（2021·江苏·苏州市立达中学校九年级期中）已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣4的顶点在直线y＝﹣2x﹣3上．
（1）求证：无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）求抛物线顶点坐标．
【答案】（1）见解析；（2）（1，﹣5）
【分析】（1）令y＝0，则x2﹣2ax﹣4＝0，根据根的判别式b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4×（﹣1）＞0，可得该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）利用配方法将y＝x2﹣2ax﹣4配成y＝(x﹣a)2﹣a2﹣4，由此即可求得顶点坐标（a，﹣a2﹣4），再将代入y＝﹣2x﹣3即可求得a的值，由此可求得答案．
【解析】（1）证明：令y＝0，则x2﹣2ax﹣4＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4×（﹣1）
＝4a2＋4，
∵4a2≥0，
∴4a2＋4＞0，
∴无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：∵y＝x2﹣2ax﹣4＝(x﹣a)2﹣a2﹣4，
∴顶点坐标为（a，﹣a2﹣4），
∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣4的顶点在直线y＝﹣2x﹣3上，
∴将（a，﹣a2﹣4）代入y＝﹣2x﹣3，
得：﹣a2﹣4＝﹣2a﹣3，
解得：a1＝a2＝1，
∴﹣a2﹣4＝﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣5）．
2．（2021·江苏·苏州高新区第一初级中学校二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
【答案】（1）是，见解析；（2）．
【分析】（1）当时，求得点，再解得点M关于原点对称的点，判断点是否在抛物线上，即可解题；
（2）利用配方法解得点C的坐标，继而解得点C关于原点对称的点，再根据题意代入抛物线中，得到关于的一元一次方程，解方程即可
【解析】解：（1）当时，

点M关于原点对称的点，
当时，
在抛物线上，
抛物线是回归抛物线；
（2）

由题意得，点C关于原点对称的点也在抛物线上，



．
3．（2021·江苏苏州·一模）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）．
（1）已知抛物线，求其顶点A及“和谐点”B的坐标；
（2）平移抛物线，若所得新抛物线经过点B，且顶点D是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式．
【答案】（1），；（2）或．
【分析】（1）根据配方可求出点A的坐标；再根据“和谐点”的定义得出横、纵坐标关系与抛物线联立方程组求解即可；
（2）设，得新抛物线，再把代入求出m的值即可得出结论
【解析】解：（1）=
∴抛物线的顶点坐标为，
设“和谐点”B（x，y）
∴x+y=0①
又B在②上
联立①②得
解得，，
∴
（2）设，则平移后的抛物线解析式为
将代入得，
得，
∴平移后抛物线的解析式或．
4．（2021·江苏苏州·九年级开学考试）已知二次函数，
（1）若该二次函数的图像与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，如果该抛物线的顶点到轴的距离为2，求的值．
【答案】（1），顶点；（2）或．
【分析】（1）根据图象的性质即可关联一元二次方程有且仅有一个实数根．利用跟的判别式即可求出m的值．
（2）根据题意可知该顶点为(-1,2)或(-1,-2)，即可得出该二次函数，即可得出m的值．
【解析】（1）该二次函数的图像与轴只有一个交点，说明有且仅有一个实数根．
∴
解得：，
∴该二次函数的表达式为，改为顶点式为，
∴顶点坐标为(-1,0)．
（2）根据（1），若该抛物线到x轴的距离为2，说明顶点为(-1,2)或(-1,-2)．
∴该二次函数的表达式为或．
变为一般式为或．
即或．
5．（2021·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学一模）某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG∶BG＝3∶2．设BG的长为2x米．

（1）用含x的代数式表示DF＝ ；
（2）x为何值时，区域③的面积为180平方米；
（3）x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）48－12x；（2）x为1或3；（3）x为2时，区域③的面积最大，为240平方米
【分析】（1）将DF、EC以外的线段用x表示出来，再用96减去所有线段的长再除以2可得DF的长度；
（2）将区域③图形的面积用关于x的代数式表示出来，并令其值为180，求出方程的解即可；
（3）令区域③的面积为S，得出x关于S的表达式，得到关于S的二次函数，求出二次函数在x取值范围内的最大值即可.
【解析】（1）48－12x
（2）根据题意，得5x(48－12x)＝180，
解得x1＝1，x2＝3
答：x为1或3时，区域③的面积为180平方米
（3）设区域③的面积为S，则S＝5x(48－12x)＝－60x2＋240x＝－60(x－2)2＋240
∵－60＜0，∴当x＝2时，S有最大值，最大值为240
答：x为2时，区域③的面积最大，为240平方米
6．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集：______
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为：______
【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）x＜1或x＞3 ； （3）（2，-1）.
【分析】(1)根据抛物线对称轴的定义易求A(1，0)，B(3，0)．代入抛物线的解析式列方程组，解出即可求b、c的值；
(2)由图象得：即y＞0时，x＜1或x＞3；
(3)如图，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．
【解析】(1)∵AB=2，对称轴为直线x=2．
∴点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是(3，0)．
把A、B两点的坐标代入得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3；
(2)由图象得：不等式x2+bx+c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3；
故答案为x＜1或x＞3；
(3)y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴顶点坐标为(2，-1)，
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，

如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即(2，-1)，故答案是：(2，-1)。