题型08 函数的实际应用（复习讲义）-最新中考数学二轮复习讲义+专题（全国通用）

这是一份题型08 函数的实际应用（复习讲义）-最新中考数学二轮复习讲义+专题（全国通用），文件包含题型八函数的实际应用复习讲义原卷版docx、题型八函数的实际应用复习讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
题型八函数的实际应用（复习讲义）
【考点总结|典例分析】
考点01一次函数
一、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
二、一次函数的实际应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
1．某公司新产品上市天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是__________元．
【答案】1800
【解析】
【分析】从图1和图2中可知，当t=30时，日销售量达到最大，每件产品的销售利润也达到最大，所以由日销售利润=销售量×每件产品销售利润即可求解．
【详解】由图1知，当天数t=30时，市场日销售量达到最大60件；
从图2知，当天数t=30时，每件产品销售利润达到最大30元，
所以当天数t=30时，市场的日销售利润最大，最大利润为60×30=1800元，故答案为：1800
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，也考查了学生的观察能力、理解能力和解决实际问题的能力，仔细审题，利用数形结合法理解题目已知信息是解答的关键．
2.小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟．在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：
（1）填空：妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是__________分钟，点M的坐标是___________；
（2）直接写出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；
（3）求t为何值时，两人相距360米．
【答案】（1）120，5，；（2），见解析；（3）当t为8，12或32（分钟）时，两人相距360米．
【分析】（1）先求出小华步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，即可求出装货时间；根据题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，然后即可求出M的坐标；
（2）分①当0≤t＜15时，②当15≤t＜20时，③当20≤t≤35时三段求出解析式即可，根据解析式画图即可；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，分①相遇前，②相遇后，③在小华到达以后三种情况讨论即可．
【解析】解：（1）由题意可得：小华步行的速度为：=60（米/分钟），
妈妈骑车的速度为：=120（米/分钟）；妈妈回家用的时间为：=15（分钟），
∵小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，∴可知妈妈在35分钟时返回商店，
∴装货时间为：35-15×2=5（分钟），即妈妈在家装载货物的时间为5分钟；
由题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，∴M点的横坐标为：15+5=20（分钟），
此时纵坐标为：20×60=1200（米），∴点M的坐标为；故答案为：120，5，；
（2）①当0≤t＜15时y2=120t，②当15≤t＜20时y2=1800，③当20≤t≤35时，设此段函数解析式为y2=kx+b，
将（20，1800），（35，0），代入得，解得，
∴此段的解析式为y2=-120x+4200，综上：；
其函数图象如图，
；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，
①相遇前，依题意有，解得（分钟）；
②相遇后，依题意有，解得（分钟）；
③依题意，当分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，
此时小华距商店为（米），只需10分钟，
即分钟时，小华到达商店，
而此时妈妈距离商店为（米）（米），
∴，解得（分钟），
∴当t为8，12或32（分钟）时，两人相距360米．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，由图像获取正确的信息是解题关键．
3.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40．
【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得；
（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；
（3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可．
【解析】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为
机器工作的过程中每分钟耗油量为 故答案为：3，；
（2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作
则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点
设机器工作时关于的函数解析式
将点代入得： 解得
则机器工作时关于的函数解析式；
（3）设机器加油过程中的关于的函数解析式
将点代入得： 解得 则机器加油过程中的关于的函数解析式
油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：
①在机器加油过程中:当时，，解得
②在机器工作过程中:当时，，解得
综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40．
【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
4.如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．
（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）t=1；（2）存在，，理由见解析；（3）可能，或或理由见解析
【分析】（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为﹤，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；
（3）由已知求得点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．
【解析】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A、C坐标代入，得：，解得：，∴直线AC的函数解析式为，
当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），将点H代入，得：
，解得：t=1；
（2）存在，，使得．
根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4，设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A、B坐标代入，得：，解得：，∴直线AC的函数解析式为，
当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，
当点H落在AB边上时，将点H代入，得：，解得：；
此时重叠的面积为，
∵﹤，∴﹤t﹤5，如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,
将y=t-3代入得：，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t代入得：，∴点T，
∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，,
所以重叠面积S==4--=，
由=得：，﹥5(舍去)，∴；
（3）可能，≤t≤1或t=4．∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，
∴点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,
易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；
当0﹤t﹤时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；
当﹤t﹤1时， +÷（1+4）=秒，
∴时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=秒后，M点不在正方行内部，则；
当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；
当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=秒，点都在正方形内（含边界），
当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，
当 t=3时，点E运动返回到点O处, 当 t=4时，点F运动返回到点O处,
当时，点都在正方形内（含边界），
综上，当或或时，点可能在正方形内（含边界）．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
5.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时．
（1）求的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
【答案】（1）；（2）货车返回时与快递车途中相遇的时间，；（3）100km
【分析】（1）由图象可知点M和点E的坐标，运用待定系数法求ME的解析式即可；
（2）运用待定系数法求出BC，CD，FG的解析式，分别联立方程组，求出交点坐标即可得到结果；
（3）由（2）知两车最后一次相遇时快递车行驶1小时，根据路程=速度×时间可得结论.
【解析】解：（1）由图象可知：M，E 设的解析式
把M，E代入得：，解得，
的解析式为；
（2）由图象知B（4，0），C(6,200) 设的解析式,
把B（4，0），C(6,200)代入得，，解得，，
∴的解析式为： 由图象知F（5，200），G（9，0）
设的解析式，把F（5，200），G（9，0）代入上式得，，
解得，，故的解析式为：
联立方程组得，，解得；由图象得，C（6，200），D（8，0）
设CD的解析式为y=rx+s，把C（6，200），D（8，0）代入上式得，，解得，
故CD的解析式为y=-100x+800,联立方程组得，解得
答：货车返回时与快递车途中相遇的时间，
（3）由（2）知，最后一次相遇时快递车行驶1小时，其速度为：200÷2=100(km/h)
所以，两车最后一次相遇时离武汉的距离为：100×1=100（km）
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键
考点02反比例函数
一、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
二、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
三、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
1.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【分析】（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【解析】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），∵直线交轴于点，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，∴∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
2.如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为，的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线的函数关系式；（3）动点P在y轴上运动，当线段与之差最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把点代入解析式，即可得到结果；
（2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形，设点B的坐标为，表示出△ABE的面积，根据△AOB得面积可得，得到点B的坐标，代入即可的到解析式；（3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，代入即可求值．
【解析】解：（1）把点代入可得，∴反比例函数的解析式为；
（2）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形．设点B的坐标为，∴．
∵点A的坐标为，∴．
∴．
∵A，B两点均在双曲线上，∴．
∴．
∵的面积为8，∴，整理得．
∴．解得（舍去）．∴．∴点B的坐标为．
设直线的函数关系式为，则．解得．
∴直线的函数关系式为．
（3）如上图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知，
当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，把代入，得．
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．
3.南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0