2023届高考一轮复习（老高考）第三章 微专题21　动力学中的临界和极值问题【解析版】

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1．如图所示，卡车上固定有倾角均为37°的两个斜面体，匀质圆筒状工件置于两个斜面间．卡车正以90 km/h的速度匀速行驶，为了保证刹车时工件不与其中任何一个斜面脱离，则其刹车的最小距离更接近于(路面能提供足够大摩擦，sin 37°＝0.6)( )
A．23 m B．33 m
C．43 m D．53 m
答案 C
解析 卡车刹车时，当后斜面的支持力为零时，加速度最大，设卡车安全刹车的最大加速度大小为a，此时工件的受力情况如图所示，
根据牛顿第二定律可得mgtan 37°＝ma，解得a＝eq \f(3,4)g.取g＝10 m/s2，根据运动学公式，则有0－v2＝－2ax，解得x＝eq \f(125,3) m．其刹车的最小距离更接近于43 m，故C正确，A、B、D错误．
2.(多选)如图所示，细线的一端固定在倾角为30°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球，静止时细线与斜面平行(已知重力加速度为g)．则( )
A．当滑块向左做匀速运动时，细线的拉力为0.5mg
B．若滑块以加速度a＝g向左加速运动时，线中拉力为mg
C．当滑块以加速度a＝g向左加速运动时，小球对滑块压力不为零
D．当滑块以加速度a＝2g向左加速运动时，线中拉力为2mg
答案 AC
解析 当滑块向左做匀速运动时，根据平衡条件可得绳的拉力大小为FT＝mgsin 30°＝0.5mg，故A正确；设当小球贴着滑块一起向左运动且支持力为零时加速度为a0，小球受到重力、拉力作用， 根据牛顿第二定律可得加速度a0＝eq \f(mgtan 60°,m)＝eq \r(3)g>g，即此时小球没有脱离斜面，则水平方向FTcs 30°－FNsin 30°＝ma，竖直方向FTsin 30°＋FNcs 30°＝mg，联立可得：FT＝eq \f(\r(3)＋1,2)mg，FN＝eq \f(\r(3)－1,2)mg，
故选项B错误，C正确；当滑块以加速度a＝2g>eq \r(3)g向左加速运动时，此时小球已经飘离斜面，则此时线中拉力为F＝eq \r(mg2＋ma2)＝eq \r(5)mg，故D错误．
3.如图物体A叠放在物体B上，B置于水平面上．A、B质量分别为mA＝6 kg，mB＝2 kg，A、B之间的动摩擦因数μ1＝0.2，B与地面之间的动摩擦因数μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，F从零开始逐渐增加，则( )
A．无论F多大，A都不会相对B滑动
B．当拉力F超过16 N时，A开始相对B滑动
C．当A的加速度为1.5 m/s2时，A、B已经发生相对滑动
D．若把F作用在B上，方向仍然水平向右，A、B刚好发生相对滑动的F大小与作用在A上相同
答案 D
解析 A、B之间的最大静摩擦力Ff1＝μ1mAg＝12 N，B与地面之间的最大静摩擦力Ff2＝μ2(mA＋mB)g＝8 N，A与B刚好不发生相对滑动时，对B受力分析，aB＝eq \f(Ff1－Ff2,mB)＝2 m/s2，对于系统F－Ff2＝(mA＋mB)aB，解得F＝24 N，即拉力超过24 N时，A开始相对B滑动，A、B、C错误；把F作用在B上，A与B刚好不发生相对滑动时对A受力分析，Ff1＝μ1mAg＝mAaA，解得aA＝2 m/s2，对于系统F－Ff2＝(mA＋mB)aA，解得F＝24 N，即A、B刚好发生相对滑动的F大小与作用在A上相同，D正确．
4．(多选)如图所示，粗糙的水平面上有一内壁为半球形且光滑的容器，容器的质量为2 kg，与地面间的动摩擦因数为0.25，在水平推力作用下置于容器内质量为1 kg的物块(可视为质点)与容器一起向左做加速运动，OP连线与水平线的夹角θ＝53°，(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，重力加速度g＝10 m/s2)则( )
A．容器的加速度大小为7.5 m/s2
B．容器对物块的支持力大小为12.5 N
C．推力F的大小为42 N
D．地面对容器的支持力等于30 N
答案 ABD
解析 物块受力如图所示，对物块，由牛顿第二定律得eq \f(mg,tan θ)＝ma，解得a＝7.5 m/s2，故A正确；
由平衡条件可知，容器对物块的支持力FN＝eq \f(mg,sin θ)＝eq \f(1×10,sin 53°) N＝12.5 N，故B正确；以物块与容器组成的系统为研究对象，由牛顿第二定律得F－μ(M＋m)g＝(M＋m)a，代入数据解得F＝30 N，故C错误；对物块与容器组成的系统，在竖直方向，由平衡条件可知，地面对容器的支持力FN地＝(m＋M)g＝(1＋2)×10 N＝30 N，故D正确．
5.(多选)如图所示，质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧另一端固定在小车上，弹簧的劲度系数为100 N/m，此时弹簧伸长了5 cm，物体A和车均处于静止状态，g＝10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．物体A与小车间的最大静摩擦力大小一定等于5 N
B．若让小车和物体一起以1 m/s2的加速度向右加速运动，则物体A受摩擦力方向向右，大小为5 N
C．若让小车和物体A一起以0.5 m/s2的加速度向左减速运动，则物体A不受摩擦力
D．若让小车和物体A一起以1 m/s2的加速度向左加速运动，弹簧的长度一定不变
答案 BC
解析 根据胡克定律，有F弹＝kx＝5 N，物体A处于静止状态，可得F静＝F弹，因为06．(多选)如图所示，三个物体A、B和C的质量分别为2m、m和m，A、B叠放在水平桌面上，A通过跨过光滑定滑轮的轻绳与C相连，定滑轮左端的轻绳与桌面平行，A、B间的动摩擦因数为μ(μ<1)，B与桌面间的动摩擦因数为eq \f(μ,3)，A、B、桌面之间的最大静摩擦力等于相对应的滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．三个物体A、B、C均保持静止
B．轻绳对定滑轮的作用力大小为eq \r(2)mg
C．若A、B之间发生相对滑动，则需满足μ<0.2
D．若A、B之间未发生相对滑动，则A受到的摩擦力大小为eq \f(1＋3μ,4)mg
答案 CD
解析 物块A与B之间的最大静摩擦力Ff1＝2μmg，物块B与桌面间的最大静摩擦力Ff2＝3mg×eq \f(μ,3)＝μmg，则Ff2对A、B整体，FT－Ff2＝3ma.对物块C，mg－FT＝ma，解得μ＝0.2.因此若A、B之间发生相对滑动，则需满足μ<0.2，故C正确；
若A、B之间未发生相对滑动，则对整体，mg－Ff2＝4ma.对物块B，Ff－Ff2＝ma.可得A受到的摩擦力大小Ff＝eq \f(1＋3μ,4)mg，故D正确．
7.(多选)如图所示，质量均为M的物块A、B叠放在光滑水平桌面上，质量为m的物块C用跨过轻质光滑定滑轮的轻绳与B连接，定滑轮与B间的轻绳与桌面平行．A、B之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
A．若物块A、B未发生相对滑动，物块A受到的摩擦力为eq \f(Mmg,2M＋m)
B．要使物块A、B发生相对滑动，应满足关系m>eq \f(μM,1－μ)
C．若物块A、B未发生相对滑动，轻绳拉力的大小为mg
D．若物块A、B未发生相对滑动，轻绳对定滑轮的作用力大小为eq \f(2\r(2)Mmg,2M＋m)
答案 AD
解析 物块A、B未发生相对滑动，A、B、C三者加速度大小相等，由牛顿第二定律得mg＝(2M＋m)a1.对A，由牛顿第二定律得Ff＝Ma1，解得Ff＝eq \f(Mmg,2M＋m)，故A正确；当A、B恰好发生相对滑动时，A所受的静摩擦力达到最大，对A，根据牛顿第二定律有μMg＝Ma2，解得a2＝μg，以A、B、C整体为研究对象，由牛顿第二定律得mg＝(2M＋m)a2，解得m＝eq \f(2μM,1－μ)，故要使物块A、B发生相对滑动，应满足关系m>eq \f(2μM,1－μ)，故B错误；若物块A、B未发生相对滑动，设轻绳拉力的大小为F，对C受力分析，根据牛顿第二定律有mg－F＝ma3，解得F＝mg－ma38.如图所示，质量m＝1 kg的光滑小球用细线系在质量为M＝8 kg、倾角为α＝30°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g取10 m/s2.求：
(1)若用水平向右的力F拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F的最大值；
(2)若用水平向左的力F′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F′的最大值．
答案 (1)90eq \r(3) N (2)30eq \r(3) N
解析 (1)小球不离开斜面体，两者加速度相同、临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0，对小球受力分析如图甲
由牛顿第二定律得eq \f(mg,tan 30°)＝ma，解得a＝eq \f(g,tan 30°)＝10eq \r(3) m/s2，
对整体由牛顿第二定律得F＝(M＋m)a＝90eq \r(3) N
(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0，对小球受力分析如图乙，
由牛顿第二定律得mgtan 30°＝ma′，解得a′＝eq \f(10\r(3),3) m/s2
对整体由牛顿第二定律得
F′＝(M＋m)a′＝30eq \r(3) N．