2021-2022学年重庆一中高三（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2021-2022学年重庆一中高三（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若集合A＝{0，1}，则A的真子集的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（5分）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
3．（5分）重庆一中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布N（170，σ2）若身高在165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中不低于175cm的同学数目约为（ ）
A．80B．160C．240D．320
4．（5分）已知三角形ABC，则“cs2A+cs2B﹣cs2C＞1”是“三角形ABC为钝角三角形”的（ ）条件
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充要D．既不充分也不必要
5．（5分）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是300m，从B点测得M点的仰角∠ABM＝，N点的仰角∠CBN＝以及cs∠MBN＝，则两座山峰之间的距离MN＝（ ）
A．300mB．600mC．300mD．600m
6．（5分）点A，B为抛物线C：y2＝2px上的点，若OA⊥OB且直线AB与x轴交于M（4，0），则抛物线C的焦点坐标为（ ）
A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（4，0）
7．（5分）已知函数f（x）满足：对任意的x∈R，f（x）+f（﹣x）＝2，若函数y＝f（x）与图像的交点为（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n），则的值为（ ）
A．0B．2nC．nD．﹣n
8．（5分）已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4，在三角形ABC中心为圆心r（0＜r≤1）为半径的圆上有一个动点M，则|最大值为（ ）
A．13B．C．5D．+6
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．设有一个回归方程＝2x+3，变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位
B．若的二项展开式共有9项，则该展开式中各项二项式系数之和为256
C．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
D．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为4，则数据4x1﹣1，4x2﹣1，4x3﹣1，4x4﹣1，4x5﹣1的标准差为8
10．（5分）以下叙述不正确的是（ ）
A．若等比数列{an}单调递减，则其公比q＞0
B．等比数列{an}满足a1＝5，a5＝1，则
C．等差数列{an}满足a2+a7+a30＝12，则a13＝4
D．公差为负的等差数列{an}满足a1＝﹣6d，则当且仅当n＝6时，其前n项和取得最大值
11．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，则下列说法正确的有（ ）
A．函数y＝f（x）在定义域上为增函数
B．若∀x1，x2∈[1，+∞），且x1≤x2，则x1f（x2）≥x2f（x1）
C．函数y＝（1﹣x）ln（2﹣x）的图像与函数y＝f（x）的图像数于直线x＝1对称
D．函数y＝f（x）的图像上有且仅有两个点关于x轴的对称点落在直线y＝﹣x﹣1上
12．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC＝2，BC＝2，AB⊥BC，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．MN和BC不可能平行
B．AB和CD有可能垂直
C．若AB和CD所成角是60°，则
D．若面ACD⊥面ABC，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积是28π
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知复数z＝2+i，其中i为虚数单位，那么复数•z所对应的复平面内的点在第 象限．
14．（5分）甲、乙、丙、丁共4名同学去找数学老师询问月考成绩，数学老师对甲说：“如果把你们四个成就从第一到第四排列，很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4人的名次排列方式共有 种．
15．（5分）式子cs15°sin10°cs20°+cs10°cs70°﹣2cs45°sin15°sin10°sin70°的值为 ．
16．（5分）已知直线l与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0交于A，B两点，且AB中点为M（2，1），若P为圆C上的动点，则的取值范围为 ．
四、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）函数f（x）＝cs4ωx﹣sin4ωx（ω＞0），点S是f（x）图像上的一个最高点，点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）函数，三角形ABC的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝ab，求g（A）的取值范围．
18．（12分）单增数列满足a1＝1，点An（an，n），Bn（，0），并且对于任意n∈N+都有．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求四边形AnAn+1BnBn+1的面积Sn．
19．（12分）如图，圆台下底面圆O1的直径为AB，C是圆O1上异于A、B的点，P、M是圆台上底面圆O2上的两点，N是BC的中点，PA＝AC＝PC＝BC＝2，PB＝2．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）若MN与平面PAC所成角的正弦值是，求线段MN的长度．
20．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的动点，若|PF2|min＝1且当PF2⊥F1F2时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过P作不过原点的直线l与椭圆相交，另一个交点为Q，O为原点，求△OPQ面积的最大值．
21．（12分）新冠病毒奥密克戎变异株在全球快速蔓延，并引发香港新一波疫情发．2022年3月3日当天新增55353例新冠确诊病例，创单日新增病例新高．截止3月3日，香港累计病例逾39万例．专家再次提醒：新型冠状病毒是一种传染性极强且危及人们生命安全的严重病毒，新冠防控不可掉以轻心．在新冠防控的过程中，我们把与携带新型冠状病毒者（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性的概率为p（0＜p＜1）．一旦被确诊为阳性后立即将其隔离．某患者在隔离前每天有K位密切关联者与之接触（假设这K个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为X（0≤X≤K）．
（1）求一天内被感染人数X的概率P（X）的表达式和X的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，若在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间，设每位患者在不知自己患病的情况下，第二天又与K位密切关联者接触．从某一名患者感染新型冠状病毒的第1天开始算起，第n天新增患者的数学期望记为E（n≥2）．
①当K＝20，p＝，求E6的值；
②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率p1满足关系式p1＝ln．当p1取得最大值时，计算所p1对应的E6并和P所对应的E6做对比，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性．（K＝20）
（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6，≈0.7计算结果保留整数）
22．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣2x+π的导函数为g（x），其中a≤﹣1．
（1）求证：函数f（x）在定义域不单调；
（2）记函数y＝f（x）的极值点为实数m，证明：（2﹣a）g（m+1）＜a2﹣3a+1．
2021-2022学年重庆一中高三（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）
1．（5分）若集合A＝{0，1}，则A的真子集的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵A＝{0，1}，
∴A的真子集为∅，{1}，{2}，共3个．
故选：C．
2．（5分）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
【解答】解：若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故A错误；
若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，故B正确；
若α⊥β，m⊂α，则m∥β或m⊂β或m与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；
若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，又n⊂β，则α∥β或α与β相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：B．
3．（5分）重庆一中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布N（170，σ2）若身高在165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中不低于175cm的同学数目约为（ ）
A．80B．160C．240D．320
【解答】解：由题意P（165＜X＜175）＝＝0.8，
∴P（X≥175）＝＝0.1，
所以不低于175cm的同学数目约为0.1×1600＝160，
故选：B．
4．（5分）已知三角形ABC，则“cs2A+cs2B﹣cs2C＞1”是“三角形ABC为钝角三角形”的（ ）条件
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【解答】解：cs2A+cs2B﹣cs2C＞1，
整理得sin2C＞sin2A+sin2B，
故c2＞a2+b2，
故，
所以△ABC为钝角三角形；
当B＝C＝，A＝时，cs2A+cs2B﹣cs2C＝，故不成立，
故则“cs2A+cs2B﹣cs2C＞1”是“三角形ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（5分）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是300m，从B点测得M点的仰角∠ABM＝，N点的仰角∠CBN＝以及cs∠MBN＝，则两座山峰之间的距离MN＝（ ）
A．300mB．600mC．300mD．600m
【解答】解：由题意得，AM＝CN＝300，
∴BM＝m，
BN＝m，
在△BMN中，由余弦定理可得：
MN＝
＝＝600m．
故选：B．
6．（5分）点A，B为抛物线C：y2＝2px上的点，若OA⊥OB且直线AB与x轴交于M（4，0），则抛物线C的焦点坐标为（ ）
A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（4，0）
【解答】解：由题意设直线AB为x＝ty+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得y2﹣2pty﹣8p＝0，
y1+y2＝2pt，y1y2＝﹣8p，
因为OA⊥OB，∴⊥，∴•＝0，
∴x1x2+y1y2＝0，∴（ty1+4）（ty2+4）+y1y2＝0，
∴t2y1y2+4t（y1+y2）+16+y1y2＝0，
∴﹣8pt2+8pt2+16﹣8p＝0，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，∴抛物线C的焦点坐标为（1，0），
故选：B．
7．（5分）已知函数f（x）满足：对任意的x∈R，f（x）+f（﹣x）＝2，若函数y＝f（x）与图像的交点为（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n），则的值为（ ）
A．0B．2nC．nD．﹣n
【解答】解：因为函数f（x）满足：对任意的x∈R，f（x）+f（﹣x）＝2，
则f（x）的图象关于点（ 0，1）对称，
函数＝1+，
令函数g（x）＝可得g（﹣x）＝＝＝﹣g（x），
故g（x）＝的图象关于点（0，0）对称，
故函数关于（0，1）对称，
故函数y＝f（x）与图象的交点为（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n）也关于点（0，1）对称，
所以交点成对出现，且每一对点都关于点（0，1）对称，
故 ＝（x1+x2+•••+xn）+（y1+y2+•••+yn）＝×0+×2＝2．
故选：C．
8．（5分）已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4，在三角形ABC中心为圆心r（0＜r≤1）为半径的圆上有一个动点M，则|最大值为（ ）
A．13B．C．5D．+6
【解答】解：建立如图所示坐标系，
则点，
设点M（rcsθ，rsinθ），且0≤θ＜2π，
则＝＝
故当r＝1，θ＝π时，有最大值为13，
故选：A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．设有一个回归方程＝2x+3，变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位
B．若的二项展开式共有9项，则该展开式中各项二项式系数之和为256
C．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
D．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为4，则数据4x1﹣1，4x2﹣1，4x3﹣1，4x4﹣1，4x5﹣1的标准差为8
【解答】解：对于A，变量x增加1个单位时，y＝2（x+1）+3＝2x+5，故y平均增加2个单位，故A正确；
对于B，由于的二项展开式共有9项，故n＝8，故各项二项式系数之和为2n＝256，故B正确；
对于C，恰好取到1件次品的概率为＝，故C错误；
对于D，一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为4，
则数据4x1﹣1，4x2﹣1，4x3﹣1，4x4﹣1，4x5﹣1的方差为4×42＝64，
故标准差为8，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）以下叙述不正确的是（ ）
A．若等比数列{an}单调递减，则其公比q＞0
B．等比数列{an}满足a1＝5，a5＝1，则
C．等差数列{an}满足a2+a7+a30＝12，则a13＝4
D．公差为负的等差数列{an}满足a1＝﹣6d，则当且仅当n＝6时，其前n项和取得最大值
【解答】解：等比数列{an}单调递减，则当a1＞0时，0＜q＜1；当a1＜0时，q＞1，故选项A错误；
等比数列{an}满足a1＝5，a5＝1，则a1•a5＝a32，解得a3＝±，又因为a3＝a1•q2＝5q2＞0，所以a3＝，故选项B错误；
等差数列{an}满足a2+a7+a30＝12⇒3a1+36d＝12，所以a1+12d＝4，即a13＝4，故选项C正确；
由于公差为负的等差数列{an}满足a1＝﹣6d，则Sn＝﹣6dn+＝．
∵d＜0，当n＝6或n＝7时，其前n项和取得最大值，故选项D错误．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，则下列说法正确的有（ ）
A．函数y＝f（x）在定义域上为增函数
B．若∀x1，x2∈[1，+∞），且x1≤x2，则x1f（x2）≥x2f（x1）
C．函数y＝（1﹣x）ln（2﹣x）的图像与函数y＝f（x）的图像数于直线x＝1对称
D．函数y＝f（x）的图像上有且仅有两个点关于x轴的对称点落在直线y＝﹣x﹣1上
【解答】解：对于A．f′（x）＝lnx+1﹣（x＞0），
令g（x）＝lnx+1﹣（x＞0），则g′（x）＝+＞0（x＞0），
所以函数g（x）在（0，+∞）上递增，
又f′（1）＝0，
则当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，故A错误；
对于B．令F（x）＝＝（x≥1），
则F′（x）＝+﹣＝（x+lnx﹣1），
令m（x）＝x+lnx﹣1（x≥1），
则m′（x）＝1+＞0，
所以m（x）在[1，+∞）上递增，
所以m（x）≥m（1）＝0，
所以F′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
所以函数F（x）在[1，+∞）上递增，
因为1≤x1≤x2，
所以F（x1）≤F（x2），
即≤，即x1f（x2）≥x2f（x1），故B正确；
对于C．y＝（1﹣x）ln（2﹣x）（x＜2），f（x）＝（x﹣1）lnx（x＞0），
令n（x）＝y＝（1﹣x）ln（2﹣x），
因为f（1﹣x）＝﹣xln（1﹣x）＝n（1+x）＝﹣xln（1﹣x），
所以函数y＝（1﹣x）ln（2﹣x）的图像与函数y＝f（x）的图像数于直线x＝1对称，故C正确；
对于D．若函数f（x）的图像上有且仅有两个点关于x轴的对称点落在直线y＝﹣x﹣1上，
即f（x）与y＝x+1只有两个交点，
即方程（x﹣1）lnx＝x+1只有两个解，
令G（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1（x＞0），
G′（x）＝lnx﹣，
因为函数y＝lnx，y＝﹣在（0，+∞）上都是增函数，
所以函数
G′（x）＝lnx﹣在（0，+∞）上是增函数，
又G′（1）＝﹣1＜0，G′（e）＝1﹣＞0，
所以存在x0∈（1，e）使得G′（x）＝0，即lnx0＝，
则当0＜x＜x0时，G′（x）＜0；当x＞x0时，G′（x）＞0，
所以函数G（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，
所以G（x）min＝G（x0）＝（x0﹣1）lnx0﹣x0﹣1＝（x0﹣1）﹣x0﹣1＝﹣﹣x0＜0，
又G（）＝2﹣﹣﹣1＝1﹣＞0，G（e2）＝2e2﹣2﹣e2﹣1＝e2﹣3＞0，
所以函数G（x）在（，x0）和（x0，e2）分别存在一个零点，
即f（x）与y＝x+1只有两个交点，
所以函数y＝f（x）的图像上有且仅有两个点关于x轴的对称点落在直线y＝﹣x﹣1上，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC＝2，BC＝2，AB⊥BC，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．MN和BC不可能平行
B．AB和CD有可能垂直
C．若AB和CD所成角是60°，则
D．若面ACD⊥面ABC，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积是28π
【解答】解：对于A，若MN和BC平行，则N应该在DM上，但在旋转过程中，N不可能在DM上，所以MN和BC不可能平行，则A正确；
对于B，当D1不在平面ABCD中时，
若AB⊥CD1，因为AB⊥BC，BC∩CD1＝C，
故AB⊥平面BCD1，而AB⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面BCD1，
过D1作D1E⊥BC，垂足为E，因为平面ABCD∩平面BCD1＝BC，
D1E⊂平面BCD1，故D1E⊥平面ABCD，而AE⊂平面ABCD，
故ED1⊥AE，故AD＝AD1＞AE≥AB，矛盾，
当D1在平面ABCD中时，AB⊥CD也不成立，故B错误．
对于C，因为在末旋转时AB和CD是平行的，若某一时刻AB和CD所成角是60°，
即CD与旋转后的CD1所成角为60°，如下图．当△ACD旋转到△ACD1，
即D1在平面ABCD内，此时因为∠DCA＝30°，则∠D1CA＝30°，所以∠D1CD＝60°，AB和CD所成角是60°，
即CD1和CD所成角是60°．此时Q旋转到Q1，取AC的中点，连接HP，HQ1，
则，
所以∠QHP＝120°，则在三角形Q1HP中，
，
所以C错误，
过O2做平面ADC的垂线，两垂线的交于点O1O与O2重合，
即O2即为外接球的球心，则，
则，
所以，则三棱维D﹣ABC的外接球的表面积是S＝4πR2＝28π，
所以D正确．
故选：AD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知复数z＝2+i，其中i为虚数单位，那么复数•z所对应的复平面内的点在第 四 象限．
【解答】解：∵z＝2+i，
∴＝（3﹣4i）（2+i）＝10﹣5i，
∴复数•z所对应的复平面内的点（10，﹣5）在第四象限．
故答案为：四．
14．（5分）甲、乙、丙、丁共4名同学去找数学老师询问月考成绩，数学老师对甲说：“如果把你们四个成就从第一到第四排列，很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4人的名次排列方式共有 8 种．
【解答】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三名，即乙有2种情况，
剩下的2人安排在其他2个名次，有A22＝2种情况，
此时有2×2＝4种名次排列情况；
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三名，有A22＝2种情况，
剩下的2人安排在其他2个名次，有A22＝2种情况，
此时有2×2＝4种名次排列情况；
则一共有4+4＝8种不同的名次情况，
故答案为：8．
15．（5分）式子cs15°sin10°cs20°+cs10°cs70°﹣2cs45°sin15°sin10°sin70°的值为 ．
【解答】解：cs15°sin10°cs20°+cs10°cs70°﹣2cs45°sin15°sin10°sin70°
＝+cs10°cs70°
＝×+cs10°cs70°
＝cs20°sin10°+cs10°sin20°
＝sin30°
＝．
故答案为：．
16．（5分）已知直线l与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0交于A，B两点，且AB中点为M（2，1），若P为圆C上的动点，则的取值范围为 [4﹣4，4+4] ．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
根据圆的性质可得：MC⊥l，
∵C（1，2），M（2，1），
CM＝＝，
∴AM＝＝，
＝（）•（+）＝﹣＝﹣2，
∵r﹣CM≤PM≤r+CM，
∴2≤PM≤2，
∴6﹣4≤≤6+4，
∴的取值范围为[4﹣4，4+4]．
故答案为：[4﹣4，4+4]．
四、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）函数f（x）＝cs4ωx﹣sin4ωx（ω＞0），点S是f（x）图像上的一个最高点，点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）函数，三角形ABC的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝ab，求g（A）的取值范围．
【解答】解：因为函数f（x）＝cs4ωx﹣sin4ωx＝（cs2ωx+sin2ωx）（cs2ωx﹣sin2ωx）＝cs2ωx，
（1）由已知可得点M，S，N为相邻的三点时三角形SMN的面积最小，
则S，所以T＝π，则ω＝1，所以f（x）＝cs2x，
所以函数的最小正周期为π；
（2）因为三角形ABC的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝ab，所以a2+b2﹣c2＝﹣ab，
所以csC＝＝﹣，因为C∈（0，π），所以C＝，
则0，
所以g（A）＝f（A）﹣f（A+）＝cs2A﹣cs[2（A+）]＝cs2A+sin2A＝，
因为0＜A＜，所以2A+，
则当2A+＝，即A＝时，g（A）max＝，
当2A+＝时，g（A）min＝sin＝sin（）＝×（）＝，
所以g（A）的范围为[]．
18．（12分）单增数列满足a1＝1，点An（an，n），Bn（，0），并且对于任意n∈N+都有．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求四边形AnAn+1BnBn+1的面积Sn．
【解答】
解：（1）由An（an，n），且对子任意n∈N+都有，
则（an+1﹣an）2+[（n+1）﹣n]2＝2，
则（an+1﹣an）2＝1，
又数列为递增数列，
则an+1﹣an＝1，
又a1＝1，
则数列为以1为首项、1为公差的等差数列，
即an＝1+（n﹣1）×1＝n；
（2）由题意可得点An（n，n），Bn（，0），An+1（n+1，n+1），Bn+1（，0），
则四边形AnAn+1BnBn+1的面积Sn＝S﹣S﹣＝（1+）（n+1）﹣﹣＝．
19．（12分）如图，圆台下底面圆O1的直径为AB，C是圆O1上异于A、B的点，P、M是圆台上底面圆O2上的两点，N是BC的中点，PA＝AC＝PC＝BC＝2，PB＝2．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）若MN与平面PAC所成角的正弦值是，求线段MN的长度．
【解答】解：（1）证明：取AC的中点设点D，连接PD，BD，
PA＝AC＝PC＝2，∴△PAC为等边三角形，∴PD⊥AC，且PD＝，
∵AB是圆台下底面O1直径，C是圆O1异于A，B的点，故∠ACB＝90°，
∴BD＝＝，
PB＝，PD＝，BD＝，
∴PD2+BD2＝PB2，∴PD⊥BD，
∵AC∩BD＝D，AC，BD⊂面ABC，∴PD⊥平面ABC，
∵BC⊂面ABC，∴PD⊥BC，
∵BC⊥AC，AC∩PD＝D，AC，PD⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．
（2）以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CB所在直线为z轴，过点C作垂直于底面的垂线为z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
由题意得P（1，0，），Q2（1，1，），N（0，1，0），设M（x，y，），
∵PO2＝MO2，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
＝（x，y﹣1，），
平面PAC的一个法向量为＝（0，1，0），
则MN与一羰PAC所成角的正弦值为：
＝＝．
解得x＝1（舍），或x＝，
∴线段MN的长度为：
||＝＝＝＝．
20．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的动点，若|PF2|min＝1且当PF2⊥F1F2时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过P作不过原点的直线l与椭圆相交，另一个交点为Q，O为原点，求△OPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）∵|PF2|min＝1，∴a﹣c＝1．
当PF2⊥F1F2时，把x＝c代入椭圆方程可得：＝1﹣，解得x＝±，
∵，∴＝，
又a2＝b2+c2，联立解得：a＝2，b2＝3，c＝1．
∴椭圆C的方程为+＝1．
（2）若过P的直线l的斜率不为0时，设l的方程为：my＝x﹣t，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，化为：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0，
Δ＞0，化为4+3m2﹣t2＞0，
y1+y2＝，y1y2＝，
∴S△OPQ＝|t|•|y1﹣y2|＝|t|＝|t|＝2×≤2×＝，当且仅当4+3m2﹣t2＝t2取等号，
PQ∥x轴时，设直线PQ的方程为y＝k，（﹣＜k＜，k≠0），
把y＝k代入椭圆方程+＝1，可得+＝1，解得x＝±2．
∴S△OPQ＝×4×k＝2•≤2×＝，当且仅当1﹣＝，即k2＝时取等号．
∴△OPQ面积的最大值为．
21．（12分）新冠病毒奥密克戎变异株在全球快速蔓延，并引发香港新一波疫情发．2022年3月3日当天新增55353例新冠确诊病例，创单日新增病例新高．截止3月3日，香港累计病例逾39万例．专家再次提醒：新型冠状病毒是一种传染性极强且危及人们生命安全的严重病毒，新冠防控不可掉以轻心．在新冠防控的过程中，我们把与携带新型冠状病毒者（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性的概率为p（0＜p＜1）．一旦被确诊为阳性后立即将其隔离．某患者在隔离前每天有K位密切关联者与之接触（假设这K个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为X（0≤X≤K）．
（1）求一天内被感染人数X的概率P（X）的表达式和X的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，若在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间，设每位患者在不知自己患病的情况下，第二天又与K位密切关联者接触．从某一名患者感染新型冠状病毒的第1天开始算起，第n天新增患者的数学期望记为E（n≥2）．
①当K＝20，p＝，求E6的值；
②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率p1满足关系式p1＝ln．当p1取得最大值时，计算所p1对应的E6并和P所对应的E6做对比，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性．（K＝20）
（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6，≈0.7计算结果保留整数）
【解答】解：（1）由题设可得X可取0，1，2，⋯，K，
则，此时X～B（K，p），
故E（X）＝Kp．
（2）①由（1）可得：
第二天被感染人数增至1+10＝11，
第三天被感染人数增至11+11×10＝121＝112，
依次第五天被感染人数增至114，第六天被感染人数增至115，
故．
②因为，故，
当时，p1′＞0；当时，p1′＜0；
故在为增函数，在上为减函数，
故的最大值为：
，
当时，
第二天被感染人数增至，
第三天被感染人数增至，
依次第五天被感染人数增至，第六天被感染人数增至，
故．
由（1）可得对应的E6＝146410，对比可得佩戴口罩必要．
22．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣2x+π的导函数为g（x），其中a≤﹣1．
（1）求证：函数f（x）在定义域不单调；
（2）记函数y＝f（x）的极值点为实数m，证明：（2﹣a）g（m+1）＜a2﹣3a+1．
【解答】证明：（1）∵f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣2x+π，其中x＞﹣1，
∴g（x）＝f′（x）＝ln（x+1）﹣ax﹣1，
∵a≤﹣1，
∴g′（x）＝﹣a＞0，
∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．
∵g（0）＝﹣1＜0，g（﹣）＝ln（1﹣）＞0，
由零点存在定理可知，存在唯一x0∈（0，﹣），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，
当﹣1＜x＜x0时，g（x）＝f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞x0时，g（x）＝f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
因此函数f（x）在定义域不单调；
（2）构造函数p（x）＝ln（x+1）﹣x，其中x＞0，则p′（x）＝﹣1＝﹣＜0，
∴p（x）在（0，+∞）上单调递减，∴p（x）＜p（0）＝0，
故当x＞0时，ln（x+1）＜x，
由已知得g（m）＝ln（m+1）﹣am﹣1＝0，即ln（m+1）＝am+1，
由（1）知，g（）﹣ln（+1）﹣＜0，
∵g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
由零点存在定理知，＜m＜﹣．
则g（m+1）＝ln（m+2）﹣（am+1）﹣a＝ln（m+2）﹣ln（m+1）﹣a＝ln﹣a＝ln（1+）﹣a＜﹣a＜﹣a＝，
∴（2﹣a）g（m+1）＜a2﹣3a+1．
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