重庆市第八中学2021-2022学年高三上学期高考适应性月考卷（二）数学试卷

重庆市第八中学2022届高考适应性月考卷（二）

数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．若复数，则的虚部为（   ）

A． B． C． D．

2．设集合，则的元素个数是（   ）

A． B． C． D．

3．等差数列中，则“”是“”的（   ）

A．充要条件   B．必要不充分条件   C．充分不必要条件   D．既不充分也不必要条件

4． 已知直线，直线，若，则（   ）

A．                B．              C．            D．

5． 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会微的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．其中已知：

，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（    ）

A．                B．              C．            D．

6．已知点在函数的图象上，则下列四点中也在函数的图象上的是（   ）

A． B． C． D．

7．四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，为线段上一动点，则的最小值为（   ）

A．          B．         C．         D．

8．数列满足，则数列的前项和为（   ）

A．              B．              C．           D．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．若，则（   ）

A．            B．           C．  D．

10．记为数列的前项和，下列说法正确的是（   ）

A．若对，有，则数列是等差数列 

B．若对，有，则数列是等比数列 

C．已知，则是等差数列

D．已知，则是等比数列

11．设动直线交圆于两点（点为圆心），则下列说法正确的有（   ）

A．直线过定点                        B．当取得最大值时，

C．当最小时，其余弦值为           D．的最大值为

12．设函数，已知在上有且仅有个零点，下列结论正确的是（    ）

A．在存在，满足  B．在有个最大值点

C．在单调递增                   D．的取值范围为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．设等比数列满足，则__________．

14．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．

15．已知正实数满足，则的最小值为__________．

16．在平面直角坐标系中，定义两点间的直角距离为，将曲线依次以原点为中心逆时针旋转三次，得到由四段圆弧构成的曲线．若点为曲线上任一点，则的取值范围为__________．

四、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）某学校在其“环保周”组织“碳达峰、碳中和”知识竞赛，有两类问题．每位参加比赛的同学在两类问题中分别随机抽取一个问题进行回答．类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．小强作为本班代表参赛，已知小强能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

（1）求小强至少答对一个问题的概率；

（2）记为小强的累计得分，求的分布列及期望．

18．（本题满分12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补全下列试题后完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个给分）．

设等差数列前项和为，且 ____．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项的和．

19．（本题满分12分）如图①，在梯形中，过点作且，将梯形沿折叠得到图②．折叠后，点是中点．

（1） 求证：平面

（2） 求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20．（本题满分12分）如图，的内角的对边分别为，，且．

（1）求角的大小；

（2）在内有点，，且，直线交于点，求．

21．（本题满分12分）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另一焦点上．已知焦距为的椭圆的左、右焦点分别为，从发出的一条不与轴重合的光线，在椭圆上依次经两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线，且满足，若，求实数的取值范围．

22．（本题满分12分）已知．

（1）当时，求证：函数在上单调递增；

（2）若只有一个零点，求的取值范围．

重庆市第八中学2022届高考适应性月考卷（二）

数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

【解析】

1．，其虚部为，故选A．

2．易知圆与直线相交，故有个元素，故选C．

3．数列的公差为递减数列，故为充要条件，故选A．

4．，故选C．

5．由题设，，，，…，以此类推，所以，故选A．

6．为偶函数，所以点也在图象上，故选D．

7．如图1，以为原点建立平面直角坐标系，则，，所以，则

   ，时取等号，故选D．

8．当时，；当时，，两式相加得，故

   ．由得

   ．，故选B．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

【解析】

9．，B正确；又在上单调递增，所以，即，C正确，故选BC．

10．对于A，，符合等差数列的定义，正确；对于B，若，满足，但不为等比数列，错误；对于C，当时，；当时，，时符合该式，易知是以为首项，为公差的等差数列，正确；对于D，当时，，时，，当时符合该式，易知是以为首项，为公比的等比数列，正确，故选ACD．

11．对于A，，令得直线过定点，正确；对于B，当直线过圆心时，最大，此时，，错误；对于C，设直线的定点为，当时，最小，易知，则，正确；对于D，，当直线过圆心时，最大，此时，正确，故选ACD．

12．对于D，，令，则在

    上有且仅有三个零点，只需，得，正确；对于C，当时，，而，在上不单调，错误；对于A，易知在上有最大值与最小值，故在存在，满足，正确；对于B，因为，当时，在上只有一个最大值点，错误，故选AD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．设数列的公比为，则所以．

14．当时，，则，所以曲线在点处的切线方程是．

15．（当且仅当时，取等号）．

16．由对称性知，不妨考虑在上的情形，设，则

    ．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

    解：（1）由题意，小强至少答对一个问题的概率为．

         ………………………………………………………………………………………（4分）

   （2）的可能取值为0，20，30，50，

    则；；，

    ．……………………………………………………………（8分）

    于是小强累计得分分布列为

    因此．

          ……………………………………………………………………………………（10分）

18．（本小题满分12分）

    解：（1）设等差数列的公差为，首项为

    选①，由，，

    可得解得

    所以；

           ……………………………………………………………………………………（6分）

    选②，由，可知，

    当时，，

    上式对也成立，所以；…………………………………………………（6分）

    选③，由，可得，解得，

    又因为，所以，解得，

    所以 …………………………………………………………（6分）

   （2）因为，所以，

    所以，

    所以，

    两式相减得，

    所以．……………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

   （1）证明：如图2，取的中点，则是的中位线，且；

    又且，得BCFG，

    四边形是平行四边形；

    又平面，平面，得平面．

            ………………………………………………（5分）

   （2）解：由，

    得是二面角的平面角，即．

    又得是等边三角形，

    平面平面平面．

    取的中点，则平面，

    以为原点，为轴，为轴建立坐标系．令，

    则，，，，，

         ………………………………………………………………………………………（7分）

    设平面的法向量，，

    由，解得

    设平面的法向量，，

    由，解得

          ……………………………………………………………………………………（11分）

    ，

    即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

          ……………………………………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

    解：（1）由正弦定理得，

    ∵，∴，

    ∴，∴或

    又∴∴…………………………………………（5分）

   （2）在中，因为，，

    因为，所以．

    由角分线定理知，，

    所以，．………………………………………（8分）

    在中，由余弦定理知，

    所以，所以．

         ……………………………………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

    解：（1）由椭圆光学性质知过椭圆左焦点，由椭圆定义知

    所以，所以椭圆C的标准方程为．

         ………………………………………………………………………………………（4分）

   （2）由已知设，

    则直线为，联立方程组消得，

    由韦达定理得①，②．……………………………（6分）

    因为，所以，

    所以③，将③代入①②，，

    消去得，

    所以． ……………………………………………………………（9分）

    因为，所以，即，

    解得，所以．…………………………………………………（12分）

22．（本小题满分12分）

   （1）证明：当时，，

    ，，，

    则在上单调递增，注意到，

    则在上单调递减，在上单调递增，注意到，

    则，故在上单调递增．

         ………………………………………………………………………………………（4分）

   （2）解：注意到为奇函数，且，

    则在上只有一个零点，只需在上无零点，

    由（1）问可知，当时，，故，令，

    则时，无零点，符合题意；

         ………………………………………………………………………………………（6分）

    当时，，

    故在上单调递减，则，符合题意；

         ………………………………………………………………………………………（8分）

    当时，，，

    由在上单调递增，且，，

    故存在唯一，由，

    故在上单调递减，注意到，

    故时，，从而在上单调递减，

    故时，，从而在上单调递减，

    从而

    取时，令，

    从而，即且时，，

    由零点存在性定理，在上至少存在一个零点，舍去．

    综上可知，．…………………………………………………（12分）