初中数学沪科版七年级下册7.2 一元一次不等式教学设计

一元一次不等式

【课时安排】

3课时

【第一课时】

【教学目标】

1．理解一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式等概念。

2．会解一元一次不等式，并会在数轴上表示不等式的解集。

3．通过类比一元一次方程的有关概念、解法来学习一元一次不等式的有关概念及解法，发展学生的类比推理能力。

【教学重点】

一元一次不等式的解法和用数轴表示不等式的解集。

【教学难点】

准确求一元一次不等式的解集。

【教学过程】

一、复习

不等式的基本性质

二、引例

问题：某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万元。如果该公司原来的年利润为200万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费应高于多少万元？

分析：设该公司增加的科研经费为万元，根据题意，得：

三、新授课

含有一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。

（一）问题：请你找出一个数，使得上述不等式成立。

一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。

所有这些解的全体成为这个不等式的解集。

求不等式解集的过程，叫做解不等式。

（二）提示：不等式的解集与不等式的解的区别：解集是使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合。而不等式的解是使不等式成立的未知数的值，二者的关系是解集包含解，所有的解组成解集。

（三）回顾：解一元一次方程的过程

1．去分母（等式基本性质2）

2．去括号（去括号法则）

3．移项（移项法则、等式基本性质1）

4．合并同类项（整式加减）

5．系数化为1（等式基本性质2）

（四）类比一元一次方程的解法来研究一元一次不等式如何解。

例1：

1．解方程：

2．解不等式：

（五）总结：解一元一次不等式的过程。

（六）将不等式的解集在数轴上表示出来。

（七）注意

1．空心点和实心点的使用，注意它们在表示不等式解集时的差别；

2．小于（小于或等于）时向左，大于（大于或等于）时向右。

（八）练习

1．（2010年邵阳中考）如图，数轴上表示的关于x的一元一次不等式的解集为（   ）

A．x≤1   B．x≥1   C．x<1   D．x>1

2．例2：解不等式：

答案：

将例1的第二题和例2的最后一步（系数化为1）进行对比，强调不等式的两边同时乘以（或除以）一个数时，要先判断这个数的正负，再考虑运用不等式基本性质2或性质3。

3．练习（课本练习1、练习2（1））

4．解不等式，并求它的非负整数解。

5．（2010年荷泽中考）若关于的不等式3m-2x<5的解集是x>2，则实数m的值为______。

变式练习：已知不等式的解集如图所示，求不等式的解集。

6．如果不等式的正整数解是1、2、3，则m的取值范围是（   ）

A．9≤m<12      B．9<m<12      C．m<12      D．m≥9

变式练习：如果不等式的正整数解是1、2、3、4，则m的取值范围是______。

7．已知关于x的方程的解是非负数，求m的取值范围。

四、总结

（一）什么是一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式？

（二）解一元一次不等式与解一元一次方程有哪些相同和不同的地方？

（三）不等式的解集如何在数轴上表示出来？

【第二课时】

【教学目标】

会解含分母的一元一次不等式，并会在数轴上表示其解集。

【教学重点】

含分母的一元一次不等式的解法。

【教学难点】

在数轴上表示不等式的解集。

【教学过程】

（一）复习

1．一元一次不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式。

2．不等式的解集如何在数轴上表示出来。

3．解一元一次不等式的步骤。

（二）新授课

例1：解不等式：，并把它的解集表示在数轴上。

1．同步练习（课本习题7.2第2题）

解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）；

（2）。

例2：解不等式：。

注意：方程两边可以同时乘以15，去掉分母。也可以同时乘以-15，此时要注意不等号方向改变。

2．同步练习

解不等式：>1

3．交流

解一元一次方程与解一元一次不等式有哪些相同和不同的地方？为什么？

不等式的解法与方程的解法基本一样，只是最后一步“系数化为1”时，要注意不等式基本性质3的应用。

例3：若代数式的值不大于代数式的值，求y的取值范围。

变式练习x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？

答案：不等式的解集为，x取1、2、3、4。

例4：解不等式：

例5：已知关于的不等式与不等式的解集相同，求的值。

4．变式练习

已知不等式与不等式的解相同，求的值。

（三）选用练习

1．（2010江苏南通）关于x的方程的解为正实数，则m的取值范围是（   ）

A．m≥2    B．m≤2    C．m>2    D．m<2

2．如果不等式ax+4<0的解集在数轴上表示如图，那么a的值是（   ）

A．a>0     B．a<0      C．a=-2     D．a=2

3．已知，化简：。

4．当为何值时，的值不小于的值。

5．求不等式的非正整数解，并在数轴上表示出来。

（四）总结

1．含分母的一元一次不等式的解法步骤有哪些？

2．解一元一次方程与解一元一次不等式有哪些相同和不同的地方？

3．本节课有哪些需要注意的问题？

（五）思想方法：类比思想

【第三课时】

【教学目标】

1．会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际。

2．通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决问题的经验，感知方程与不等式的内在联系。

3．在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯。

【教学重点】

寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。

【教学难点】

弄清列不等式解决实际问题的思想方法。

【教学过程】

（一）回顾复习

解下列不等式：

1．

2．

答案：1．；2．。

（学生板演，师生共同点评）

（二）新授课

例1：松山公园梅花展个人票每张10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠。当人数不足20人时，试问有多少人时买20人的团体票比买个人票要便宜？

分析：题目中的数量关系是：购买团体票的钱少于购买个人票的钱。根据上述关系列出不等式求解。

注意：可先假设为相等关系列方程，再改为不等关系列不等式。注意体会列不等式解决问题和列方程解决问题的关联和区别。

例2：学校举行环保知识竞赛，共有20个问题，答对一题得5分，不答或答错一题扣3分。王林希望自己的得分不低于80分，那么他至少答对多少题？

分析：设王林答对了x题，则：

注意：受实际问题的限制，最后结果要取整数，所以王林至少答对了18题。

例3：一水果商某次按每千克4元购进一批苹果，销售过程中有20%的苹果正常损耗。问该商家把售价定为多少时可以避免亏本？

分析：设商家的售价为x元/千克，且设商家进货m千克，则：

所以定价不低于5元/千克可以不亏本。

注意：根据进货总价和销售总价的关系可以列不等式求解。列式过程中需要引入购进苹果的重量，不妨设重量为参数m，在解不等式的过程中，两边同时除以m，从而消去参量m，求出x的值。

同步练习：课本练习第1、2、3题。

例4：为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：

经预算：该企业购买设备的资金不高于130万元。

（1）请你设计该企业的几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为2260吨，为了节约资金，应该选哪种购买方案？

分析：（1）设购买A中型号设备x台，则购买B型号设备台，根据题意，得

由于x为正整数，x只能取1、2、3。

因此购买方案有三种：①购买A型号设备1台，B型号设备9台；

②购买A型号设备2台，B型号设备8台；

③购买A型号设备3台，B型号设备7台。

（2）第①种方案：购买资金为123万元，处理污水量为2230吨。

第②种方案：购买资金为126万元，处理污水量为2260吨。

第③种方案：购买资金为129万元，处理污水量为2290吨。

由以上计算知，应选第②种方案。

例5：某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元。相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%。

（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？

（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？

（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，应如何选购鱼苗？

分析：设购买甲种鱼苗x尾，则购买乙种鱼苗尾，

（1）由题意得：

解这个方程，得：

∴

答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾。

（2）由题意得：

解这个不等式，得：

即购买甲种鱼苗应不少于2000尾。

（3）由题意得：

解得：

即购买甲种鱼苗应不超过2400尾。

注意：比较问题（1）和问题（2）的过程，再次体会列方程解决问题和列不等式解决问题的联系。

（三）总结

根据实际问题中的不等关系列出不等式，就把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式可得到实际问题的答案。