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2022年陕西省宝鸡市渭滨区初中学业水平模拟考试数学试题（二）(word版含答案)
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这是一份2022年陕西省宝鸡市渭滨区初中学业水平模拟考试数学试题（二）(word版含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 在−2，0，12，2四个数中，最小的是( )
A. −2 B. 0 C. 12 D. 2
2. 下列运算正确的是( )
A. (x3)2=x5 B. (x−y)2=x2+y2
C. −x2y3⋅2xy2=−2x3y5 D. −(3x+y)=−3x+y
3. 下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为( )
A. 60∘ B. 90∘ C. 100∘ D. 110∘
5. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60∘，则∠BFC的度数为( )
A. 118∘
B. 119∘
C. 120∘
D. 121∘
6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、CD上的任一点，连结BE并延长交CD的延长线于点H，交AF于点G。则图中共有相似三角形( )对。
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
7. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的⊙O与x轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点P为弦AB的中点，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点C，E，则△PCE面积的最小值为( )
A. 5 B. 6 C. 254 D. 112
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac−b24a=−1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a−b+c>0.其中正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
9. 因式分解：x2−4y2=______．
10. 如图，O是菱形ABCD 对称中心，AB=4，∠BAD=120°若点E,F 分 别在AB,BC边上，连接OE,OF,则OE+OF的最小值为_______
11.在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以BC边的中点O为圆心12BC长为半径画圆，该圆分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点(与点D，E不重合)，连接PD，PE，则∠DPE=______．
12.如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③，若半径OA=1，∠AOB=90°，则点O所经过的路径长是______ ．
13.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上，∠ACB=90°，OA=OC=4，AC=2BC，反比例函数y=kx的图象经过点B，则k的值为______．
三、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
14.（5分）计算：(12)−1−4sin45°−(1−2)0+8；
15.（5分）化简：a+31−a2÷a2+3aa2−2a+1．
16.（5分）解不等式组2x−13−5x+12≤13(x+1)>5x−3，并写出它的所有整数解．
17.（本题满分5分）
如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
18.（本题满分5分）
如图，BA,BC转动相同的角分别到BE，BD,且BE=AC,
求证：∠C=∠ABC
19.（本题满分5分）
新华社商场销售某种电视，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种电视机的销售利润平均每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元？（课本54页）
20.（本题满分5分）
小花和小刚用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次。
（1） 若两次的数字之和为6，7，8，则小花的胜，否则小刚胜。这个游戏小花获胜的概率是
（2） 若两次数字之和为奇数，则小花胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜。这个游戏双方公平吗？说说你的理由。
21.（本题满分6分）
市民广场有一棵高大的老黄角树．小华为测量该树的高度AD，在大树前的平地上点C处测得大树顶端A的仰角∠C＝30°，然后向前直走22米到达B处，又测得大树顶端A的仰角∠ABD＝45°，已知C、B、D在同一直线上（如图所示），求老树的高度AD．（结果保留根号）
22. （本题满分7分）
“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D，4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)王老师采取的调查方式是______(填“普查”或“抽样调査”)，王老师所调查的4个班共征集到作品______件，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为______；
(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．(要求用树状图或列表法写出分析过程)
23.（本题满分7分）
某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x(元/千克)
55
60
65
70
销售量y(千克)
70
60
50
40
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
24.（本题满分8分）
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PD=3，求⊙O的直径．
25.（本题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A(−4,0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线AB的函数解析式为_____，点M的坐标为_______，连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△ABC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为_______；
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26. （本题满分10分）
【阅读】定义：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
如图②，在△ABC中，已知AC=BC且∠C=45°，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数．
【应用】
在△ABC中，∠C=24°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD=DC，BE=DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
初中学业水平模拟考试数学试卷答案
一、选择题（本大题共8小题，共25.0分）
11. 在−2，0，12，2四个数中，最小的是( )
A. −2 B. 0 C. 12 D. 2
【答案】A
【解析】解：由正数大于零，零大于负数，得
−2<0<12<2，
−2最小，
故选：A．
根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．
12. 下列运算正确的是( )
A. (x3)2=x5 B. (x−y)2=x2+y2
C. −x2y3⋅2xy2=−2x3y5 D. −(3x+y)=−3x+y
【答案】C
【解析】略
13. 下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
14. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为( )
A. 60∘ B. 90∘ C. 100∘ D. 110∘
【答案】B
【解析】略
15. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60∘，则∠BFC的度数为( )
A. 118∘
B. 119∘
C. 120∘
D. 121∘
【答案】C
【解析】略
16. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、CD上的任一点，连结BE并延长交CD的延长线于点H，交AF于点G。则图中共有相似三角形( )对。
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查相似三角形的判定和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
根据四边形ABCD是平行四边形，利用相似三角形的判定定理，对各个三角形逐一分析即可．
【解答】
解：∵在▱ABCD中，AB//CD，
∴△AGB∽△FGH，
△HED∽△BEA，
又∵AD//BC
△HED∽△HBC，
∴△BEA∽△HBC，共4对．
故选C．
17. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的⊙O与x轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点P为弦AB的中点，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点C，E，则△PCE面积的最小值为( )
A. 5 B. 6 C. 254 D. 112
【答案】D
【解析】解：连接OP，如图，
∵点P为弦AB的中点，
∴OP⊥AB，
∴∠APO=90°，
∴P点在以OA为直径的⊙D上(A点除外)，
过D点作DH⊥CE于H，DH交⊙D于P′，如图，
∴点P点在P′点的位置时，P点到CE的距离最小，此时△PCE面积有最小值，
当x=0时，y=−43x+4=4，则E(0,4)，
当y=0时，−43x+4=0，解得x=3，则C(3,0)，
4CE=32+42=5，
∵∠DCH=∠ECO，∠CHD=∠COE，
∴△CDH∽△CEO，
4DHOE=CDCE，即DH4=45，解得DH=165，
∴P′H=DH−DP′=165−1=115，
∴S△EP′C=12×5×115=112，
∴△PCE面积的最小值为112．
故选：D．
连接OP，如图，利用垂径定理得推论得到∠APO=90°，再根据圆周角定理可判断P点在以OA为直径的⊙D上(A点除外)，过D点作DH⊥CE于H，DH交⊙D于P′，如图，点P点在P′点的位置时，△PCE面积有最小值，接着利用一次函数解析式确定E(0,4)，C(3,0)，则可计算出CE=5，通过证明△CDH∽△CEO，利用相似比求出DH=165，然后利用三角形面积公式计算出S△EP′C即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了一次函数的性质．
18. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac−b24a=−1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a−b+c>0.其中正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A
【解析】解：①4ac−b24a=−1，抛物线顶点纵坐标为−1，正确；
②ac+b+1=0，设C(0,c)，则OC=|c|，
∵OA=OC=|c|，∴A(c,0)代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，
∴ac+b+1=0，故正确；
③abc>0，从图象中易知a>0，b<0，c<0，故正确；
④a−b+c>0，当x=−1时y=a−b+c，由图象知(−1,a−b+c)在第二象限，
∴a−b+c>0，故正确．
故选：A．
此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a>0，−1
二、填空题（本大题共5小题，共22.0分）
19. 因式分解：x2−4y2=______．
【答案】(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x2−4y2=(x+2y)(x−2y)．
直接运用平方差公式进行因式分解．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
20. 如图，O是菱形ABCD 对称中心，AB=4，∠BAD=120°若点E,F 分 别在AB,BC边上，连接OE,OF,则OE+OF的最小值为_______
【答案】
【解析】在AD上作点E关于AC的对称点P,过P作BC的垂线PH，垂足为H，则PH为最小值，就是菱形对边之间的距离
本题考查了菱形的性质，垂线段最短问题
21. 在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以BC边的中点O为圆心12BC长为半径画圆，该圆分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点(与点D，E不重合)，连接PD，PE，则∠DPE=______．
【答案】130°或50°
【解析】解：连接OD，OE，
∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠B=∠C=12(180°−40°)=70°，
∵OD=OB=OC=OE，
∴∠ODB=∠B=∠C=∠OEC=70°，
∴∠BOD=∠COE=40°，
∴∠DOE=100°，
当点P在优弧DBE上时，∠DP1E=12∠DOE=50°，
当点P在劣弧DE上时，∠DP2E=180°−∠DP1E=130°，
∴∠DPE=130°或50°，
故答案为：130°或50°．
连接OD，OE，求出∠DOE，再分当点P在优弧DBE上时和当点P在劣弧DE上时，分别求出∠DPE即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角，圆周角定理，理解题意，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
22. 如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③，若半径OA=1，∠AOB=90°，则点O所经过的路径长是______ ．
【答案】32π
【解析】解：点O所经过的路径长=3×90π⋅1180=32π.
故答案为：32π.
点O所经过的路径是三个14圆周长．
本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图，已知双曲线y=kx(x>0))经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=______．
【答案】2
【解析】解：设F(x,y)，E(a,b)，那么B(x,2y)，
∵点E在反比例函数解析式上，
∴S△COE=12ab=12k，
∵点F在反比例函数解析式上，
∴S△AOF=12xy=12k，
∵S四边形OEBF=S矩形ABCO−S△COE−S△AOF，且S۹bOEBF=2，
∴2xy−12k−12xy=2，
∴2k−12k−12k=2，
∴k=2．
故答案为：2．
如果设F(x,y)，表示点B坐标，再根据四边形OEBF的面积为2，列出方程，从而求出k的值．
本题的难点是根据点F的坐标得到其他点的坐标．在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
三、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
24. 算：(12)−1−4sin45°−(1−2)0+8；
15.化简：a+31−a2÷a2+3aa2−2a+1
14【答案】解：原式=2−4×22−1+22
=2−22−1+22
=1；
【解析】14直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；
15)根据分式的除法运算法则即可求出答案，再将分式的分子与分母分解因式化简得出答案．本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法
16.解不等式组2x−13−5x+12≤13(x+1)>5x−3，并写出它的所有整数解．
【答案】解：(1)2x−13−5x+12≤1①3(x+1)>5x−3②，
由①得：2(2x−1)−3(5x+1)≤6，
−11x−5≤6，
−11x≤11，
x≥−1，
由②得：3x+3>5x−3，
−2x>−6，
x<3，
∴−1≤x<3．
∴x=±1，0，2．
【解析】(1)根据一元一次不等式组的解法求出x的解集，然后找出所有整数解．
本题考查一元一次不等式组的解法以及则以及一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型．
17.（本题满分5分）
如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解:如图,AD为所作
理由:∵AD⊥BC
∠B+∠BAD=90°
∠BAC=90°,
∠BAD+∠DAC=90°
∠B=∠DAC
又:∠ADB=∠ADC
△ABD∽△CAD
【解析】本题考查垂直平分线的尺规作图
18.（本题满分5分）
如图，BA,BC转动相同的角分别到BE，BD,且BE=AC,
求证：∠C=∠ABC
【答案】解析∵BA=BE，BC=BD、AB=AC
∴∠ABC=∠ACB.∠ACB=∠ACB
∴△ABC≌EBD
∴∠C=∠D
∴∠ABC=∠D
【解析】本题考查等边三角形的判定，等边对等角。
19.（本题满分5分）
新华社商场销售某种电视，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种电视机的销售利润平均每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元？（课本54页）
【答案】解析解：设一台电视机应降价x元，则可以多销售台电视机，
每台电视机的利润为（2900-2500-x）元，
由题意，得（2900-2500-x）（8+）=5000，
解得：x=150，
每天售出的台数为：8+150÷50×4=20台．
答：电视机应降价150元，每天可售出20台．
【解析】本题考查一月二次方程在现实生活中的应用。
20.（本题满分5分）
小花和小刚用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次。
（3） 若两次的数字之和为6，7，8，则小花的胜，否则小刚胜。这个游戏小花获胜的概率是
（4） 若两次数字之和为奇数，则小花胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜。这个游戏双方公平吗？说说你的理由。
【答案】解析
列表得：
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
∵共有25种等可能的结果，小花取胜的有16种情况，
∴小花取胜的概率是：．
（2）不公平．因为共有25种情况，和为奇数的共有13种情况，
所以P（和为奇数）=；P（和为偶数）=．
【解析】本题考查概率的认识，以及在现实生活中的公平与否。
21.（本题满分6分）
市民广场有一棵高大的老黄角树．小华为测量该树的高度AD，在大树前的平地上点C处测得大树顶端A的仰角∠C＝30°，然后向前直走22米到达B处，又测得大树顶端A的仰角∠ABD＝45°，已知C、B、D在同一直线上（如图所示），求老树的高度AD．（结果保留根号）
【答案】解析
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，∠ABD=45°，
∴∠BAD=45°，
∴DB=DA，
在Rt△ACD中，tan31°=，
∴CD==AD，
∴BC=CD-BD，
∴22=AD-AD，
∴AD=（11+11）米，
答：老榕树的高度AD为（11+11）米
【解析】本题考查三角函数的应用，以及无理数的计算。
23. （本题满分7分）
“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D，4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)王老师采取的调查方式是______(填“普查”或“抽样调査”)，王老师所调查的4个班共征集到作品______件，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为______；
(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．(要求用树状图或列表法写出分析过程)
【答案】(1)抽样调査；24，
条形统计图为：
；
(2)150° ；
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率=612=12．
【解析】解：(1)王老师采取的调查方式是抽样调査，
4÷60360=24，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为24−4−10−4=6(件)，
故答案为：抽样调査；24；
条形统计图为：
(2)在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角度数=360°×1024=150°；
故答案为150°；
(3)见答案．
(1)根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用A班的作品数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，然后计算出B班的作品数后补全条形统计图；
(2)用360°乘以C班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23.（本题满分7分）
某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x(元/千克)
55
60
65
70
销售量y(千克)
70
60
50
40
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将表中数据(55,70)、(60,60)代入得：
55k+b=7060k+b=60，
解得：k=−2b=180．
∴y与x之间的函数表达式为y=−2x+180．
(2)由题意得：(x−50)(−2x+180)=600，
整理得：x2−140x+4800=0，
解得x1=60，x2=80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
(3)设当天的销售利润为w元，则：
w=(x−50)(−2x+180)=−2(x−70)2+800，
∵−2<0，
∴当x=70时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
(1)利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
(2)依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
(3)利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
24.（本题满分8分）
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PD=3，求⊙O的直径．
【答案】解：(1)证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC−∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
(2)在Rt△OAP中，
∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，
又∵OA=OD，
∴PD=OA，
∵PD=3，
∴2OA=2PD=23．
∴⊙O的直径为23．
【解析】本题考查了切线的判定进而性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；
(2)连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=3，得到OD=3，即可得到结论．
25.（本题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A(−4,0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线AB的函数解析式为_______，点M的坐标为_______，连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为_______；
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式12×16−4b+c=012×4+2b+c=6,解得b=2c=0，
故直线AB的表达式为：y=12x2+2x；
(2)点A(−4,0)，OB=OA=4，故点B(0,4)，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=x+4；
对于y=12x2+2x，函数的对称轴为x=−2，故点M(−2,−2)；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，
则yPyC=13或23，即yP6=13或23，解得：yP=2或4，
故点P(−2,2)或(0,4)；
(3)存在，理由：
设点N(m,n)，而点A、C、O的坐标分别为(−4,0)、(2,6)、(0,0)，
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O(N)右平移6个单位向上平移6个单位得到点N(O)，
即0±6=m，0±6=n，解得：m=n=±6，
故点N(6,6)或(−6,−6)；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：−4+2=m+0，6+0=n+0，
解得：m=−2，n=6，
故点N(−2,6)；
综上，点N的坐标为(6,6)或(−6,−6)或(−2,6)．
【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求一次与二次函数解析式，一次函数的性质、平行四边形的性质、以及面积的相关计算和分类讨论思想，熟练掌握二次函数的性质，一次函数以及平行四边形的性质是解答此题的关键．
(1)将点A、点C的坐标代入抛物线表达式即可求解；
(2)由点A(−4,0)，OA=OB，得出点B(0,4)，即可求出直线AB的表达式，点M为抛物线的顶点，由抛物线的顶点坐标即可求出点M的坐标，因为OP将▵AOC的面积分成1：2的两部分，所以AP=13AC或23AC，即可求出点P的坐标；
(3)根据将军饮马问题即可求出点Q的坐标；
(4)分AC是边、AC是对角线两种情况分别求解即可．
26.（本题满分10分）
【阅读】定义：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
如图②，在△ABC中，已知AC=BC且∠C=45°，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数．
【应用】
在△ABC中，∠C=24°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD=DC，BE=DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
【答案】解：(理解)如图①，如图②所示，
(应用)
设∠B=x°，
①当AD=DE时，如图1(a)，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=24°，
∵DE=EB，
∴∠B=∠EDB=x°
∴∠AED=∠DAE=2x°，
∴24×2+2x+x=180，
∴x=44，
∴∠B=44°；
②当AD=AE时，如图1(b)，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=24°，
∵DE=EB，
∴∠B=∠EDB=x°
∴∠AED=∠ADE=2x°，
∴2x+x=24+24，
∴x=16，
∴∠B=16°．
③当EA=DE时，
∵90−x+24+24+x=180，
∴x不存在，应舍去．
综合上述：满足条件的x=44°或16°．
【解析】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解．
(理解)
根据题意画出图形即可；
(应用)
设∠B=x°，①当AD=DE时，如图1(a)，②当AD=AE时，如图1(b)，③当EA=DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 在−2，0，12，2四个数中，最小的是( )
A. −2 B. 0 C. 12 D. 2
2. 下列运算正确的是( )
A. (x3)2=x5 B. (x−y)2=x2+y2
C. −x2y3⋅2xy2=−2x3y5 D. −(3x+y)=−3x+y
3. 下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为( )
A. 60∘ B. 90∘ C. 100∘ D. 110∘
5. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60∘，则∠BFC的度数为( )
A. 118∘
B. 119∘
C. 120∘
D. 121∘
6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、CD上的任一点，连结BE并延长交CD的延长线于点H，交AF于点G。则图中共有相似三角形( )对。
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
7. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的⊙O与x轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点P为弦AB的中点，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点C，E，则△PCE面积的最小值为( )
A. 5 B. 6 C. 254 D. 112
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac−b24a=−1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a−b+c>0.其中正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
9. 因式分解：x2−4y2=______．
10. 如图，O是菱形ABCD 对称中心，AB=4，∠BAD=120°若点E,F 分 别在AB,BC边上，连接OE,OF,则OE+OF的最小值为_______
11.在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以BC边的中点O为圆心12BC长为半径画圆，该圆分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点(与点D，E不重合)，连接PD，PE，则∠DPE=______．
12.如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③，若半径OA=1，∠AOB=90°，则点O所经过的路径长是______ ．
13.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上，∠ACB=90°，OA=OC=4，AC=2BC，反比例函数y=kx的图象经过点B，则k的值为______．
三、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
14.（5分）计算：(12)−1−4sin45°−(1−2)0+8；
15.（5分）化简：a+31−a2÷a2+3aa2−2a+1．
16.（5分）解不等式组2x−13−5x+12≤13(x+1)>5x−3，并写出它的所有整数解．
17.（本题满分5分）
如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
18.（本题满分5分）
如图，BA,BC转动相同的角分别到BE，BD,且BE=AC,
求证：∠C=∠ABC
19.（本题满分5分）
新华社商场销售某种电视，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种电视机的销售利润平均每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元？（课本54页）
20.（本题满分5分）
小花和小刚用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次。
（1） 若两次的数字之和为6，7，8，则小花的胜，否则小刚胜。这个游戏小花获胜的概率是
（2） 若两次数字之和为奇数，则小花胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜。这个游戏双方公平吗？说说你的理由。
21.（本题满分6分）
市民广场有一棵高大的老黄角树．小华为测量该树的高度AD，在大树前的平地上点C处测得大树顶端A的仰角∠C＝30°，然后向前直走22米到达B处，又测得大树顶端A的仰角∠ABD＝45°，已知C、B、D在同一直线上（如图所示），求老树的高度AD．（结果保留根号）
22. （本题满分7分）
“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D，4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)王老师采取的调查方式是______(填“普查”或“抽样调査”)，王老师所调查的4个班共征集到作品______件，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为______；
(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．(要求用树状图或列表法写出分析过程)
23.（本题满分7分）
某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x(元/千克)
55
60
65
70
销售量y(千克)
70
60
50
40
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
24.（本题满分8分）
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PD=3，求⊙O的直径．
25.（本题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A(−4,0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线AB的函数解析式为_____，点M的坐标为_______，连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△ABC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为_______；
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26. （本题满分10分）
【阅读】定义：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
如图②，在△ABC中，已知AC=BC且∠C=45°，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数．
【应用】
在△ABC中，∠C=24°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD=DC，BE=DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
初中学业水平模拟考试数学试卷答案
一、选择题（本大题共8小题，共25.0分）
11. 在−2，0，12，2四个数中，最小的是( )
A. −2 B. 0 C. 12 D. 2
【答案】A
【解析】解：由正数大于零，零大于负数，得
−2<0<12<2，
−2最小，
故选：A．
根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．
12. 下列运算正确的是( )
A. (x3)2=x5 B. (x−y)2=x2+y2
C. −x2y3⋅2xy2=−2x3y5 D. −(3x+y)=−3x+y
【答案】C
【解析】略
13. 下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
14. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为( )
A. 60∘ B. 90∘ C. 100∘ D. 110∘
【答案】B
【解析】略
15. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60∘，则∠BFC的度数为( )
A. 118∘
B. 119∘
C. 120∘
D. 121∘
【答案】C
【解析】略
16. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、CD上的任一点，连结BE并延长交CD的延长线于点H，交AF于点G。则图中共有相似三角形( )对。
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查相似三角形的判定和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
根据四边形ABCD是平行四边形，利用相似三角形的判定定理，对各个三角形逐一分析即可．
【解答】
解：∵在▱ABCD中，AB//CD，
∴△AGB∽△FGH，
△HED∽△BEA，
又∵AD//BC
△HED∽△HBC，
∴△BEA∽△HBC，共4对．
故选C．
17. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的⊙O与x轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点P为弦AB的中点，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点C，E，则△PCE面积的最小值为( )
A. 5 B. 6 C. 254 D. 112
【答案】D
【解析】解：连接OP，如图，
∵点P为弦AB的中点，
∴OP⊥AB，
∴∠APO=90°，
∴P点在以OA为直径的⊙D上(A点除外)，
过D点作DH⊥CE于H，DH交⊙D于P′，如图，
∴点P点在P′点的位置时，P点到CE的距离最小，此时△PCE面积有最小值，
当x=0时，y=−43x+4=4，则E(0,4)，
当y=0时，−43x+4=0，解得x=3，则C(3,0)，
4CE=32+42=5，
∵∠DCH=∠ECO，∠CHD=∠COE，
∴△CDH∽△CEO，
4DHOE=CDCE，即DH4=45，解得DH=165，
∴P′H=DH−DP′=165−1=115，
∴S△EP′C=12×5×115=112，
∴△PCE面积的最小值为112．
故选：D．
连接OP，如图，利用垂径定理得推论得到∠APO=90°，再根据圆周角定理可判断P点在以OA为直径的⊙D上(A点除外)，过D点作DH⊥CE于H，DH交⊙D于P′，如图，点P点在P′点的位置时，△PCE面积有最小值，接着利用一次函数解析式确定E(0,4)，C(3,0)，则可计算出CE=5，通过证明△CDH∽△CEO，利用相似比求出DH=165，然后利用三角形面积公式计算出S△EP′C即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了一次函数的性质．
18. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac−b24a=−1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a−b+c>0.其中正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A
【解析】解：①4ac−b24a=−1，抛物线顶点纵坐标为−1，正确；
②ac+b+1=0，设C(0,c)，则OC=|c|，
∵OA=OC=|c|，∴A(c,0)代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，
∴ac+b+1=0，故正确；
③abc>0，从图象中易知a>0，b<0，c<0，故正确；
④a−b+c>0，当x=−1时y=a−b+c，由图象知(−1,a−b+c)在第二象限，
∴a−b+c>0，故正确．
故选：A．
此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a>0，−1
二、填空题（本大题共5小题，共22.0分）
19. 因式分解：x2−4y2=______．
【答案】(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x2−4y2=(x+2y)(x−2y)．
直接运用平方差公式进行因式分解．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
20. 如图，O是菱形ABCD 对称中心，AB=4，∠BAD=120°若点E,F 分 别在AB,BC边上，连接OE,OF,则OE+OF的最小值为_______
【答案】
【解析】在AD上作点E关于AC的对称点P,过P作BC的垂线PH，垂足为H，则PH为最小值，就是菱形对边之间的距离
本题考查了菱形的性质，垂线段最短问题
21. 在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以BC边的中点O为圆心12BC长为半径画圆，该圆分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点(与点D，E不重合)，连接PD，PE，则∠DPE=______．
【答案】130°或50°
【解析】解：连接OD，OE，
∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠B=∠C=12(180°−40°)=70°，
∵OD=OB=OC=OE，
∴∠ODB=∠B=∠C=∠OEC=70°，
∴∠BOD=∠COE=40°，
∴∠DOE=100°，
当点P在优弧DBE上时，∠DP1E=12∠DOE=50°，
当点P在劣弧DE上时，∠DP2E=180°−∠DP1E=130°，
∴∠DPE=130°或50°，
故答案为：130°或50°．
连接OD，OE，求出∠DOE，再分当点P在优弧DBE上时和当点P在劣弧DE上时，分别求出∠DPE即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角，圆周角定理，理解题意，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
22. 如图，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③，若半径OA=1，∠AOB=90°，则点O所经过的路径长是______ ．
【答案】32π
【解析】解：点O所经过的路径长=3×90π⋅1180=32π.
故答案为：32π.
点O所经过的路径是三个14圆周长．
本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图，已知双曲线y=kx(x>0))经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=______．
【答案】2
【解析】解：设F(x,y)，E(a,b)，那么B(x,2y)，
∵点E在反比例函数解析式上，
∴S△COE=12ab=12k，
∵点F在反比例函数解析式上，
∴S△AOF=12xy=12k，
∵S四边形OEBF=S矩形ABCO−S△COE−S△AOF，且S۹bOEBF=2，
∴2xy−12k−12xy=2，
∴2k−12k−12k=2，
∴k=2．
故答案为：2．
如果设F(x,y)，表示点B坐标，再根据四边形OEBF的面积为2，列出方程，从而求出k的值．
本题的难点是根据点F的坐标得到其他点的坐标．在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
三、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
24. 算：(12)−1−4sin45°−(1−2)0+8；
15.化简：a+31−a2÷a2+3aa2−2a+1
14【答案】解：原式=2−4×22−1+22
=2−22−1+22
=1；
【解析】14直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；
15)根据分式的除法运算法则即可求出答案，再将分式的分子与分母分解因式化简得出答案．本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法
16.解不等式组2x−13−5x+12≤13(x+1)>5x−3，并写出它的所有整数解．
【答案】解：(1)2x−13−5x+12≤1①3(x+1)>5x−3②，
由①得：2(2x−1)−3(5x+1)≤6，
−11x−5≤6，
−11x≤11，
x≥−1，
由②得：3x+3>5x−3，
−2x>−6，
x<3，
∴−1≤x<3．
∴x=±1，0，2．
【解析】(1)根据一元一次不等式组的解法求出x的解集，然后找出所有整数解．
本题考查一元一次不等式组的解法以及则以及一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型．
17.（本题满分5分）
如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解:如图,AD为所作
理由:∵AD⊥BC
∠B+∠BAD=90°
∠BAC=90°,
∠BAD+∠DAC=90°
∠B=∠DAC
又:∠ADB=∠ADC
△ABD∽△CAD
【解析】本题考查垂直平分线的尺规作图
18.（本题满分5分）
如图，BA,BC转动相同的角分别到BE，BD,且BE=AC,
求证：∠C=∠ABC
【答案】解析∵BA=BE，BC=BD、AB=AC
∴∠ABC=∠ACB.∠ACB=∠ACB
∴△ABC≌EBD
∴∠C=∠D
∴∠ABC=∠D
【解析】本题考查等边三角形的判定，等边对等角。
19.（本题满分5分）
新华社商场销售某种电视，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种电视机的销售利润平均每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元？（课本54页）
【答案】解析解：设一台电视机应降价x元，则可以多销售台电视机，
每台电视机的利润为（2900-2500-x）元，
由题意，得（2900-2500-x）（8+）=5000，
解得：x=150，
每天售出的台数为：8+150÷50×4=20台．
答：电视机应降价150元，每天可售出20台．
【解析】本题考查一月二次方程在现实生活中的应用。
20.（本题满分5分）
小花和小刚用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次。
（3） 若两次的数字之和为6，7，8，则小花的胜，否则小刚胜。这个游戏小花获胜的概率是
（4） 若两次数字之和为奇数，则小花胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜。这个游戏双方公平吗？说说你的理由。
【答案】解析
列表得：
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
∵共有25种等可能的结果，小花取胜的有16种情况，
∴小花取胜的概率是：．
（2）不公平．因为共有25种情况，和为奇数的共有13种情况，
所以P（和为奇数）=；P（和为偶数）=．
【解析】本题考查概率的认识，以及在现实生活中的公平与否。
21.（本题满分6分）
市民广场有一棵高大的老黄角树．小华为测量该树的高度AD，在大树前的平地上点C处测得大树顶端A的仰角∠C＝30°，然后向前直走22米到达B处，又测得大树顶端A的仰角∠ABD＝45°，已知C、B、D在同一直线上（如图所示），求老树的高度AD．（结果保留根号）
【答案】解析
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，∠ABD=45°，
∴∠BAD=45°，
∴DB=DA，
在Rt△ACD中，tan31°=，
∴CD==AD，
∴BC=CD-BD，
∴22=AD-AD，
∴AD=（11+11）米，
答：老榕树的高度AD为（11+11）米
【解析】本题考查三角函数的应用，以及无理数的计算。
23. （本题满分7分）
“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D，4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)王老师采取的调查方式是______(填“普查”或“抽样调査”)，王老师所调查的4个班共征集到作品______件，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为______；
(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．(要求用树状图或列表法写出分析过程)
【答案】(1)抽样调査；24，
条形统计图为：
；
(2)150° ；
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率=612=12．
【解析】解：(1)王老师采取的调查方式是抽样调査，
4÷60360=24，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为24−4−10−4=6(件)，
故答案为：抽样调査；24；
条形统计图为：
(2)在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角度数=360°×1024=150°；
故答案为150°；
(3)见答案．
(1)根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用A班的作品数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，然后计算出B班的作品数后补全条形统计图；
(2)用360°乘以C班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23.（本题满分7分）
某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x(元/千克)
55
60
65
70
销售量y(千克)
70
60
50
40
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将表中数据(55,70)、(60,60)代入得：
55k+b=7060k+b=60，
解得：k=−2b=180．
∴y与x之间的函数表达式为y=−2x+180．
(2)由题意得：(x−50)(−2x+180)=600，
整理得：x2−140x+4800=0，
解得x1=60，x2=80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
(3)设当天的销售利润为w元，则：
w=(x−50)(−2x+180)=−2(x−70)2+800，
∵−2<0，
∴当x=70时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
(1)利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
(2)依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
(3)利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
24.（本题满分8分）
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PD=3，求⊙O的直径．
【答案】解：(1)证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC−∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
(2)在Rt△OAP中，
∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，
又∵OA=OD，
∴PD=OA，
∵PD=3，
∴2OA=2PD=23．
∴⊙O的直径为23．
【解析】本题考查了切线的判定进而性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；
(2)连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=3，得到OD=3，即可得到结论．
25.（本题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A(−4,0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线AB的函数解析式为_______，点M的坐标为_______，连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为_______；
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式12×16−4b+c=012×4+2b+c=6,解得b=2c=0，
故直线AB的表达式为：y=12x2+2x；
(2)点A(−4,0)，OB=OA=4，故点B(0,4)，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=x+4；
对于y=12x2+2x，函数的对称轴为x=−2，故点M(−2,−2)；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，
则yPyC=13或23，即yP6=13或23，解得：yP=2或4，
故点P(−2,2)或(0,4)；
(3)存在，理由：
设点N(m,n)，而点A、C、O的坐标分别为(−4,0)、(2,6)、(0,0)，
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O(N)右平移6个单位向上平移6个单位得到点N(O)，
即0±6=m，0±6=n，解得：m=n=±6，
故点N(6,6)或(−6,−6)；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：−4+2=m+0，6+0=n+0，
解得：m=−2，n=6，
故点N(−2,6)；
综上，点N的坐标为(6,6)或(−6,−6)或(−2,6)．
【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求一次与二次函数解析式，一次函数的性质、平行四边形的性质、以及面积的相关计算和分类讨论思想，熟练掌握二次函数的性质，一次函数以及平行四边形的性质是解答此题的关键．
(1)将点A、点C的坐标代入抛物线表达式即可求解；
(2)由点A(−4,0)，OA=OB，得出点B(0,4)，即可求出直线AB的表达式，点M为抛物线的顶点，由抛物线的顶点坐标即可求出点M的坐标，因为OP将▵AOC的面积分成1：2的两部分，所以AP=13AC或23AC，即可求出点P的坐标；
(3)根据将军饮马问题即可求出点Q的坐标；
(4)分AC是边、AC是对角线两种情况分别求解即可．
26.（本题满分10分）
【阅读】定义：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
如图②，在△ABC中，已知AC=BC且∠C=45°，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数．
【应用】
在△ABC中，∠C=24°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD=DC，BE=DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
【答案】解：(理解)如图①，如图②所示，
(应用)
设∠B=x°，
①当AD=DE时，如图1(a)，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=24°，
∵DE=EB，
∴∠B=∠EDB=x°
∴∠AED=∠DAE=2x°，
∴24×2+2x+x=180，
∴x=44，
∴∠B=44°；
②当AD=AE时，如图1(b)，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=24°，
∵DE=EB，
∴∠B=∠EDB=x°
∴∠AED=∠ADE=2x°，
∴2x+x=24+24，
∴x=16，
∴∠B=16°．
③当EA=DE时，
∵90−x+24+24+x=180，
∴x不存在，应舍去．
综合上述：满足条件的x=44°或16°．
【解析】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解．
(理解)
根据题意画出图形即可；
(应用)
设∠B=x°，①当AD=DE时，如图1(a)，②当AD=AE时，如图1(b)，③当EA=DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
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