北京市东城区景山学校2021-2022学年九年级（上）第四次综合练习数学试卷（含解析）

北京市东城区景山学校2021-2022学年九年级（上）第四次综合练习数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案，以下图案纹样中，从整体观察个别细微之处的细节忽略不计，大致运用了旋转进行构图的是

A. 饕餮纹 B. 三兔纹
C. 凤鸟纹 D. 花卉纹

2. 方程的根的情况是

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根

3. 如图，该几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为

A.  B.  C.  D.

5. 把抛物线向下平移个单位长度后经过点，则的值是   

A.   B.   C.   D.  

6. 有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢”此事件发生的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，点，，在上，的延长线交于点，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间以及容器内水面的高度，并画出表示与的函数关系的大致图象．如左下图所示．小明选择的物体可能是

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

9. 请写出一个开口向上，对称轴为直线的抛物线解析式______ ．
10. 若一元二次方程有一个解为，则______．
11. 某呼吸机制造商年一月份生产呼吸机台，年三月份生产呼吸机台，设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意，可列方程为______．
12. 某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取粒稻种进行实验．实验的结果如下表所示：

在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的稻种发芽的概率为______ 精确到；如果该农场播种了此稻种万粒，那么能发芽的大约有______ 万粒．

13. 如图．中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，则的长为______．
     

14. 已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是：______．
15. 如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是______．
    
     

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为______．
     

三．解答题（本题共12小题，共92分）

17. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，，平分，点在上，且．
    求证：．
    
    
     

19. 下面是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程：
    已知：．
    求作：射线，使得平分．
    作法：如图，
    在射线上任取一点，以为圆心，长为半径作圆，交的延长线于点；
    以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；
    连接，交于点，作射线．
    射线就是要求作的角平分线．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：是的直径，点在上，
    ______填推理的依据．
    ．
    ，
    平分______填推理的依据．

20. 关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程的两个实数根都是正整数，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点、、，若该圆弧所在圆的圆心为点，请你利用网格图回答下列问题：
    圆心的坐标为______；
    若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长结果保留根号．
    
    
    
    
    
    
     
22. 甲、乙，丙、丁人聚会，每人带了一件礼物，件礼物从外盒包装看完全相同，将件礼物放在一起．
    甲从中随机抽取一件，则甲抽到的是自己带来的礼物的概率是______；
    甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，用列表法或树状图法求甲、乙人抽到的都不是自己带来的礼物的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 抛物线上部分点的横坐标纵坐标的对应值如下表

写出该抛物线的对称轴及当时对应的函数值；
求出抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象；
结合图象回答：
不等式的解集是______；
当时，的取值范围是______．

24. 年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件元，当销售单价定为元时，每天可售出件，每销售一件需缴纳网络平台管理费元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低元，则每天可多售出件销售单价不低于进价，若设这款文化衫的销售单价为元，每天的销售量为件．
    求每天的销售量件与销售单价元之间的函数关系式；
    当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，已知点在上，延长直径到点，连接，．
    求证：是的切线；
    若，且，是下半圆弧的中点，求的长．
     

26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中．
    求抛物线的对称轴；
    若，，直接写出，的大小关系；
    若，比较，的大小，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，在中，，，点为线段上一动点不与点，重合，作射线、，将射线、分别绕点顺时针旋转，得到射线、，过点作的垂线，分别交射线、于点，．
    依题意补全图形；
    求证：；
    用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，对于给定的线段及点，，给出如下定义：若点关于所在直线的对称点落在的内部不含边界，则称点是点关于线段的内称点．
    已知点．
    在，两点中，是点关于线段的内称点的是______；
    若点在直线上，且点是点关于线段的内称点，求点的横坐标的取值范围；
    已知点，的半径为，点，若点是点关于线段的内称点，且满足直线与相切，求半径的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据旋转的性质与特点判断即可．
此题考查旋转问题，关键是根据旋转、对称、平移、位似的特点解答．
【解答】
解：、图中利用的是对称，错误；
B、图中利用的是旋转，正确；
C、图中利用的位似，错误；
D、图中利用的是平移，错误；
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
所以方程没有实数根．
故选：．
把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

3.【答案】
 

【解析】解：从正面看，可得如下图形：

故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，据此可得答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：设抛物线向下平移个单位长度后的解析式为，
把点代入得，，
，
故选：．
把点坐标代入解方程即可得到结论．
此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可．
【解答】
解：此事件发生的概率，
故选：．

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
，，
，
，
故选：．
根据圆周角定理求得，进而根据三角形的外角的性质求得，然后根据邻补角求得的度数．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，
由开始和结尾可知、C错误，
由中间不变可知，D错误，
故选：．
根据图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，可以确定问题的形状．
本题考查的是动点问题的函数图象，读懂图象信息是解题的关键，要找出水面高度随时间的变化情况．
 

9.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：根据题意设顶点坐标为，二次项系数，
由顶点式，得答案不唯一．
根据抛物线的对称轴为直线，设顶点坐标为，又开口向上，设，根据顶点式写出二次函数解析式，随着设的数不同，解析式也不同，本题答案不唯一．
本题考查了根据题意确定二次函数解析式的方法，需要熟练掌握．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的解的定义，把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程求得的值；注意二次项系数不为零．
【解答】
解：一元二次方程的一个解为，
且，
解得．
故答案为：．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由该呼吸机制造商年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：．
故答案为：．  

12.【答案】；
 

【解析】

【分析】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此可估计发芽的概率大约是，即可得到答案．
【解答】
解：根据表中的发芽的频率，发芽的频率稳定在左右，所以可估计这种稻种发芽的概率大约是，
该农场播种了此稻种万粒，那么能发芽的大约有万粒．
故答案为；．

13.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
由旋转得：，，，
，，
，
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，再利用旋转的性质可得，，，从而求出的长，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：点、是二次函数图象上的两点，
，．
．
故答案为：．
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，的值，比较后即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，，．

是等边三角形，
，
，
，都是等边三角形，
，
，是等边三角形，
，
弓形与弓形的面积相等，
，
是等边三角形，
，
故答案为．
如图，连接，，证明即可解决问题．
本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】
 

【解析】解：取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，

点，，
，，
，
，
，
点在以为直径的圆上，
线段长的最小值为．
故答案为：．
取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，求出长即可求出答案．
本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识，确定，两点的位置是解题的关键．
 

17.【答案】解：方程分解因式得：，
可得或，
解得：，．
 

【解析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
 

18.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
．
 

【解析】先根据等边对等角可得，再结合角平分线的定义等量代换可得，由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】直径所对的圆周角是直角  等腰三角形的三线合一
 

【解析】解：如图，射线即为所求；


证明：是的直径，点在上，
直径所对的圆周角是直角，
．
，
平分等腰三角形的三线合一．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的三线合一．
根据要求作出图形即可．
利用圆周角定理，等腰三角形的性质证明即可．
本题考查作图复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：依题意，得

．
，
．
方程总有两个实数根．

解：解方程，得，，
方程的两个实数根都是正整数，
．
．
的最小值为．
 

【解析】先根据方程总有两个实数根列出关于的代数式，判断即可；
根据题意得到和是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求的最小值．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解，在解答时得到方程的两个根是解题的关键．
 

21.【答案】
连接、、，

的半径长，
，，
，
．
设圆锥的底面圆的半径长为，
则，
解得：，
所以该圆锥底面圆的半径长为．
 

【解析】解：分别作线段和线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是圆心，如图，

点正好在轴上，点的坐标是，
故答案为：；

见答案．
分别作、的垂直平分线，两直线交于点，则点即为该圆弧所在圆的圆心，可知点的坐标为．
连接、和，根据勾股定理的逆定理求出，根据弧长公式和圆的周长求出答案即可．
本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能求出点的坐标和求出是解此题的关键．
 

22.【答案】
 

【解析】解：甲抽到的是自己带来的礼物的概率是：；
故答案为：；

设甲、乙、丙、丁人的礼物分别记为、、、，
根据题意画出树状图如图：

一共有种等可能的结果，甲、乙人抽到的都不是自己带来的礼物的结果有个，
甲、乙人抽到的都不是自己带来的礼物的概率为．
根据概率公式计算即可得出答案；
画出树状图得出所有等可能的情况数和甲、乙人抽到的都是自己带来的礼物的情况数，然后根据概率公式进行计算即可．
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】， 
 

【解析】解：函数的对称轴为：，
由函数的对称轴知，当时对应的函数值为；

函数的表达式为；，
当时，，解得：，
故抛物线的表达式为：；
函数图象如下：


从图象看，不等式的解集是：，
故答案为：；
当时，，时，，顶点坐标为：，
故答案为：．
函数的对称轴为：，由函数的对称轴知，当时对应的函数值为；
函数的表达式为；，当时，，解得：，即可求解；
从图象看，不等式的解集是：，即可求解；
当时，，时，，顶点坐标为：，即可求解．
本题考查的是二次函数与不等式组，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．
 

24.【答案】解：由题意可得：，
整理，得：，
每天的销售量件与销售单价元之间的函数关系式为；
设销售所得利润为，由题意可得：
，
整理，得：，
，
当时，取最大值为，
当销售单价为元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为元．
 

【解析】根据“销售单价每降低元，则每天可多售出件”列函数关系式；
根据总利润单件利润销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．
本题考查了二次函数及其应用问题，是中学数学中的重要基础知识之一，是运用数学知识解决现实中的最值问题的常用方法和经典模型；应牢固掌握二次函数的性质．
 

25.【答案】解：，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；

连接．
是下半圆弧中点，
弧弧，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，．
 

【解析】由于，那么，则，又，可求，而是直径，可知，从而有，即，从而可证是切线；
连接，由于是弧中点，那么，而，易知，而，则，又，从而有，即，而，，于是，而，那么可证是等边三角形，从而有，即，在中，利用特殊三角函数值可求．
本题考查了圆周角定理、切线的判定、等边三角形的判定和性质、特殊三角函数值的计算．解题的关键是连接，构造直角三角形，并证是等边三角形．
 

26.【答案】解：抛物线的对称轴为：直线；
由可知，抛物线对称轴为：直线，
由题意可知，抛物线开口向上，
横坐标越接近对称轴，值越小，到对称轴距离相等，值也相等，
，，，
；
，，
，
抛物线对称轴是直线，
又，
，
．
 

【解析】抛物线的对称轴为：直线；
由可知，抛物线对称轴为：直线，由题意可知，抛物线开口向上，横坐标越接近对称轴，值越小，到对称轴距离相等，值也相等，即可求解；
由题意，，分析出，再判断哪个点离对称轴距离小，对应函数值就小，即可求解．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】补全的图形如图所示：
解：由旋转可知，，
，即，
在中，，，
，
，
，
，
；
线段，与之间的数量关系为，
理由：由可知，，，
≌
．
在中，，
，
在中，，
，
，
．
 

【解析】根据旋转的特征补全图形；
根据旋转得出，，即可得出结论；
借助的结论判断出≌，得出，再用勾股定理得出，，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出，是解本题的关键．
 

28.【答案】点
如图，

点关于所在直线的对称点，此时，点恰好在直线上，
点是点关于线段的内对称点，
点关于所在直线的对称点落在内部不含边界，
点在直线上，
点应在线段上点为线段与直线的交点，且不与两个端点，重合，
，
如图，

点是点关于线段的内称点，
点关于所在直线的对称点应在内部不含边界，
点关于所在直线的对称点为原点，
点应在的内部不含边界，
，，，
，，，
，
，
，
此时，直线与以为半径的相切，半径，
当直线与以为半径的相切，点为切点，的半径最大，最大值为，
符合题意的的半径的取值范围是．
 

【解析】解：

作出图形，由内对称点的意义得，点关于线段的内称点的是，
故答案为；

如图，

点关于所在直线的对称点，此时，点恰好在直线上，
点是点关于线段的内对称点，
点关于所在直线的对称点落在内部不含边界，
点在直线上，
点应在线段上点为线段与直线的交点，且不与两个端点，重合，
，


如图，

点是点关于线段的内称点，
点关于所在直线的对称点应在内部不含边界，
点关于所在直线的对称点为原点，
点应在的内部不含边界，
，，，
，，，
，
，
，
此时，直线与以为半径的相切，半径，
当直线与以为半径的相切，点为切点，的半径最大，最大值为，
符合题意的的半径的取值范围是．
利用内对称点的意义即可得出结论；
先判断出点关于直线的对称点在直线上，即可判断出结论；
判断出与圆相切时，圆最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论．
此题是一次函数综合题，主要考查了点的对称点的坐标的确定，理解和掌握新定义是解本题的关键．